Вариант 7
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
По тарифному плану «Бессонный» интернет-провайдер каждый вечер снимает со счёта абонента 26 рублей. Если на счету осталось меньше 26 рублей, то на следующее утро интернет блокируется до пополнения счёта. Сегодня утром у Алексея на счету 800 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться интернетом, не пополняя счёт?
На диаграмме показано количество посетителей сайта новостей во все дни с 10 по 29 ноября 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за день. Определите по диаграмме, сколько дней количество посетителей сайта новостей было наибольшим за указанный период.
Периметры подобных многоугольников ABCDE и AB’C’D’E' относятся как 4 : 7. Площадь большего многоугольника равна 98. Найдите площадь меньшего многоугольника.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
На рисунке изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(10) — F(2).
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 72. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в три раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uo sin(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 10 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение 1ctg2x−1sin(π2−x)=1
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π;9π2]
Решение:
Данное уравнение приведем к виду: 1ctg2x−1cosx=1. Уравнение определено при условии sinx≠0 и cosx≠0. Преобразуем уравнение: tg2x−1cos2x=1 => 1cos2x−1−1cosx=1. Пусть 1cosx=t, тогда получаем квадратное уравнение t2−t−2=0 с корнями t1=−1;t2=2. Имеем два уравнения 1cosx=−1;1cosx=2 или cosx=−1;cosx=12. Решения первого уравнения не удовлетворяют условию sinx≠0. Второе уравнение имеет решения: x=±π3+2πn,n∈Z
б) Найдем корни в промежутке [3π;9π2].
n=2,x=−π3+4π=11π3n=2,x=π3+4π=13π3
Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.
Ответ: а) ±π3+2πn,n∈Z;
б) 11π3,13π3
Высота усеченного конуса равна √32. Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.
Решение:
Не нарушая общности, можем считать, что ∠С=90∘. Найдем катет AC прямоугольного треугольника ABC: BCAC=tgA;AC=BCtgA=3√3=√3
Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу CAC1, где C1C - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок).

Действительно, плоскость ABC пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой BC, а нижнего основания конуса по прямой l, значит l∥BC. Так как AC⊥BC, то AC⊥l. AС1 - проекция AC на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, AC1⊥l по теореме о трех перпендикулярах. ∠CAC1 найдем из прямоугольного треугольника ACC1. sin∠CAC1=CC1AC=12, ∠CAC1=30∘.
Ответ: 30∘
Решите систему неравенств {|log3(9−x2)−5|+log3(9−x2)≥6x2−x4log3−x(log4x+5x+2)≥0
Решение:
Найдем решения первого неравенства системы.
Из условия 9−x2>0 получаем, что неравенство определено для −3<x<3. При таких значениях справедливо неравенство: log3(9−x2)≤log39=2
Значит, log3(9−x2)−5<0 при x∈(−3;3), и первое неравенство системы приводится к виду 5−log3(9−x2)+log3(9−x2)≥6x2−x4 или x4−6x2+5≥0.
Пусть x2=t, тогда получаем квадратное неравенство t2−6t+5≥0, которое имеет решения t≤1;t≥5. Далее из простейших неравенств x2≤1;x2≥5 находим значения x∈(−∞;−√5]∪[−1;1]∪[√5;+∞). Учитывая ограничение −3<x<3 получаем решения первого неравенства системы: x∈(−3;−√5]∪[−1;1]∪[√5;3)
Найдем область определения второго неравенства системы.
{3−x>03−x≠1x+5x+2>0log4x+5x+2>0{x≠2,x<3x+5x+2>1 x∈(−2;2)∪(2;3)
Используя рационализацию второго неравенства на его области определения, получаем:
log3−x(log4x+5x+2)≥0
(3−x−1)(log4x+5x+2)−1)≥0;
(2−x)(4−1)(x+5x+2−4)≥0;
(x−2)(x+1)(x+2)≥0
Для решения последнего неравенства применим метод интервалов. Учитывая ОДЗ получим x∈(−2;−1]∪(2;3).
Найдем общую часть полученных решений неравенств системы: {−1}∪[√5;3)
Ответ: {−1}∪[√5;3)
Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, ∠ABC=α. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.
а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС BH=2Rcos2α2
б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если ∠ABC=120∘.
Решение:
а) В △ABC по теореме синусов
ACsin∠ABC=2R,ACsinα=2R,AC=2AH,2AH=2Rsinα,AH=Rsinα (см. рисунок)
В △ABH:tg∠ABH=AHBH,AH=BH×tg∠ABH=BH×tgα2.
