Вариант 2
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
В корзине 10 разноцветных шаров: голубых, розовых и белых. Они соотносятся как 10 : 25 : 15. Найдите количество белых шаров.
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н•м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой V = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью (в км/ч) должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не менее 150 Н•м?
В треугольнике АВС угол А равен 62°, угол В равен 76°. AL, BN и СК — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.
На втором и третьем этажах в корпусе механикоматематического факультета университета для студентов работают две одинаковые ксерокопировальные машины. Вероятность того, что к концу дня в ксерокопировальной машине закончится бумага, равна 0,4. Вероятность того, что бумага закончится в обеих ксерокопировальных машинах, равна 0,23. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обеих ксерокопировальных машинах.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 225 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1d1+1d2=1f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Плиточник должен уложить 180 м2 плитки. Если он будет укладывать на 5 м2 плитки в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение (37)sin2x+(73)sin2x=2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π; -7π/2).
Решение:
а) (37)sin2x+(37)−sin2x=2
Пусть (37)sin2x=t, t+1t=2;t2−2t+1=0;t=1.
(37)sin2x=1; sin2x=0;x=\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z}
б) \begin{array}{l}k=-10,\;x=-5\mathrm\pi;\\\mathrm k=-9,\;\mathrm x=-\frac{9\mathrm\pi}2;\\\mathrm k=-8,\;\mathrm x=-4\mathrm\pi.\end{array}
Ответ:
а) \frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z};
б) -5\mathrm\pi,\;-\frac{9\mathrm\pi}2,\;-4\mathrm\pi
Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в 4 раза больше другого.
а) Докажите, что длина образующей усечённого конуса равна сумме радиусов его оснований.
б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями AD=2R и BC=2r. Вписанный шар в сечении дает окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности. Так как S_{Н.ОСН}=4S_{В.ОСН}, то \mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2 или R=2r.
а) По свойству касательных AB=BM+AN, AB=r+R=3r
б) AK=AN-KN=R-r=r
Тогда из \bigtriangleup ABK:\;
\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{AK}{BA}=\frac r{3r}=\frac13\\\alpha=arc\cos\frac13\end{array}

Ответ: arccos\frac13
Решите неравенство \log_2\left(x-1\right)-\log_2\left(x+1\right)+\log_\frac{x+1}{x-1}2>0.
ОДЗ: \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-1>0\\x+1>0\\\frac{x+1}{x-1}>0\\\frac{x+1}{x-1}\neq1\end{array}\\x-1\neq0\end{array}\right.x>1
\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}}>0\\t=\log_2\frac{x-1}{x+1},\;t-\frac1t>0\end{array}
\frac{(t-1)(t+1)}t>0
-1<t<0\;или\;t>1
\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)>1
\frac{x-1}{x+1}>2
\frac{-x-3}{x+1}>0
-3<x<-1 — это решение не удовлетворяет ОДЗ.
-1<\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)<0
\frac12<\frac{x-1}{x+1}<1
\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{x+1}>\frac12\\\frac{x-1}{x+1}<1\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{c}\frac{x-3}{2(x+1)}>0\\\frac{-2}{x+1}<0\end{array}\right.
Первое неравенство имеет решение х>3 или -1>x, а второе неравенство — x>-1
С учетом ОДЗ \begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}
Ответ: \begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}
Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.
а) Докажите, что \frac{AB}{BC}=\frac{AO_1}{O_1O_2}.
б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 4.
Решение:
а) Рассмотрим случай, когда прямые O_1O_2 и BC не совпадают (см. рисунок). Тогда \bigtriangleup AO_1B и \bigtriangleup AO_2C - равнобедренные (AO_1=BO_1;\;AO_2=CO_2 как радиусы), и, следовательно, \angle O_1AB=\angle O_1BA, \angle O_2CA=\angle O_2AC. Но тогда \bigtriangleup AO_1B\sim\bigtriangleup AO_2C по двум углам.
\frac{BC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}=1+\frac{AC}{AB}, но \frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}, так как \bigtriangleup ABO_1\sim\bigtriangleup ACO_2
Поэтому \frac{BC}{AB}=1+\frac{AO_2}{AO_1}
С другой стороны \frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1+AO_2}{AO_1}=1+\frac{AO_2}{AO_1}
Итак, \frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1} (см. рисунок)

В случае, когда прямые O_1O_2 и BC совпадают \frac{AB}{BC}=\frac{2AO_1}{2AO_1+2AO_2}=\frac{AO_1}{AO_1+AO_2}=\frac{AO_1}{O_1O_2} (см. рисунок)

б) Обозначим x - искомая длина касательной, тогда
\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=16\times\frac96=24\\x=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\end{array}
Ответ: 2\sqrt6
В банк помещён вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385 000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?
Решение:
Пусть в конце каждого года вкладчик добавлял на счет x рублей. Тогда к концу первого года на счету было1,25\times64000+x=80000+x рублей. К концу второго года на счету уже находилось 1,25\times(80000+x)+x, к концу третьего - 1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x, к концу четвертого - 1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x). Таким образом, получим уравнение 1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)=385000
x=48000
Ответ: 48000
При каких значениях m уравнение 2\sqrt{1-m\left(x+2\right)}=x+4 имеет единственный корень?
Решение:
Если m=0, то уравнение имеет единственный корень x=-2.
Пусть m\neq0. Положим \sqrt{1-m(x+2)}=y\geq0, отсюда x=\frac{1-y^2}m-2 Тогда уравнение примет вид: 2y=\frac{1-y^2}m+2 или y^2+2my-1=2m
построим графики z=y^2+2my-1 и z=2m
Возможны 2 случая: а) m>0; б) m<0
В обоих случаях берем только ту часть параболы, которая лежит правее оси Oz


Если m>0, то прямая z=2m пересекает часть параболы в единственной точке при условии 2m\geq-1, то есть m\geq-\frac12, значит, а этом случае любое m>0 будет искомым.
Если m<0, то прямая z=2m пересекает параболу в вершине при условии 2m<-1 (равносильно m<-\frac12) или -1-m^2=2m (равносильно m=-1)
Ответ: m=-1,\;m>-\frac12
Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74.
Решение:
Перепишем уравнение
\begin{array}{l}6x^2-24=50-5y^2\\6(x^2-4)=5(10-y^2)\end{array}
x^2-4=5u;\;10-y^2=6v;\;=>u=v
Итак, x^2=5u+4\geq0;\;u\geq-\frac45, аналогично y^2=10-6u\geq0;\;u\leq\frac53
Итак, целое число u:\;-\frac45\leq u\leq\frac53, следовательно u=0 или u=1
При u=v=0 получаем 10=y^2, где целое число невозможно.
При u=v=1 получаем x^2=9;\;y^2=4.
Ответ: (3 ; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2).
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |