Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

По тарифному плану «Бессонный» интернет-провайдер каждый вечер снимает со счёта абонента 26 рублей. Если на счету осталось меньше 26 рублей, то на следующее утро интернет блокируется до пополнения счёта. Сегодня утром у Алексея на счету 800 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться интернетом, не пополняя счёт?

2
2

На диаграмме показано количество посетителей сайта новостей во все дни с 10 по 29 ноября 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за день. Определите по диаграмме, сколько дней количество посетителей сайта новостей было наибольшим за указанный период.

3
3

Периметры подобных многоугольников ABCDE и AB’C’D’E' относятся как 4 : 7. Площадь большего многоугольника равна 98. Найдите площадь меньшего многоугольника.

4
4

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

5
5

Найдите корень уравнения [math]6^{x+3}=\frac1{216}[/math]

6
6

В треугольнике ABC угол C равен 90º, [math]\sin A=\frac{5\sqrt{34}}{34}[/math]. Найдите tg B.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(10) — F(2).

8
8

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 72. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в три раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения [math]y=11^{1,26}\times121^{0,37}[/math]

10
10

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uo sin(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 10 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

11
11

Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y(x)=-x\sqrt x+6x[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\frac1{ctg^2x}-\frac1{sin\left(\frac\pi2-x\right)}=1[/math]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right][/math]

Показать ответ

Решение:

Данное уравнение приведем к виду: [math]\frac1{ctg^2x}-\frac1{\cos x}=1[/math]. Уравнение определено при условии [math]\sin x\neq0[/math] и [math]\cos x\neq0[/math]. Преобразуем уравнение: [math]tg^2x-\frac1{\cos^2x}=1[/math] => [math]\frac1{\cos^2x}-1-\frac1{\cos x}=1[/math]. Пусть [math]\frac1{\cos x}=t[/math], тогда получаем квадратное уравнение [math]t^2-t-2=0[/math] с корнями [math]t_1=-1;\;t_2=2[/math]. Имеем два уравнения [math]\frac1{\cos x}=-1;\;\frac1{\cos x}=2[/math] или [math]\cos x=-1;\;\cos x=\frac12.[/math] Решения первого уравнения не удовлетворяют условию [math]\sin x\neq0[/math]. Второе уравнение имеет решения: [math]x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

б) Найдем корни в промежутке [math]\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right][/math].

[math]\begin{array}{l}n=2,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{11\mathrm\pi}3\\\mathrm n=2,\;\mathrm x=\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{13\mathrm\pi}3\end{array}[/math]

Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{11\mathrm\pi}3,\;\frac{13\mathrm\pi}3[/math]

14

Высота усеченного конуса равна [math]\frac{\sqrt3}2[/math]. Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.

Показать ответ

Решение:

Не нарушая общности, можем считать, что [math]\angle С=90^\circ[/math]. Найдем катет [math]AC[/math] прямоугольного треугольника [math]ABC[/math]: [math]\frac{BC}{AC}=tgA;\;AC=\frac{BC}{tgA}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3[/math]

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу [math]CAC_1[/math], где [math]C_1C[/math] - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок).

Действительно, плоскость [math]ABC[/math] пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой [math]BC[/math], а нижнего основания конуса по прямой [math]l[/math], значит [math]l\parallel BC[/math]. Так как [math]AC\perp BC[/math], то [math]AC\perp l[/math]. [math]AС_1[/math] - проекция [math]AC[/math] на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, [math]AC_1\perp l[/math] по теореме о трех перпендикулярах. [math]\angle CAC_1[/math] найдем из прямоугольного треугольника [math]ACC_1[/math]. [math]\sin\angle CAC_1=\frac{CC_1}{AC}=\frac12[/math], [math]\angle CAC_1=30^\circ[/math].

Ответ: [math]30^\circ[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}\vert\log_3(9-x^2)-5\vert\;+\;\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4\\\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Найдем решения первого неравенства системы.

