Processing math: 12%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 6

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Флакон герметика для автомобиля стоит 180 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2
2

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 160 кгс? Ответ дайте в градусах.

3
3

Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4
4

В люстре две одинаковые лампы. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5
5

Найдите корень уравнения 86x96=19

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg ВАС = 71515. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(х) — производной функции f(х), определённой на интервале (—8; 15). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [1; 13].

8
8

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения: y=49x2257x+57x

10
10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температура определяется по формуле T(t) = То + at + bt2, где t — время в минутах, То = 120 К, b = -1/4 K/мин2, а = 39,5 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1080 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11
11

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наибольшее значение функции y=xx5x+5 на отрезке [1;25].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение sin2Зx2sin6x+3cos2Зx=0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [1;1].

Показать ответ

Решение:

sin23x4sin3xcos3x+3cos23x=0

а) Заметим, что при cos3x=0 из основного тригонометрического тождества следует, что sin23x=1 и потому sin3x=±1, а значит, уравнение превратится в неверное равенство. Разделим обе части на cos23x, получим tg2x4tg3x+3=0. Сделаем замену tg3x=t, тогда t24t+3=0,t=1,t=3

tg3x=1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z}

tg3x=3,\;x=\frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z}

б) \begin{array}{l}k=0,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}\\k=-1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}-\frac{\mathrm\pi}3=-\frac{\mathrm\pi}4\\n=0,\;x=\frac{arctg3}3\\n=1,\;x=\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3\end{array}

Ответ: а) \frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};

\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z};

б) -\frac{\mathrm\pi}4,\;\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3,\;\frac{arctg3}3,\;\frac{\mathrm\pi}{12}

14

Высота усечённого конуса равна \sqrt3. Прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 60°, и углом С, равным 90°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите АВ, если угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса равен 60°.

Показать ответ

Решение:

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу CAC_1, где CC_1 - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок)

Действительно, плоскость ABC пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой BC, а нижнего основания конуса по прямой l, значит l\parallel BC. Так как AC\perp BC, то AC\perp l. AC_1 - проекция AC на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, AC_1\perp l по теореме о трех перпендикулярах. В прямоугольном треугольнике ACC_1 \frac{CC_1}{AC}=\sin\angle CAC_1, откуда AC=\frac{CC_1}{\sin\angle CAC_1}=\frac{\sqrt3}{\sin60^\circ}=2

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC лежит напротив угла в 30^\circ, следовательно гипотенуза AB=2AC=4

Ответ: AB=4

15

Решите систему неравенств

\left\{\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leqslant\frac1{x-1}+\frac3{x+2},\\2\log_x3-3\log_3x\geqslant1.\end{array}\right.

Показать ответ

Решение:

\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leq\frac1{x-1}+\frac3{x+2};\\\frac{3(x+2)+x-1}{(x-1)(x+2)}\leq\frac{x+2+3(x-1)}{(x-1)(x+2)};\\\frac6{(x-1)(x+2)}\leq0\\x\in(-2;1)\end{array}

Решим второе неравенство системы.

ОДЗ: \left\{\begin{array}{l}x>0\\x\neq1\end{array}\right.

Пусть \log_3x=t, тогда \frac2t-3t\geq1; \frac{-3t^2-t+2}t\geq0

решив уравнение 3t^2+t-2=0, получим t_1=-1;\;t_2=\frac23, тогда рассматриваемое неравенство примет вид \frac{3(t-{\displaystyle\frac23})(t+1)}t\leq0. t\in(-\infty;\;-1\rbrack\;\cup(0;\;\frac23\rbrack. Из условия \log_3x\leq-1 получим x\leq\frac13 и из условия 0\leq\log_3x\leq\frac23 получим x\in(1;\sqrt[3]9\rbrack. Учитывая ОДЗ, получим x\in(0;\frac13\rbrack\cup(1;\sqrt[3]9\rbrack

Определим пересечение полученных решений первого и второго неравенства системы: x\in(0;\frac13\rbrack

Ответ: (0; 1/3]

16

Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая внешняя касательная.

а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания.