Имеем Rsinα=BHtgα2.
BH=2Rsinα2cosα2cosα2sina2=2Rcos2α2, что и требовалось доказать
б) SABC=12×AC×BH=12×2Rsinα×2Rcos2α2=2R2cos2α2sinα.
SKBP=12PK×BE. По условию MN - средняя линия △ABC? значит BE=12BH=Rcos2α2. Из прямоугольного треугольника BKF по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла
KE2=BE×FE=Rcos2α2(2R−Rcos2α2)=
=R2cos2(1+1−cos2α2)=R2cos2α2(1+sin2α2).
PK=2KE=2Rcosα2√1+sin2α2
SKPB=12×2Rcosα2√1+sin2α2×Rcos2α2=R2cos3α2√1+sin2α2.
SABCSKBP=2R2cos2α2sinαR2cos3α2√1+sin2α2=2sinαcosα2√1+sin2α2=4sinα2√1+sin2α2.
По условию α=120∘,
Ответ: 4√217
Прибыль «Незнайки» к концу года составила 9 408 000 рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на выплаты премий сотрудникам. Кроме того, было решено дополнительно выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную половине суммы выплаченных дивидендов, в количестве 150 обыкновенных и 100 привилегированных (в 1,5 раза более дорогих) акций. Определите стоимость одной привилегированной акции.
Решение:
Пусть x рублей часть прибыли, направленная в фонд развития предприятия, тогда 30100x рублей было направлено на выплату дивидендов, 10100x рублей - на выплату премий сотрудникам. Зная, что прибыль составила 9408000 рублей, составим решим уравнение.
x+310x+110x=9408000
x=6720000
В фонд развития предприятия было направлено 6720000 рублей, на дивиденды - 2016000 рублей. 672000 - на премии сотрудникам.
Обозначим стоимость обыкновенных акций через t, тогда 150t+100×1,5t=0,5×2016000t=3360
3360 рублей стоит обыкновенная акция.
3360×1,5=5040 стоит привилегированная акция
Ответ: 5040.
Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение x6+(3a−3|x|−a2)3+x2=3|x|−3a+a2 имеет четыре различных решения.
Решение:
Приведем данное уравнение к виду:
x6+x2=(3|x|−3a+a2)3+3|x|−3a+a2 или f(x)=f(3|x|−3a+a2), где f(p)=p3+p. Так как производная f`(p)=3p^2+1>0 при всех значениях p, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно, получаем равносильное уравнение x^2=3\left|x\right|-3a+a^2 или x^2-3\left|x\right|+3a-a^2=0
Пусть \left|x\right|=t, тогда получим квадратное уравнение t^2-3t+3a-a^2=0, имеющее корни t=a,\;t=3-a. Отсюда получаем \left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a. Построим графики функций a(x)=\left|x\right| и a(x)=3-\left|x\right| (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему \left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right. найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.
При a\in(0;1,5)\cup(1,5;3) эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)
Ответ: (0;1,5)\cup(1,5;3)
Бесконечную последовательность b1, b2, b3, ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n bn > b1 + b2 + ... +b n—1
а) Может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?
б) Может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5?
в) Может ли для всех n выполняться неравенство \frac{b_1+b_2+_\cdots+b_n}n\leq2015
Решение:
а) Нет, не может. Предположим противное. Тогда найдется особенная последовательность \left\{b_n\right\}, для которой b_n=b_{n-1}+d для некоторого натурального d, то есть b_n-b_{n-1}>b_1+...+b_{n-2}>(n-2)b_1, так как любой b_j>b_{j-1}>...>b_1 при j\neq1.
Таким образом d\geq(n-2)b_1,\;n\leq\frac d{b_1}+2, что неверно в силу того, что n - любое натуральное число, а d и b_1 фиксированы.
б) Да, может. Приведем привер. Пусть b_n=10^n. Сумма цифр любого b_n равна 1, а b_1+b_2+...+b_{n-1}=10+100+...+10^{n-1}=\frac{10^n-10}9<10^n
Предположим, что такая особенная последовательность существует, тогда, по условию задачи, имеем b_2>b_1,b_3>b_1+b_2>2b_1,b_n>(n-1)b_1.
Значит, должно выполняться неравенство: \frac{b_n}n(1+\frac{(n-1)n}2)<2015, \frac1n+\frac{n-1}2<\frac{2015}{b_1}, которое неверно, поскольку b_1 фиксировано, а n - произвольное натуральное число. Получили противоречие. Следовательно, такой последовательности не существует.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |