Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

По тарифному плану «Бессонный» интернет-провайдер каждый вечер снимает со счёта абонента 26 рублей. Если на счету осталось меньше 26 рублей, то на следующее утро интернет блокируется до пополнения счёта. Сегодня утром у Алексея на счету 800 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться интернетом, не пополняя счёт?

На диаграмме показано количество посетителей сайта новостей во все дни с 10 по 29 ноября 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за день. Определите по диаграмме, сколько дней количество посетителей сайта новостей было наибольшим за указанный период.

Периметры подобных многоугольников ABCDE и AB’C’D’E' относятся как 4 : 7. Площадь большего многоугольника равна 98. Найдите площадь меньшего многоугольника.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

Найдите корень уравнения $6^{x+3}=\frac1{216}$

В треугольнике ABC угол C равен 90º, $\sin A=\frac{5\sqrt{34}}{34}$ . Найдите tg B.

На рисунке изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(10) — F(2).

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 72. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в три раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Найдите значение выражения $y=11^{1,26}\times121^{0,37}$

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U_o sin(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда U_o = 10 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?

Найдите точку максимума функции $y(x)=-x\sqrt x+6x$

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

а) Решите уравнение $\frac1{ctg^2x}-\frac1{sin\left(\frac\pi2-x\right)}=1$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right]$

Показать ответ

Решение:

Данное уравнение приведем к виду: $\frac1{ctg^2x}-\frac1{\cos x}=1$ . Уравнение определено при условии $\sin x\neq0$ и $\cos x\neq0$ . Преобразуем уравнение: $tg^2x-\frac1{\cos^2x}=1$ => $\frac1{\cos^2x}-1-\frac1{\cos x}=1$ . Пусть $\frac1{\cos x}=t$ , тогда получаем квадратное уравнение $t^2-t-2=0$ с корнями $t_1=-1;\;t_2=2$ . Имеем два уравнения $\frac1{\cos x}=-1;\;\frac1{\cos x}=2$ или $\cos x=-1;\;\cos x=\frac12.$ Решения первого уравнения не удовлетворяют условию $\sin x\neq0$ . Второе уравнение имеет решения: $x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\mathrm n\in\mathbb{Z}$

б) Найдем корни в промежутке $\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right]$ .

$\begin{array}{l}n=2,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{11\mathrm\pi}3\\\mathrm n=2,\;\mathrm x=\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{13\mathrm\pi}3\end{array}$

Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.

Ответ: а) $\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};$

б) $\frac{11\mathrm\pi}3,\;\frac{13\mathrm\pi}3$

Высота усеченного конуса равна $\frac{\sqrt3}2$ . Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.

Показать ответ

Решение:

Не нарушая общности, можем считать, что $\angle С=90^\circ$ . Найдем катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ : $\frac{BC}{AC}=tgA;\;AC=\frac{BC}{tgA}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3$

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу $CAC_1$ , где $C_1C$ - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок).

Действительно, плоскость $ABC$ пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой $BC$ , а нижнего основания конуса по прямой $l$ , значит $l\parallel BC$ . Так как $AC\perp BC$ , то $AC\perp l$ . $AС_1$ - проекция $AC$ на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, $AC_1\perp l$ по теореме о трех перпендикулярах. $\angle CAC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $ACC_1$ . $\sin\angle CAC_1=\frac{CC_1}{AC}=\frac12$ , $\angle CAC_1=30^\circ$ .

Ответ: $30^\circ$

Решите систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}\vert\log_3(9-x^2)-5\vert\;+\;\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4\\\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0\end{array}\right.$

Показать ответ

Решение:

Найдем решения первого неравенства системы.

Из условия $9-x^2>0$ получаем, что неравенство определено для $-3<x<3$ . При таких значениях справедливо неравенство: $\log_3(9-x^2)\leq\log_39=2$

Значит, $\log_3(9-x^2)-5<0$ при $x\in(-3;3)$ , и первое неравенство системы приводится к виду $5-\log_3(9-x^2)+\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4$ или $x^4-6x^2+5\geq0.$

Пусть $x^2=t$ , тогда получаем квадратное неравенство $t^2-6t+5\geq0$ , которое имеет решения $t\leq1;\;t\geq5$ . Далее из простейших неравенств $x^2\leq1;\;x^2\geq5$ находим значения $x\in(-\infty;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;+\infty)$ . Учитывая ограничение $-3<x<3$ получаем решения первого неравенства системы: $x\in(-3;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;3)$

Найдем область определения второго неравенства системы.

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}3-x>0\\3-x\neq1\\\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\\\log_4\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq2,\;x<3\end{array}\\\frac{x+5}{x+2}>1\end{array}\right.$ $x\in(-2;2)\cup(2;3)$

Используя рационализацию второго неравенства на его области определения, получаем:

$\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0$

$(3-x-1)(\log_4\frac{x+5}{x+2})-1)\geq0;$

$(2-x)(4-1)(\frac{x+5}{x+2}-4)\geq0;$

$\frac{(x-2)(x+1)}{(x+2)}\geq0$

Для решения последнего неравенства применим метод интервалов. Учитывая ОДЗ получим $x\in(-2;-1\rbrack\cup(2;3).$

Найдем общую часть полученных решений неравенств системы: $\left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)$

Ответ: $\left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)$

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, $\angle ABC=\alpha$ . Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС $BH=2R\cos^2\frac\alpha2$

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если $\angle ABC=120^\circ$ .