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что OA\perp AC и O_1C\perp AC по свойству радиусов, проведеных в точку касания (см. рисунок). Опустим OK\perp O_1C, тогда OACK - прямоугольник, CK=OA=2,O_1K=O_1C-CK=6-2=4. Обозначим буквой M точку касания окружностей, тогда OM=2,\;O_1M=6,\;OO_1=8.\; В прямоугольном треугольнике O_1OK выполняется соотношение \frac{O_1K}{OO_1}=\frac12, следовательно, \angle O_1OK=30^\circ. Тогда \angle OO_1K=90^\circ-\angle O_1OK=60^\circ,\angle CO_1O=60^\circ, что и требовалось доказать.

б) \angle O_1OA=180^\circ-60^0=120^\circ. Градусная мера внешней дуги внешней окружности равна360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ. Градусная мера внешней дуги большей окружности равна 360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ. Значит, длина внешней внешней дуги меньшей окружности равна \begin{array}{l}2\mathrm\pi\times2\times\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{4\mathrm\pi}3\\\end{array}. Длина внешней дуги большей окружности равна \begin{array}{l}2\mathrm\pi\times6\times\frac{240^\circ}{360^\circ}=8\mathrm\pi\\\end{array}. Из треугольника \begin{array}{l}{\mathrm O}_1\mathrm{OK}\\\end{array} по теореме Пифагора \begin{array}{l}\mathrm{OK}=\sqrt{{\mathrm{OO}}_1^2-{\mathrm O}_1\mathrm K^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\\end{array}. \begin{array}{l}\mathrm{AC}={\mathrm A}_1{\mathrm C}_1=4\sqrt3\\\end{array}

Искомый периметр равен: \begin{array}{l}\frac{4\mathrm\pi}3+4\sqrt3+8\mathrm\pi+4\sqrt3=8\sqrt3+\frac{28\mathrm\pi}3\\\end{array}

Ответ: \frac{28\mathrm\pi}3+8\sqrt3

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть x вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят 0,2x вертолетов, во втором квартале 0,3x, в третьем \frac12\times\frac{0,3x+102}2. Составим и решим уравнение:

\begin{array}{l}0,2x+0,3x+\frac{0,3x+102}4+102=x\\x=300\end{array}

\frac{0,3\times300+102}4=48 вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: 48

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение \log_\frac1a(\sqrt{x^2+ax+10}+1)\lg\left(x^2+ax+11\right)+2log_a2=0 имеет нечетное количество решений.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: \left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\\x^2+ax+11>0\end{array}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\end{array}\end{array}\right.

Обозначим x+\frac\alpha2=t.

Уравнение примет вид

log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0.

Функция f(t)=log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2 - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при t=0, в противном случае будет четное число решений,что противоречит условию задачи.

Имеем f(0)=0.

\log_\frac1a(\sqrt{10-\frac{a^2}4}+1)lg(11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0. (1)

Пусть \sqrt{10-\frac{a^2}2}=b,\;b\geq0. Тогда уравнение (1) принимает вид: \begin{array}{l}-\log_a(b+1)lg(b^2+1)+\log_a4=0,\\\log_2(b+1)\times log_2(b^2+1)=\log_24\times\log_210.\;(2)\end{array}

Если b=0, то получаем противоречие, поэтому b>0,\;b+1>1 и b^2+1>1. Отсюда следует, что функции g(b)=\log_2(b+1) и f(b)=\log_2(b^2+1) являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если b+1=4 и b^2+1=10, то b=3 удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: a=2

19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать ответ

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k-8l+0\times m=-3(k+l+m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому

k+l+m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40<k+l+m<48,, поэтому k+l+m=44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство 4k-8l=-3(k+l+m) к виду 5l=7k+3m. Так как m\geq0, получаем, что 5l\geq7k, откуда l>k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим k+l+m=44 в правую часть равенства 4k-8l=-3(k+l+m):\;4k-8l=-132, откуда k=2l-33. Так как k+l\leq44, получаем: 3l-33\leq44;\;3l\leq77;\;l\leq25;\;k=2l-33\leq17, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и 2 раза написан 0. Тогда \frac{4\times17-8\times25}{44}=-3, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 820
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?