Так призма правильная, то A₁C₁[math]\perp[/math]D₁B₁ и AC[math]\perp[/math]DB, значит A₁C₁[math]\perp[/math]D₁B₁BD и AC[math]\perp[/math]D₁B₁BD. Получили, что OO₁ проекция AA₁ на плоскость D₁B₁B. Угол между OO₁ и B₁D и есть угол между AA₁ и B₁D.

В прямоугольном треугольнике OO₂D: OO₂=OO₁/2=12/2=6, DO=DB/2=4√3/2=2√3

[math]tg\angle OO_2D=\frac{DO}{OO_2}=\frac{2\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}3[/math]

[math]\angle OO_2D=arctg\frac{\sqrt3}3=30^\circ[/math] - угол между прямыми AA₁ и B₁D.