Кроме как методом научного тыка такую задачу не решить:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 .

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−6 суммы квадратов чисел не кратны трём:

[math]\begin{array}{l}\frac{9^2+9^2+2^2}3=\frac{81+81+4}3=\frac{166}3=55\frac13\\\frac{9^2+8^2+3^2}3=\frac{81+64+9}3=\frac{154}3=51\frac13\\\frac{9^2+7^2+4^2}3=\frac{81+49+16}3=\frac{146}3=48\frac23\\\frac{9^2+6^2+5^2}3=\frac{81+36+25}3=\frac{142}3=47\frac13\\\frac{8^2+6^2+6^2}3=\frac{64+36+36}3=\frac{136}3=45\frac13\\\frac{7^2+7^2+6^2}3=\frac{49+49+36}3=\frac{134}3=44\frac23\end{array}[/math]

При раз­ло­же­нии седьмым способом сумма квад­ра­тов кратна девяти: [math]\frac{8^2+8^2+4^2}9=\frac{64+64+16}9=\frac{144}9=\frac{48}3=16[/math]

Раз­ло­же­ние восьмым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи.

[math]\begin{array}{l}\frac{8^2+7^2+5^2}3=\frac{64+49+25}3=\frac{138}3=46\\\frac{138}9=\frac{46}3=15\frac13\end{array}[/math]

Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, на­при­мер, число 578.