Вариант 5

А) Преобразуем левую часть уравнения и получим:

$\frac2{\frac1{cos^2x}}=1+sinx$

$2cos^2x=1+sinx$

$2(1-sin^2x)-1-sinx=0$

$2sin^2x+sinx-1=0$

Пусть $sinx=t$. Тогда

$2t^2+t-1=0$

$t_1=-1$ $t_2=\frac12$

Обратная замена:

$sinx=-1$ $x=-\frac\pi2+2\pi n$, $n\in Z$ - посторонний, т.к. по ОДЗ $cosx\neq0$

$sinx=\frac12$; $x_1=\frac\pi6+2\pi n$ , $x_2=\frac{5\pi}6+2\pi n$, $n\in Z$

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие корни входят в отрезок

Ответ: А) $\frac\pi6+2\pi n,\;\frac{5\pi}6+2\pi n,\;n\in Z$

Б) $-\frac{19\pi}6$

А) Опустим из $O$ перпендикуляр на $(ABC)$ $OZ\perp(ABC)$

$\Rightarrow(AOZ)\perp(ABC)$, $PH\perp(ABC)\Rightarrow PH\parallel(AOZ)$

т.к $PH\not\in(AOZ)$, $AO\in(AOZ)$, то $PH$ и $AO$ не имеют общих точек, ч.т.д.

Б) $\angle(PH;AO)=\angle AOZ$

Пусть $AB=PH=a$

Рассмотрим $\bigtriangleup HPN$ и $\bigtriangleup ZON$, $\bigtriangleup HPN\sim\bigtriangleup ZON$ (по двум углам: $\angle H=90^\circ;\angle Z=90^\circ;\angle PNZ$ - общий)

$\Rightarrow\frac{NO}{NP}=\frac{NZ}{NH}=\frac{OZ}{PH}$, $\frac{NO}{OP}=\frac12$ (по свойству медиан треугольника) $\Rightarrow\frac{NO}{NP}=\frac13$ (т.к. $NP=NO+OP$)

$\Rightarrow OZ=\frac13PH=\frac13a$

$ZN=\frac13HN;\;HN=\frac12DC=\frac12a$ (как средние линии $\bigtriangleup DBC$, $HN\parallel DC;BN=NC$

$\Rightarrow ZN=\frac16a;MZ=\frac56a$

Из $\bigtriangleup AMZ$ по теореме Пифагора: $AZ=\sqrt{MZ^2+AM^2}=\sqrt{\frac{25a^2}{36}+\frac{a^2}4}=a\sqrt{\frac{25+9}{36}}=\frac{a\sqrt{34}}6$

$\angle AOZ=arctg(\frac{AZ}{OZ})=arctg(\frac{a\sqrt{34}}6\cdot\frac3a)=arctg(\frac{\sqrt{34}}2)$

Ответ: $arctg\frac{\sqrt{34}}2$

ОДЗ: $x-2\neq-1;x-2\neq1;x-2\neq0;3^{2x}-3>0$

$x\neq1;3;2$ $x>\frac12$

Преобразуем неравенство:

$\frac12log_{x-2}(3^{2x}-3)\leq0$

$\frac{ln(3^{2x}-3)}{ln(x-2)}\leq0$

Нули числителя: $ln(3^{2x}-3)=0$

$3^{2x}-3=1$

$2x=log_34$

$x=log_32$

Нули знаменателя: $x-2=1$ $x=3$

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Ответ: (0,5; log₃2]⋃(1; 2)⋃(2; 3)

А) Если доказать, что $CQ$ - биссектриса $\angle ACB$, то будет доказано, что $C\in OQ$, т.к. $CO$ - биссектриса $\angle ACB$ (по свойству касательных, проведенных из одной точки)

Рассмотрим четырехугольник $CAQB$:

$\angle C+\angle Q=180^\circ$,$\angle A+\angle B=\angle QAB+\angle QBA+\angle BAC+\angle ABC=180^\circ\Rightarrow CAQB$ может быть вписан в окружность

$\Rightarrow\angle QBA=\angle QCA=45^\circ,\angle QAB=\angle QCB=45^\circ\Rightarrow$(т.к. опираются на равные дуги) $CQ$ - биссектриса $\angle ACB\Rightarrow C\in OQ$, ч.т.д.

