Processing math: 12%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

По тарифному плану «Бессонный» интернет-провайдер каждый вечер снимает со счёта абонента 26 рублей. Если на счету осталось меньше 26 рублей, то на следующее утро интернет блокируется до пополнения счёта. Сегодня утром у Алексея на счету 800 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться интернетом, не пополняя счёт?

2
2

На диаграмме показано количество посетителей сайта новостей во все дни с 10 по 29 ноября 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за день. Определите по диаграмме, сколько дней количество посетителей сайта новостей было наибольшим за указанный период.

3
3

Периметры подобных многоугольников ABCDE и AB’C’D’E' относятся как 4 : 7. Площадь большего многоугольника равна 98. Найдите площадь меньшего многоугольника.

4
4

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

5
5

Найдите корень уравнения 6x+3=1216

6
6

В треугольнике ABC угол C равен 90º, sinA=53434. Найдите tg B.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(10) — F(2).

8
8

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 72. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в три раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения y=111,26×1210,37

10
10

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uo sin(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 10 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

11
11

Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?

12
12

Найдите точку максимума функции y(x)=xx+6x

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение 1ctg2x1sin(π2x)=1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3π;9π2]

Показать ответ

Решение:

Данное уравнение приведем к виду: 1ctg2x1cosx=1. Уравнение определено при условии sinx0 и cosx0. Преобразуем уравнение: tg2x1cos2x=1 => 1cos2x11cosx=1. Пусть 1cosx=t, тогда получаем квадратное уравнение t2t2=0 с корнями t1=1;t2=2. Имеем два уравнения 1cosx=1;1cosx=2 или cosx=1;cosx=12. Решения первого уравнения не удовлетворяют условию sinx0. Второе уравнение имеет решения: x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\mathrm n\in\mathbb{Z}

б) Найдем корни в промежутке \left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right].

\begin{array}{l}n=2,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{11\mathrm\pi}3\\\mathrm n=2,\;\mathrm x=\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{13\mathrm\pi}3\end{array}

Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.

Ответ: а) \pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};

б) \frac{11\mathrm\pi}3,\;\frac{13\mathrm\pi}3

14

Высота усеченного конуса равна \frac{\sqrt3}2. Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.

Показать ответ

Решение:

Не нарушая общности, можем считать, что \angle С=90^\circ. Найдем катет AC прямоугольного треугольника ABC: \frac{BC}{AC}=tgA;\;AC=\frac{BC}{tgA}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу CAC_1, где C_1C - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок).

Действительно, плоскость ABC пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой BC, а нижнего основания конуса по прямой l, значит l\parallel BC. Так как AC\perp BC, то AC\perp l. AС_1 - проекция AC на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, AC_1\perp l по теореме о трех перпендикулярах. \angle CAC_1 найдем из прямоугольного треугольника ACC_1. \sin\angle CAC_1=\frac{CC_1}{AC}=\frac12, \angle CAC_1=30^\circ.

Ответ: 30^\circ

15

Решите систему неравенств \left\{\begin{array}{l}\vert\log_3(9-x^2)-5\vert\;+\;\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4\\\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0\end{array}\right.

Показать ответ

Решение:

Найдем решения первого неравенства системы.

Из условия 9-x^2>0 получаем, что неравенство определено для -3<x<3. При таких значениях справедливо неравенство: \log_3(9-x^2)\leq\log_39=2

Значит, \log_3(9-x^2)-5<0 при x\in(-3;3), и первое неравенство системы приводится к виду 5-\log_3(9-x^2)+\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4 или x^4-6x^2+5\geq0.

Пусть x^2=t, тогда получаем квадратное неравенство t^2-6t+5\geq0, которое имеет решения t\leq1;\;t\geq5. Далее из простейших неравенств x^2\leq1;\;x^2\geq5 находим значения x\in(-\infty;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;+\infty). Учитывая ограничение -3<x<3 получаем решения первого неравенства системы: x\in(-3;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;3)

Найдем область определения второго неравенства системы.

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}3-x>0\\3-x\neq1\\\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\\\log_4\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq2,\;x<3\end{array}\\\frac{x+5}{x+2}>1\end{array}\right. x\in(-2;2)\cup(2;3)

Используя рационализацию второго неравенства на его области определения, получаем:

\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0

(3-x-1)(\log_4\frac{x+5}{x+2})-1)\geq0;

(2-x)(4-1)(\frac{x+5}{x+2}-4)\geq0;

\frac{(x-2)(x+1)}{(x+2)}\geq0

Для решения последнего неравенства применим метод интервалов. Учитывая ОДЗ получим x\in(-2;-1\rbrack\cup(2;3).

Найдем общую часть полученных решений неравенств системы: \left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)

Ответ: \left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)

16

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, \angle ABC=\alpha. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС BH=2R\cos^2\frac\alpha2

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если \angle ABC=120^\circ.

Показать ответ

Решение:

а) В \bigtriangleup ABC по теореме синусов

\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R,\;\frac{AC}{\sin\alpha}=2R,\;AC=2AH,\;2AH=2R\sin\alpha,\;AH=R\sin\alpha (см. рисунок)

В \bigtriangleup ABH:\;tg\angle ABH=\frac{AH}{BH},\;AH=BH\times tg\angle ABH=BH\times tg\;\frac\alpha2.