Показать ответ

Решение:

а) В $\bigtriangleup ABC$ по теореме синусов

$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R,\;\frac{AC}{\sin\alpha}=2R,\;AC=2AH,\;2AH=2R\sin\alpha,\;AH=R\sin\alpha$ (см. рисунок)

В $\bigtriangleup ABH:\;tg\angle ABH=\frac{AH}{BH},\;AH=BH\times tg\angle ABH=BH\times tg\;\frac\alpha2.$

Имеем $R\sin\alpha=BHtg\frac\alpha2.$

$BH=\frac{2R\sin{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sin{\displaystyle\frac a2}}=2R\cos^2\frac\alpha2$ , что и требовалось доказать

б) $S_{ABC}=\frac12\times AC\times BH=\frac12\times2R\sin\alpha\times2R\cos^2\frac\alpha2=2R^2\cos^2\frac\alpha2\sin\alpha.$

$S_{KBP}=\frac12PK\times BE.$ По условию $MN$ - средняя линия $\bigtriangleup ABC$ ? значит $BE=\frac12BH=R\cos^2\frac\alpha2.$ Из прямоугольного треугольника $BKF$ по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла

$KE^2=BE\times FE=R\cos^2\frac\alpha2(2R-R\cos^2\frac\alpha2)=$

$=R^2\cos^2(1+1-\cos^2\frac\alpha2)=R^2\cos^2\frac\alpha2(1+\sin^2\frac\alpha2).$

$PK=2KE=2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}$

$S_{KPB}=\frac12\times2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}\times R\cos^2\frac\alpha2=R^2\cos^3\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}.$

$\frac{S_{ABC}}{S_{KBP}}=\frac{2R^2\cos^2{\displaystyle\frac\alpha2}\sin\alpha}{R^2\cos^3{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{2\sin\alpha}{\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{4\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}.$

По условию $\alpha=120^\circ,$

Ответ: $\frac{4\sqrt{21}}7$

Прибыль «Незнайки» к концу года составила 9 408 000 рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на выплаты премий сотрудникам. Кроме того, было решено дополнительно выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную половине суммы выплаченных дивидендов, в количестве 150 обыкновенных и 100 привилегированных (в 1,5 раза более дорогих) акций. Определите стоимость одной привилегированной акции.

Показать ответ

Решение:

Пусть $x$ рублей часть прибыли, направленная в фонд развития предприятия, тогда $\frac{30}{100}x$ рублей было направлено на выплату дивидендов, $\frac{10}{100}x$ рублей - на выплату премий сотрудникам. Зная, что прибыль составила $9408000$ рублей, составим решим уравнение.

$x+\frac3{10}x+\frac1{10}x=9408000$

$x=6720000$

В фонд развития предприятия было направлено 6720000 рублей, на дивиденды - 2016000 рублей. 672000 - на премии сотрудникам.

Обозначим стоимость обыкновенных акций через t, тогда $\begin{array}{l}150t+100\times1,5t=0,5\times2016000\\t=3360\end{array}$

3360 рублей стоит обыкновенная акция.

$3360\times1,5=5040$ стоит привилегированная акция

Ответ: 5040.

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение $x^6+(3a-3\vert x\vert-a^2)^3+x^2=3\vert x\vert-3a+a^2$ имеет четыре различных решения.

Показать ответ

Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

Пусть $\left|x\right|=t$ , тогда получим квадратное уравнение $t^2-3t+3a-a^2=0,$ имеющее корни $t=a,\;t=3-a$ . Отсюда получаем $\left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a$ . Построим графики функций $a(x)=\left|x\right|$ и $a(x)=3-\left|x\right|$ (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему $\left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right.$ найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При $a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)$ эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при $a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)$

Ответ: $(0;1,5)\cup(1,5;3)$

Бесконечную последовательность b₁, b₂, b₃, ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n b_n > b₁ + b₂ + ... +b _n—1

а) Может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?

б) Может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5?

в) Может ли для всех n выполняться неравенство $\frac{b_1+b_2+_\cdots+b_n}n\leq2015$

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не может. Предположим противное. Тогда найдется особенная последовательность $\left\{b_n\right\}$ , для которой $b_n=b_{n-1}+d$ для некоторого натурального $d$ , то есть $b_n-b_{n-1}>b_1+...+b_{n-2}>(n-2)b_1$ , так как любой $b_j>b_{j-1}>...>b_1$ при $j\neq1.$

Таким образом $d\geq(n-2)b_1,\;n\leq\frac d{b_1}+2$ , что неверно в силу того, что $n$ - любое натуральное число, а $d$ и $b_1$ фиксированы.

б) Да, может. Приведем привер. Пусть $b_n=10^n$ . Сумма цифр любого $b_n$ равна 1, а $b_1+b_2+...+b_{n-1}=10+100+...+10^{n-1}=\frac{10^n-10}9<10^n$

Предположим, что такая особенная последовательность существует, тогда, по условию задачи, имеем $b_2>b_1,$ $b_3>b_1+b_2>2b_1,$ $b_n>(n-1)b_1.$

Значит, должно выполняться неравенство: $\frac{b_n}n(1+\frac{(n-1)n}2)<2015$ , $\frac1n+\frac{n-1}2<\frac{2015}{b_1}$ , которое неверно, поскольку $b_1$ фиксировано, а $n$ - произвольное натуральное число. Получили противоречие. Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0

№	Ваш ответ	Ответ и решение	Первичный балл
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.