Вариант 14

При покупке двух вещей магазин предоставляет скидку 50 % на ту вещь, стоимость которой меньше. Сколько Юля заплатит за покупку, если юбка стоит 1700 руб., а свитер — 1250 руб.? Ответ дайте в рублях.

На графике точками показана динамика цен акций фирмы Coca-Cola в 2005-2016 гг. По горизонтали указаны года, по вертикали — стоимость одной акции в долларах.

На сколько долларов выросла стоимость акций фирмы Coca-Cola с 2006 до 2016 года?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображен параллелограмм. Найдите его площадь, ответ дайте в см².

В школьной библиотеке 120 учебников по русскому языку для 9-го класса. Из них 45 учебников 2016 г. издания, 15 учебников — 2015 г. издания, а остальные поровну — 2014 и 2013 гг. издания. Библиотекарь случайным образом выбирает учебник. Найдите вероятность того, что выбранная книга будет 2016 г. или 2014 г. издания.

Решите уравнение [math]7^{(x^2-9)}=1[/math]. В ответе укажите бо́льший корень.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Ответ дайте в см.

На рисунке изображен график производной функции f(x).

Найдите количество точек, в которых угол наклона касательной к графику функции y=f(x) равен 45°.

В правильной треугольной пирамиде высота равна 1 см. Найдите апофему пирамиды (в см), если радиус окружности, вписанной в основание, равен [math]2\sqrt2[/math].

Найдите значение выражения [math]5^{\log_5\left(x^2-6x+1\right)}[/math] при х = —2.

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты, описывается уравнением [math]y=h_0+xtg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha}[/math], где h₀ — высота, с которой бросают тело, [math]\alpha[/math] — угол к горизонту, g = 9,8 м/c² — ускорение свободного падения, х, у — координаты тела в некоторый момент времени. Найдите, с какой высоты (в метрах) было брошено тело со скоростью 2 м/с, если [math]\alpha[/math] = 45°, х = 2 м, у = 3,1 м.

У катера прогулка длиной 15 км по течению реки занимает на 30 минут больше, чем прогулка длиной 4 км против течения. Найдите скорость катера (в км/ч), если известно, что она больше 10 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч.

Найдите наибольшее значение функции [math]f(x)=sinx+\frac{sin2x}2[/math] на промежутке

Дано уравнение [math]\left|\cos x+1\right|=\cos2x+2[/math]

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{7\pi}2;\;-2\pi\right].[/math]

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды МАВС.

Решите неравенство [math]\frac{2^{x+1}\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}\leq\frac{\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8}[/math].

В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, ∠B=120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

20‐го декабря Валерий взял кредит в банке на сумму 500 тысяч руб. сроком на пять месяцев. Условия возврата кредита таковы:

• 5-го числа каждого месяца долг увеличивается на целое число n процентов по сравнению с предыдущим месяцем;

• с 6‐го по 19‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 20‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Найдите наименьшее n, при котором сумма выплат сверх взятого кредита (выплаты по процентам) составит более 200 тыс. руб.

Найдите все а, при каждом из которых уравнение [math]x^4-x^2+\frac{\left|ax\right|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0[/math] имеет ровно три корня. Для каждого такого а укажите корни.

Многозначное число 123456789101112...9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.

а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?

б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?

в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?