Имеем R\sin\alpha=BHtg\frac\alpha2.

BH=\frac{2R\sin{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sin{\displaystyle\frac a2}}=2R\cos^2\frac\alpha2, что и требовалось доказать

б) S_{ABC}=\frac12\times AC\times BH=\frac12\times2R\sin\alpha\times2R\cos^2\frac\alpha2=2R^2\cos^2\frac\alpha2\sin\alpha.

S_{KBP}=\frac12PK\times BE. По условию MN - средняя линия \bigtriangleup ABC? значит BE=\frac12BH=R\cos^2\frac\alpha2. Из прямоугольного треугольника BKF по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла

KE^2=BE\times FE=R\cos^2\frac\alpha2(2R-R\cos^2\frac\alpha2)=

=R^2\cos^2(1+1-\cos^2\frac\alpha2)=R^2\cos^2\frac\alpha2(1+\sin^2\frac\alpha2).

PK=2KE=2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}

S_{KPB}=\frac12\times2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}\times R\cos^2\frac\alpha2=R^2\cos^3\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}.

\frac{S_{ABC}}{S_{KBP}}=\frac{2R^2\cos^2{\displaystyle\frac\alpha2}\sin\alpha}{R^2\cos^3{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{2\sin\alpha}{\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{4\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}.

По условию \alpha=120^\circ,

Ответ: \frac{4\sqrt{21}}7

17

Прибыль «Незнайки» к концу года составила 9 408 000 рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на выплаты премий сотрудникам. Кроме того, было решено дополнительно выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную половине суммы выплаченных дивидендов, в количестве 150 обыкновенных и 100 привилегированных (в 1,5 раза более дорогих) акций. Определите стоимость одной привилегированной акции.

Показать ответ

Решение:

Пусть x рублей часть прибыли, направленная в фонд развития предприятия, тогда \frac{30}{100}x рублей было направлено на выплату дивидендов, \frac{10}{100}x рублей - на выплату премий сотрудникам. Зная, что прибыль составила 9408000 рублей, составим решим уравнение.

x+\frac3{10}x+\frac1{10}x=9408000

x=6720000

В фонд развития предприятия было направлено 6720000 рублей, на дивиденды - 2016000 рублей. 672000 - на премии сотрудникам.

Обозначим стоимость обыкновенных акций через t, тогда \begin{array}{l}150t+100\times1,5t=0,5\times2016000\\t=3360\end{array}

3360 рублей стоит обыкновенная акция.

3360\times1,5=5040 стоит привилегированная акция

Ответ: 5040.

18

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение x^6+(3a-3\vert x\vert-a^2)^3+x^2=3\vert x\vert-3a+a^2 имеет четыре различных решения.

Показать ответ

Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

x^6+x^2=(3\left|x\right|-3a+a^2)^3+3|x|-3a+a^2 или f(x)=f\left(3\left|x\right|-3a+a^2\right), где f(p)=p^3+p. Так как производная f`(p)=3p^2+1>0 при всех значениях p, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно, получаем равносильное уравнение x^2=3\left|x\right|-3a+a^2 или x^2-3\left|x\right|+3a-a^2=0

Пусть \left|x\right|=t, тогда получим квадратное уравнение t^2-3t+3a-a^2=0, имеющее корни t=a,\;t=3-a. Отсюда получаем \left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a. Построим графики функций a(x)=\left|x\right| и a(x)=3-\left|x\right| (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему \left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right. найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При a\in(0;1,5)\cup(1,5;3) эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)

Ответ: (0;1,5)\cup(1,5;3)

19

Бесконечную последовательность b1, b2, b3, ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n bn > b1 + b2 + ... +b n—1

а) Может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?

б) Может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5?

в) Может ли для всех n выполняться неравенство \frac{b_1+b_2+_\cdots+b_n}n\leq2015

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не может. Предположим противное. Тогда найдется особенная последовательность \left\{b_n\right\}, для которой b_n=b_{n-1}+d для некоторого натурального d, то есть b_n-b_{n-1}>b_1+...+b_{n-2}>(n-2)b_1, так как любой b_j>b_{j-1}>...>b_1 при j\neq1.

Таким образом d\geq(n-2)b_1,\;n\leq\frac d{b_1}+2, что неверно в силу того, что n - любое натуральное число, а d и b_1 фиксированы.

б) Да, может. Приведем привер. Пусть b_n=10^n. Сумма цифр любого b_n равна 1, а b_1+b_2+...+b_{n-1}=10+100+...+10^{n-1}=\frac{10^n-10}9<10^n

Предположим, что такая особенная последовательность существует, тогда, по условию задачи, имеем b_2>b_1,b_3>b_1+b_2>2b_1,b_n>(n-1)b_1.

Значит, должно выполняться неравенство: \frac{b_n}n(1+\frac{(n-1)n}2)<2015, \frac1n+\frac{n-1}2<\frac{2015}{b_1}, которое неверно, поскольку b_1 фиксировано, а n - произвольное натуральное число. Получили противоречие. Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 813
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?