Из условия [math]9-x^2>0[/math] получаем, что неравенство определено для [math]-3<x<3[/math]. При таких значениях справедливо неравенство: [math]\log_3(9-x^2)\leq\log_39=2[/math]

Значит, [math]\log_3(9-x^2)-5<0[/math] при [math]x\in(-3;3)[/math], и первое неравенство системы приводится к виду [math]5-\log_3(9-x^2)+\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4[/math] или [math]x^4-6x^2+5\geq0.[/math]

Пусть [math]x^2=t[/math], тогда получаем квадратное неравенство [math]t^2-6t+5\geq0[/math], которое имеет решения [math]t\leq1;\;t\geq5[/math]. Далее из простейших неравенств [math]x^2\leq1;\;x^2\geq5[/math] находим значения [math]x\in(-\infty;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;+\infty)[/math]. Учитывая ограничение [math]-3<x<3[/math] получаем решения первого неравенства системы: [math]x\in(-3;-\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\cup\lbrack\sqrt5;3)[/math]

Найдем область определения второго неравенства системы.

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}3-x>0\\3-x\neq1\\\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\\\log_4\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq2,\;x<3\end{array}\\\frac{x+5}{x+2}>1\end{array}\right.[/math] [math]x\in(-2;2)\cup(2;3)[/math]

Используя рационализацию второго неравенства на его области определения, получаем:

[math]\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0[/math]

[math](3-x-1)(\log_4\frac{x+5}{x+2})-1)\geq0;[/math]

[math](2-x)(4-1)(\frac{x+5}{x+2}-4)\geq0;[/math]

[math]\frac{(x-2)(x+1)}{(x+2)}\geq0[/math]

Для решения последнего неравенства применим метод интервалов. Учитывая ОДЗ получим [math]x\in(-2;-1\rbrack\cup(2;3).[/math]

Найдем общую часть полученных решений неравенств системы: [math]\left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)[/math]

Ответ: [math]\left\{-1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)[/math]

16

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, [math]\angle ABC=\alpha[/math]. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС [math]BH=2R\cos^2\frac\alpha2[/math]

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если [math]\angle ABC=120^\circ[/math].

Показать ответ

Решение:

а) В [math]\bigtriangleup ABC[/math] по теореме синусов

[math]\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R,\;\frac{AC}{\sin\alpha}=2R,\;AC=2AH,\;2AH=2R\sin\alpha,\;AH=R\sin\alpha[/math] (см. рисунок)

В [math]\bigtriangleup ABH:\;tg\angle ABH=\frac{AH}{BH},\;AH=BH\times tg\angle ABH=BH\times tg\;\frac\alpha2.[/math]

Имеем [math]R\sin\alpha=BHtg\frac\alpha2.[/math]

[math]BH=\frac{2R\sin{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sin{\displaystyle\frac a2}}=2R\cos^2\frac\alpha2[/math], что и требовалось доказать

б) [math]S_{ABC}=\frac12\times AC\times BH=\frac12\times2R\sin\alpha\times2R\cos^2\frac\alpha2=2R^2\cos^2\frac\alpha2\sin\alpha.[/math]

[math]S_{KBP}=\frac12PK\times BE.[/math] По условию [math]MN[/math] - средняя линия [math]\bigtriangleup ABC[/math]? значит [math]BE=\frac12BH=R\cos^2\frac\alpha2.[/math] Из прямоугольного треугольника [math]BKF[/math] по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла

[math]KE^2=BE\times FE=R\cos^2\frac\alpha2(2R-R\cos^2\frac\alpha2)=[/math]

[math]=R^2\cos^2(1+1-\cos^2\frac\alpha2)=R^2\cos^2\frac\alpha2(1+\sin^2\frac\alpha2).[/math]

[math]PK=2KE=2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}[/math]

[math]S_{KPB}=\frac12\times2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}\times R\cos^2\frac\alpha2=R^2\cos^3\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}.[/math]

[math]\frac{S_{ABC}}{S_{KBP}}=\frac{2R^2\cos^2{\displaystyle\frac\alpha2}\sin\alpha}{R^2\cos^3{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{2\sin\alpha}{\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{4\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}.[/math]

По условию [math]\alpha=120^\circ,[/math]

Ответ: [math]\frac{4\sqrt{21}}7[/math]

17

Прибыль «Незнайки» к концу года составила 9 408 000 рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на выплаты премий сотрудникам. Кроме того, было решено дополнительно выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную половине суммы выплаченных дивидендов, в количестве 150 обыкновенных и 100 привилегированных (в 1,5 раза более дорогих) акций. Определите стоимость одной привилегированной акции.