Б) $AC=4\sqrt2$, $BC=3\sqrt2$ , $OQ$ - ?

$\bigtriangleup CPB\sim\bigtriangleup APQ$ (по двум углам):$\angle PCB=\angle PAQ=45^\circ$, $\angle CPB=\angle APQ$ как вертикальные $\Rightarrow\angle PBC=\angle PQA$

Пусть $\angle CAB=x$, тогда $\angle ABC=90^\circ-x=\angle PQA$, $\angle QAO=45^\circ+\frac x2$ (т.к. $\angle PAO=\angle CAO$ по свойству касательных)

Тогда для $\bigtriangleup AOQ$: $\angle OQA+\angle QAO+\angle AOQ=180^\circ$

$90^\circ-x+45^\circ+\frac x2+\angle AOQ=180^\circ\Rightarrow\angle AOQ=45^\circ+\frac x2$

$\angle AOQ=\angle QAO\Rightarrow\bigtriangleup AQO$ - равнобедренный, $AQ=OQ=5$

Ответ: 5

Решение: покажем в таблице кредитную историю Валерия:

Решим получившееся уравнение:

$696113-10,46x=0$

$x=\frac{696113}{10.46}=66550$, $2x=133100$

Ответ: 133100

plot abs(x^2-y^2)=2y-2x for x beetween -20 and 20

Решение: используем графический способ решения системы. Сначала построим график для первого уравнения.

1 сл: $x^2-y^2>0$

$x^2=y^2$$\left|x\right|=\left|y\right|$

График функции имеет вид "креста" (ветви креста - биссектрисы прямых углов) , слева и справа между "ветвями креста"- решение неравенства

Имеем уравнение:$x^2-y^2=2y-2x$

$(x+1)^2-(y+1)^2=0$

$\left|x+1\right|=\left|y+1\right|$

График функции есть крест, ветви которого- биссектрисы прямых углов. График смещен на (-1;-1)

2 сл: $x^2-y^2<0$

$x^2=y^2$$\left|x\right|=\left|y\right|$

График функции имеет вид "креста" (ветви креста - биссектрисы прямых углов), сверху и снизу между "ветвями креста"- решение неравенства

Имеем уравнение:$-x^2+y^2=2y-2x$

$(x-1)^2-(y-1)^2=0$

$\left|x-1\right|=\left|y-1\right|$

График функции есть крест, ветви которого- биссектрисы прямых углов. График смещен на (1;1)

3 сл: $x^2-y^2=0$

Значит $0=2y-2x$

$y=x$

Построим график и семейство прямых, отражающие возможные решения системы уравнений. Для этого проанализируем уравнение прямой: график прямой всегда проходит через точку (2;-1)

Имеем решение:

(-∞; -2] — прямая будет пересекать график в одной точке (в нижней части плоскости).

a= -1 — прямая пересекает y=x, и не пересекает две другие прямые с угловым коэффициентом -1, они параллельны.

[0; +∞) — прямая будет пересекать график в одной точке (в верхней части плоскости), но исключается значение а = 1, т.к. тогда прямая параллельна y=x

Ответ: (-∞; -2]⋃{-1}⋃[0; 1)⋃(1; +∞)

Решение:

А) Разложим число 1080 на простые множители: 1080= 2*2*5*2*3*3*3 (7 множителей), т.е можно найти такое число, чтобы оно состояло из этих цифр, но два множителя объединить в одну цифру. Например сделать 1080=2*4*3*3*3*5, т.е число 243335

Б) В пункте А найдено число, произведение цифр которого равно 1080. Значение произведения не изменится, если его домножить на 1. Таким образом мы имеем, например, число 3433351111, произведение цифр которого равно 1080

В) Разложим число 1080 на простые множители: 1080= 2*2*5*2*3*3*3 (7 множителей). Мы должны добиться минимального количества используемых цифр и у старших цифр числа должны стоять минимальные цифры.

Значит, имеем, что 5 -неизменная цифра, 3*3=9, остается 2, 2, 2, 3.Два варианта: 2*2*2=8 и 3, 2*2=4 и 3*2=6. Два возможные числа из следующих цифр: 5, 9, 8, 3 и 5 ,9, 4, 6. т.е. получим в итоге 3589 и 4569. Наименьшее число из получившихся - 3589

А) да, например, 243335; Б) да, например, 2433351111; В) 3589