Вариант 2

Решение:

а) $\left(\frac37\right)^{\sin2x}+\left(\frac37\right)^{-\sin2x}=2$

Пусть $\left(\frac37\right)^{\sin2x}=t$, $t+\frac1t=2;\;$$t^2-2t+1=0;\;$$t=1.$

$\left(\frac37\right)^{\sin2x}=1;$ $\sin2x=0;$$x=\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z}$

б) $\begin{array}{l}k=-10,\;x=-5\mathrm\pi;\\\mathrm k=-9,\;\mathrm x=-\frac{9\mathrm\pi}2;\\\mathrm k=-8,\;\mathrm x=-4\mathrm\pi.\end{array}$

Ответ:

а) $\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z};$

б) $-5\mathrm\pi,\;-\frac{9\mathrm\pi}2,\;-4\mathrm\pi$

Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями $AD=2R$ и $BC=2r$. Вписанный шар в сечении дает окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности. Так как $S_{Н.ОСН}=4S_{В.ОСН}$, то $\mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2$ или $R=2r.$

а) По свойству касательных $AB=BM+AN$, $AB=r+R=3r$

б) $AK=AN-KN=R-r=r$

Тогда из $\bigtriangleup ABK:\;$

$\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{AK}{BA}=\frac r{3r}=\frac13\\\alpha=arc\cos\frac13\end{array}$

Ответ: arccos$\frac13$

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-1>0\\x+1>0\\\frac{x+1}{x-1}>0\\\frac{x+1}{x-1}\neq1\end{array}\\x-1\neq0\end{array}\right.x>1$

$\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}}>0\\t=\log_2\frac{x-1}{x+1},\;t-\frac1t>0\end{array}$

$\frac{(t-1)(t+1)}t>0$

$-1<t<0\;или\;t>1$

$\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)>1$

$\frac{x-1}{x+1}>2$

$\frac{-x-3}{x+1}>0$

$-3<x<-1$ — это решение не удовлетворяет ОДЗ.

$-1<\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)<0$

$\frac12<\frac{x-1}{x+1}<1$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{x+1}>\frac12\\\frac{x-1}{x+1}<1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x-3}{2(x+1)}>0\\\frac{-2}{x+1}<0\end{array}\right.$

Первое неравенство имеет решение х>3 или -1>x, а второе неравенство — x>-1

С учетом ОДЗ $\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}$

Ответ: $\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}$

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые $O_1O_2$ и $BC$ не совпадают (см. рисунок). Тогда $\bigtriangleup AO_1B$ и $\bigtriangleup AO_2C$ - равнобедренные ($AO_1=BO_1;\;AO_2=CO_2$ как радиусы), и, следовательно, $\angle O_1AB=\angle O_1BA$, $\angle O_2CA=\angle O_2AC$. Но тогда $\bigtriangleup AO_1B\sim\bigtriangleup AO_2C$ по двум углам.

$\frac{BC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}=1+\frac{AC}{AB}$, но $\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}$, так как $\bigtriangleup ABO_1\sim\bigtriangleup ACO_2$

Поэтому $\frac{BC}{AB}=1+\frac{AO_2}{AO_1}$

С другой стороны $\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1+AO_2}{AO_1}=1+\frac{AO_2}{AO_1}$

Итак, $\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}$ (см. рисунок)

В случае, когда прямые $O_1O_2$ и $BC$ совпадают $\frac{AB}{BC}=\frac{2AO_1}{2AO_1+2AO_2}=\frac{AO_1}{AO_1+AO_2}=\frac{AO_1}{O_1O_2}$ (см. рисунок)

б) Обозначим x - искомая длина касательной, тогда

$\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=16\times\frac96=24\\x=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\end{array}$

Ответ: $2\sqrt6$

Решение:

Пусть в конце каждого года вкладчик добавлял на счет $x$ рублей. Тогда к концу первого года на счету было$1,25\times64000+x=80000+x$ рублей. К концу второго года на счету уже находилось $1,25\times(80000+x)+x$, к концу третьего - $1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x$, к концу четвертого - $1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)$. Таким образом, получим уравнение $1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)=385000$

$x=48000$

Ответ: 48000

Решение:

Если $m=0$, то уравнение имеет единственный корень $x=-2.$

Пусть $m\neq0$. Положим $\sqrt{1-m(x+2)}=y\geq0$, отсюда $x=\frac{1-y^2}m-2$ Тогда уравнение примет вид: $2y=\frac{1-y^2}m+2$ или $y^2+2my-1=2m$

построим графики $z=y^2+2my-1$ и $z=2m$

Возможны 2 случая: а) $m>0$; б) $m<0$

В обоих случаях берем только ту часть параболы, которая лежит правее оси $Oz$

Если $m>0$, то прямая $z=2m$ пересекает часть параболы в единственной точке при условии $2m\geq-1$, то есть $m\geq-\frac12$, значит, а этом случае любое $m>0$ будет искомым.

Если $m<0$, то прямая $z=2m$ пересекает параболу в вершине при условии $2m<-1$ (равносильно $m<-\frac12$) или $-1-m^2=2m$ (равносильно $m=-1$)

Ответ: $m=-1,\;m>-\frac12$

Решение:

Перепишем уравнение

$\begin{array}{l}6x^2-24=50-5y^2\\6(x^2-4)=5(10-y^2)\end{array}$

$x^2-4=5u;\;10-y^2=6v;\;=>u=v$

Итак, $x^2=5u+4\geq0;\;u\geq-\frac45$, аналогично $y^2=10-6u\geq0;\;u\leq\frac53$

Итак, целое число $u:\;-\frac45\leq u\leq\frac53$, следовательно $u=0$ или $u=1$

При $u=v=0$ получаем $10=y^2$, где целое число невозможно.

При $u=v=1$ получаем $x^2=9;\;y^2=4$.

Ответ: (3 ; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2).