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] рублей часть прибыли, направленная в фонд развития предприятия, тогда [math]\frac{30}{100}x[/math] рублей было направлено на выплату дивидендов, [math]\frac{10}{100}x[/math] рублей - на выплату премий сотрудникам. Зная, что прибыль составила [math]9408000[/math] рублей, составим решим уравнение.

[math]x+\frac3{10}x+\frac1{10}x=9408000[/math]

[math]x=6720000[/math]

В фонд развития предприятия было направлено 6720000 рублей, на дивиденды - 2016000 рублей. 672000 - на премии сотрудникам.

Обозначим стоимость обыкновенных акций через t, тогда [math]\begin{array}{l}150t+100\times1,5t=0,5\times2016000\\t=3360\end{array}[/math]

3360 рублей стоит обыкновенная акция.

[math]3360\times1,5=5040[/math] стоит привилегированная акция

Ответ: 5040.

18

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение [math]x^6+(3a-3\vert x\vert-a^2)^3+x^2=3\vert x\vert-3a+a^2[/math] имеет четыре различных решения.

Показать ответ

Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

[math] x^6+x^2=(3\left|x\right|-3a+a^2)^3+3|x|-3a+a^2[/math] или [math]f(x)=f\left(3\left|x\right|-3a+a^2\right)[/math], где [math]f(p)=p^3+p[/math]. Так как производная [math]f`(p)=3p^2+1>0[/math] при всех значениях p, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно, получаем равносильное уравнение [math]x^2=3\left|x\right|-3a+a^2[/math] или [math]x^2-3\left|x\right|+3a-a^2=0[/math]

Пусть [math]\left|x\right|=t[/math], тогда получим квадратное уравнение [math]t^2-3t+3a-a^2=0,[/math] имеющее корни [math]t=a,\;t=3-a[/math]. Отсюда получаем [math]\left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a[/math]. Построим графики функций [math]a(x)=\left|x\right|[/math] и [math]a(x)=3-\left|x\right|[/math] (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему [math]\left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right.[/math] найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При [math]a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)[/math] эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при [math]a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)[/math]

Ответ: [math](0;1,5)\cup(1,5;3)[/math]

19

Бесконечную последовательность b1, b2, b3, ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n bn > b1 + b2 + ... +b n—1

а) Может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?

б) Может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5?

в) Может ли для всех n выполняться неравенство [math]\frac{b_1+b_2+_\cdots+b_n}n\leq2015[/math]

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не может. Предположим противное. Тогда найдется особенная последовательность [math]\left\{b_n\right\}[/math], для которой [math]b_n=b_{n-1}+d[/math] для некоторого натурального [math]d[/math], то есть [math]b_n-b_{n-1}>b_1+...+b_{n-2}>(n-2)b_1[/math], так как любой [math]b_j>b_{j-1}>...>b_1[/math] при [math]j\neq1.[/math]

Таким образом [math]d\geq(n-2)b_1,\;n\leq\frac d{b_1}+2[/math], что неверно в силу того, что [math]n[/math] - любое натуральное число, а [math]d[/math] и [math]b_1[/math] фиксированы.

б) Да, может. Приведем привер. Пусть [math]b_n=10^n[/math]. Сумма цифр любого [math]b_n[/math] равна 1, а [math]b_1+b_2+...+b_{n-1}=10+100+...+10^{n-1}=\frac{10^n-10}9<10^n[/math]

Предположим, что такая особенная последовательность существует, тогда, по условию задачи, имеем [math]b_2>b_1,[/math][math]b_3>b_1+b_2>2b_1,[/math][math]b_n>(n-1)b_1.[/math]

Значит, должно выполняться неравенство: [math]\frac{b_n}n(1+\frac{(n-1)n}2)<2015[/math], [math]\frac1n+\frac{n-1}2<\frac{2015}{b_1}[/math], которое неверно, поскольку [math]b_1[/math] фиксировано, а [math]n[/math] - произвольное натуральное число. Получили противоречие. Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 884 414
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?