Processing math: 11%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 2

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В корзине 10 разноцветных шаров: голубых, розовых и белых. Они соотносятся как 10 : 25 : 15. Найдите количество белых шаров.

2
2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н•м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой V = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью (в км/ч) должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не менее 150 Н•м?

3
3

В треугольнике АВС угол А равен 62°, угол В равен 76°. AL, BN и СК — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.

4
4

На втором и третьем этажах в корпусе механикоматематического факультета университета для студентов работают две одинаковые ксерокопировальные машины. Вероятность того, что к концу дня в ксерокопировальной машине закончится бумага, равна 0,4. Вероятность того, что бумага закончится в обеих ксерокопировальных машинах, равна 0,23. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обеих ксерокопировальных машинах.

5
5

Найдите корни уравнения sinπ(5x2)3=12, в ответе запишите наименьший положительный корень.

6
6

Найдите cos ∠AOB. В ответе укажите 3√5 cos∠AOB

7
7

Прямая у = 2х - 3 является касательной к графику функции у = 5х2 - 8х + с. Найдите значение с.

8
8

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

9
9

Найдите значение выражения 4(g(3х) - Зg(х - 4)), если g(х) = 2х - 1.

10
10

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 225 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1d1+1d2=1f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

11
11

Плиточник должен уложить 180 м2 плитки. Если он будет укладывать на 5 м2 плитки в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

12
12

Найдите наибольшее значение функции y=24sinx123x+23π+2 на отрезке [0;π2].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение (37)sin2x+(73)sin2x=2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π; -7π/2).

Показать ответ

Решение:

а) (37)sin2x+(37)sin2x=2

Пусть (37)sin2x=t, t+1t=2;t22t+1=0;t=1.

(37)sin2x=1; sin2x=0;x=\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z}

б) \begin{array}{l}k=-10,\;x=-5\mathrm\pi;\\\mathrm k=-9,\;\mathrm x=-\frac{9\mathrm\pi}2;\\\mathrm k=-8,\;\mathrm x=-4\mathrm\pi.\end{array}

Ответ:

а) \frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z};

б) -5\mathrm\pi,\;-\frac{9\mathrm\pi}2,\;-4\mathrm\pi

14

Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в 4 раза больше другого.

а) Докажите, что длина образующей усечённого конуса равна сумме радиусов его оснований.

б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Показать ответ

Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями AD=2R и BC=2r. Вписанный шар в сечении дает окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности. Так как S_{Н.ОСН}=4S_{В.ОСН}, то \mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2 или R=2r.

а) По свойству касательных AB=BM+AN, AB=r+R=3r

б) AK=AN-KN=R-r=r

Тогда из \bigtriangleup ABK:\;

\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{AK}{BA}=\frac r{3r}=\frac13\\\alpha=arc\cos\frac13\end{array}

Ответ: arccos\frac13

15

Решите неравенство \log_2\left(x-1\right)-\log_2\left(x+1\right)+\log_\frac{x+1}{x-1}2>0.

Показать ответ

ОДЗ: \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-1>0\\x+1>0\\\frac{x+1}{x-1}>0\\\frac{x+1}{x-1}\neq1\end{array}\\x-1\neq0\end{array}\right.x>1

\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}}>0\\t=\log_2\frac{x-1}{x+1},\;t-\frac1t>0\end{array}

\frac{(t-1)(t+1)}t>0

-1<t<0\;или\;t>1

\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)>1

\frac{x-1}{x+1}>2

\frac{-x-3}{x+1}>0

-3<x<-1 — это решение не удовлетворяет ОДЗ.

-1<\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)<0

\frac12<\frac{x-1}{x+1}<1

\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{x+1}>\frac12\\\frac{x-1}{x+1}<1\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{c}\frac{x-3}{2(x+1)}>0\\\frac{-2}{x+1}<0\end{array}\right.

Первое неравенство имеет решение х>3 или -1>x, а второе неравенство — x>-1

С учетом ОДЗ \begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}

Ответ: \begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}

16

Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что \frac{AB}{BC}=\frac{AO_1}{O_1O_2}.

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 4.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые O_1O_2 и BC не совпадают (см. рисунок). Тогда \bigtriangleup AO_1B и \bigtriangleup AO_2C - равнобедренные (AO_1=BO_1;\;AO_2=CO_2 как радиусы), и, следовательно, \angle O_1AB=\angle O_1BA, \angle O_2CA=\angle O_2AC. Но тогда \bigtriangleup AO_1B\sim\bigtriangleup AO_2C по двум углам.

\frac{BC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}=1+\frac{AC}{AB}, но \frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}, так как \bigtriangleup ABO_1\sim\bigtriangleup ACO_2

Поэтому \frac{BC}{AB}=1+\frac{AO_2}{AO_1}

С другой стороны \frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1+AO_2}{AO_1}=1+\frac{AO_2}{AO_1}

Итак, \frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1} (см. рисунок)

В случае, когда прямые O_1O_2 и BC совпадают \frac{AB}{BC}=\frac{2AO_1}{2AO_1+2AO_2}=\frac{AO_1}{AO_1+AO_2}=\frac{AO_1}{O_1O_2} (см. рисунок)

б) Обозначим x - искомая длина касательной, тогда

\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=16\times\frac96=24\\x=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\end{array}

Ответ: 2\sqrt6

17

В банк помещён вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385 000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?

Показать ответ

Решение:

Пусть в конце каждого года вкладчик добавлял на счет x рублей. Тогда к концу первого года на счету было1,25\times64000+x=80000+x рублей. К концу второго года на счету уже находилось 1,25\times(80000+x)+x, к концу третьего - 1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x, к концу четвертого - 1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x). Таким образом, получим уравнение 1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)=385000

x=48000

Ответ: 48000

18

При каких значениях m уравнение 2\sqrt{1-m\left(x+2\right)}=x+4 имеет единственный корень?

Показать ответ

Решение:

Если m=0, то уравнение имеет единственный корень x=-2.

Пусть m\neq0. Положим \sqrt{1-m(x+2)}=y\geq0, отсюда x=\frac{1-y^2}m-2 Тогда уравнение примет вид: 2y=\frac{1-y^2}m+2 или y^2+2my-1=2m

построим графики z=y^2+2my-1 и z=2m

Возможны 2 случая: а) m>0; б) m<0

В обоих случаях берем только ту часть параболы, которая лежит правее оси Oz

Если m>0, то прямая z=2m пересекает часть параболы в единственной точке при условии 2m\geq-1, то есть m\geq-\frac12, значит, а этом случае любое m>0 будет искомым.

Если m<0, то прямая z=2m пересекает параболу в вершине при условии 2m<-1 (равносильно m<-\frac12) или -1-m^2=2m (равносильно m=-1)

Ответ: m=-1,\;m>-\frac12

19

Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74.

Показать ответ

Решение:

Перепишем уравнение

\begin{array}{l}6x^2-24=50-5y^2\\6(x^2-4)=5(10-y^2)\end{array}

x^2-4=5u;\;10-y^2=6v;\;=>u=v

Итак, x^2=5u+4\geq0;\;u\geq-\frac45, аналогично y^2=10-6u\geq0;\;u\leq\frac53

Итак, целое число u:\;-\frac45\leq u\leq\frac53, следовательно u=0 или u=1

При u=v=0 получаем 10=y^2, где целое число невозможно.

При u=v=1 получаем x^2=9;\;y^2=4.

Ответ: (3 ; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2).

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 820
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?