Вариант 9
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.
К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2, если диаметр окружности BC=8 см.
Из куба, ребро ĸоторого равно 1 вырезали правильную четырехугольную призму со стороной основания 0,75 и боĸовым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Билет моментальной лотереи оказывается выигрышным с вероятностью 0,4. Маша купила 3 билета. Какова вероятность того, что 2 билета окажутся выигрышными, а третий нет?
Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 21 выступление, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в четвёртый день конкурса?
К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2, если диаметр окружности BC=8 см.
На рисунке изображён график функции f(x). Укажите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
Кинетическую энергию (в Дж) тела можно рассчитать по формуле Ek=mv22, где m — масса тела (в кг), v — скорость тела (в м/с). Какова масса тела в (кг.), если при скорости 120 м/с оно приобретает энергию 36 000 Дж?
К 25-процентному раствору щелочи добавили 40-процентный и получили 37,5-процентный раствор. Если к данной смеси добавить 6 литров воды, то получится 30-процентный раствор. