Processing math: 100%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 6

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Флакон герметика для автомобиля стоит 180 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2
2

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 160 кгс? Ответ дайте в градусах.

3
3

Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4
4

В люстре две одинаковые лампы. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5
5

Найдите корень уравнения 86x96=19

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg ВАС = 71515. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(х) — производной функции f(х), определённой на интервале (—8; 15). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [1; 13].

8
8

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения: y=49x2257x+57x

10
10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температура определяется по формуле T(t) = То + at + bt2, где t — время в минутах, То = 120 К, b = -1/4 K/мин2, а = 39,5 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1080 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11
11

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наибольшее значение функции y=xx5x+5 на отрезке [1;25].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение sin2Зx2sin6x+3cos2Зx=0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [1;1].

Показать ответ

Решение:

sin23x4sin3xcos3x+3cos23x=0

а) Заметим, что при cos3x=0 из основного тригонометрического тождества следует, что sin23x=1 и потому sin3x=±1, а значит, уравнение превратится в неверное равенство. Разделим обе части на cos23x, получим tg2x4tg3x+3=0. Сделаем замену tg3x=t, тогда t24t+3=0,t=1,t=3

tg3x=1,x=π12+πk3,kZ

tg3x=3,x=arctg33+πn3,nZ

б) k=0,x=π12k=1,x=π12π3=π4n=0,x=arctg33n=1,x=arctg33π3

Ответ: а) arctg33+πn3,nZ;

π12+πk3,kZ;

б) π4,arctg33π3,arctg33,π12

14

Высота усечённого конуса равна 3. Прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 60°, и углом С, равным 90°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите АВ, если угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса равен 60°.

Показать ответ

Решение:

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу CAC1, где CC1 - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок)

Действительно, плоскость ABC пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой BC, а нижнего основания конуса по прямой l, значит lBC. Так как ACBC, то ACl. AC1 - проекция AC на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, AC1l по теореме о трех перпендикулярах. В прямоугольном треугольнике ACC1 CC1AC=sinCAC1, откуда AC=CC1sinCAC1=3sin60=2

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC лежит напротив угла в 30, следовательно гипотенуза AB=2AC=4

Ответ: AB=4

15

Решите систему неравенств

{3x1+1x+21x1+3x+2,2logx33log3x1.

Показать ответ

Решение:

3x1+1x+21x1+3x+2;3(x+2)+x1(x1)(x+2)x+2+3(x1)(x1)(x+2);6(x1)(x+2)0x(2;1)

Решим второе неравенство системы.

ОДЗ: {x>0x1

Пусть log3x=t, тогда 2t3t1; 3t2t+2t0

решив уравнение 3t2+t2=0, получим t1=1;t2=23, тогда рассматриваемое неравенство примет вид 3(t23)(t+1)t0. t(;1](0;23]. Из условия log3x1 получим x13 и из условия 0log3x23 получим x(1;39]. Учитывая ОДЗ, получим x(0;13](1;39]

Определим пересечение полученных решений первого и второго неравенства системы: x(0;13]

Ответ: (0; 1/3]

16

Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая внешняя касательная.

а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания.

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что OAAC и O1CAC по свойству радиусов, проведеных в точку касания (см. рисунок). Опустим OKO1C, тогда OACK - прямоугольник, CK=OA=2,O1K=O1CCK=62=4. Обозначим буквой M точку касания окружностей, тогда OM=2,O1M=6,OO1=8. В прямоугольном треугольнике O1OK выполняется соотношение O1KOO1=12, следовательно, O1OK=30. Тогда OO1K=90O1OK=60,CO1O=60, что и требовалось доказать.

б) O1OA=180600=120. Градусная мера внешней дуги внешней окружности равна360120120=120. Градусная мера внешней дуги большей окружности равна 3606060=240. Значит, длина внешней внешней дуги меньшей окружности равна 2π×2×120360=4π3. Длина внешней дуги большей окружности равна 2π×6×240360=8π. Из треугольника O1OK по теореме Пифагора OK=OO21O1K2=48=43. AC=A1C1=43

Искомый периметр равен: 4π3+43+8π+43=83+28π3

Ответ: 28π3+83

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть x вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят 0,2x вертолетов, во втором квартале 0,3x, в третьем 12×0,3x+1022. Составим и решим уравнение:

0,2x+0,3x+0,3x+1024+102=xx=300

0,3×300+1024=48 вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: 48

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение log1a(x2+ax+10+1)lg(x2+ax+11)+2loga2=0 имеет нечетное количество решений.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: {a>0,a1,x2+ax+100x2+ax+11>0{a>0,a1,x2+ax+100

Обозначим x+α2=t.

Уравнение примет вид

log1a(t2+10a24+1)lg(t2+11a24)+2loga2=0.

Функция f(t)=log1a(t2+10a24+1)lg(t2+11a24)+2loga2 - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при t=0, в противном случае будет четное число решений,что противоречит условию задачи.

Имеем f(0)=0.

log1a(10a24+1)lg(11a24)+2loga2=0.(1)

Пусть 10a22=b,b0. Тогда уравнение (1) принимает вид: loga(b+1)lg(b2+1)+loga4=0,log2(b+1)×log2(b2+1)=log24×log210.(2)

Если b=0, то получаем противоречие, поэтому b>0,b+1>1 и b2+1>1. Отсюда следует, что функции g(b)=log2(b+1) и f(b)=log2(b2+1) являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если b+1=4 и b2+1=10, то b=3 удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: a=2

19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать ответ

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k8l+0×m=3(k+l+m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому

k+l+m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40<k+l+m<48,, поэтому k+l+m=44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство 4k8l=3(k+l+m) к виду 5l=7k+3m. Так как m0, получаем, что 5l7k, откуда l>k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим k+l+m=44 в правую часть равенства 4k8l=3(k+l+m):4k8l=132, откуда k=2l33. Так как k+l44, получаем: 3l3344;3l77;l25;k=2l3317, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и 2 раза написан 0. Тогда 4×178×2544=3, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 941
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?