За­да­чи с при­клад­ным содержанием

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты, описывается уравнением $y=h_0+xtg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha}$, где h₀ — высота, с которой бросают тело, $\alpha$ — угол к горизонту, g = 9,8 м/c² — ускорение свободного падения, х, у — координаты тела в некоторый момент времени. Найдите, с какой высоты (в метрах) было брошено тело со скоростью 2 м/с, если $\alpha$ = 45°, х = 2 м, у = 3,1 м.

Максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле $h=\frac{(v\cdot sin\alpha)^2}{2g}$ где v (м/c) – начальная скорость тела, α – угол, под которым тело брошено к горизонту, g – ускорение свободного падения (считать, что g=10 м/ ²). С какой скоростью необходимо бросить мяч под углом 30º к горизонту, чтобы он поднялся на высоту 4 м 5 см?

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 • 10^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 6 • 10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 24 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}U$ (с), где $\alpha$ = 1,5 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение (в киловольтах) на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 54 с.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температура определяется по формуле T(t) = Т_о + at + bt², где t — время в минутах, Т_о = 120 К, b = -1/4 K/мин², а = 39,5 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1080 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось О_у направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось О_х направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение у = 0,008x² — 0,96x + 45, где x и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 40 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Для выполнения трюка мотоциклист движется по внутренней поверхности цилиндра по окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Необходимая минимальная скорость для движения по данной траектории вычисляется по формуле: $v_{min}=\sqrt{g\left(r-l\right)\mu}$. Определите, при каком коэффициенте трения покрышек μ о поверхность цилиндра скорость мотоцикла будет равна $v_{min}=7,8$ м/с. Радиус цилиндра r = 11 м, расстояние от центра тяжести мотоцикла с человеком до поверхности цилиндра l = 0,86 м, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c².

Человек массой m₁ = 76 кг двигается со скоростью v₁ = 4,5 м/с, догоняет тележку массой m₂ (кг), которая едет со скоростью v₂ = 3,8 м/c, и прыгает на нее. Скорость, с которой будет теперь двигаться тележка, вычисляется по формуле $v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$. Какова масса тележки (кг), если скорость, которую она приобрела после прыжка человека, равна 4,3 (м/c)?

Насос выбрасывает струю воды под напором. Необходимая мощность для выбрасывания этой струи вычисляется по формуле $P=\frac\pi8\cdot p\cdot d^2\cdot v^3$. Найдите диаметр струи d (в м), если скорость струи воды v = 14 м/c, мощность насоса равна 1646,4 Вт, плотность воды p = 1000 кг/м³, $\pi$ принять равным 3.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением $v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f₀— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

При быстром вращении ведёрка с водой вода из него не будет выливаться. При этом сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет неотрицательной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления P может быть равной нулю и выражается формулой $P=m\left(\frac{\nu^2}L-g\right)$, где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (g = 10 м/с ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,729 м?