Вариант 14
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
При покупке двух вещей магазин предоставляет скидку 50 % на ту вещь, стоимость которой меньше. Сколько Юля заплатит за покупку, если юбка стоит 1700 руб., а свитер — 1250 руб.? Ответ дайте в рублях.
На графике точками показана динамика цен акций фирмы Coca-Cola в 2005-2016 гг. По горизонтали указаны года, по вертикали — стоимость одной акции в долларах.
На сколько долларов выросла стоимость акций фирмы Coca-Cola с 2006 до 2016 года?
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображен параллелограмм. Найдите его площадь, ответ дайте в см2.

В школьной библиотеке 120 учебников по русскому языку для 9-го класса. Из них 45 учебников 2016 г. издания, 15 учебников — 2015 г. издания, а остальные поровну — 2014 и 2013 гг. издания. Библиотекарь случайным образом выбирает учебник. Найдите вероятность того, что выбранная книга будет 2016 г. или 2014 г. издания.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Ответ дайте в см.
На рисунке изображен график производной функции f(x).
Найдите количество точек, в которых угол наклона касательной к графику функции y=f(x) равен 45°.
В правильной треугольной пирамиде высота равна 1 см. Найдите апофему пирамиды (в см), если радиус окружности, вписанной в основание, равен 2√2.
Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты, описывается уравнением y=h0+xtgα−gx22v20cos2α, где h0 — высота, с которой бросают тело, α — угол к горизонту, g = 9,8 м/c2 — ускорение свободного падения, х, у — координаты тела в некоторый момент времени. Найдите, с какой высоты (в метрах) было брошено тело со скоростью 2 м/с, если α = 45°, х = 2 м, у = 3,1 м.
У катера прогулка длиной 15 км по течению реки занимает на 30 минут больше, чем прогулка длиной 4 км против течения. Найдите скорость катера (в км/ч), если известно, что она больше 10 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч.
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
Дано уравнение |cosx+1|=cos2x+2
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [−7π2;−2π].
A) π2+πn,±π3+2πn,n∈Z
Б) −7π2,−5π2,−7π3
В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.
а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.
27√397
Решите неравенство 2x+1√2x+1−12x−15≤√2x+1−12x−8.
{-1}⋃[0; log215-1]⋃(3; log215)
В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, ∠B=120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.
а) Докажите, что АМ=ВС.
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.
14√37+√3
20‐го декабря Валерий взял кредит в банке на сумму 500 тысяч руб. сроком на пять месяцев. Условия возврата кредита таковы:
• 5-го числа каждого месяца долг увеличивается на целое число n процентов по сравнению с предыдущим месяцем;
• с 6‐го по 19‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 20‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:
Найдите наименьшее n, при котором сумма выплат сверх взятого кредита (выплаты по процентам) составит более 200 тыс. руб.
Найдите все а, при каждом из которых уравнение x4−x2+|ax|3√3+a3−a2−2a=0 имеет ровно три корня. Для каждого такого а укажите корни.
при а=0 x∈{±1; 0};
при а=2 x∈{±√3/3; 0}
Многозначное число 123456789101112...9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.
а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?
а) 5; б) 2893; в) 8 (из числа 708)
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |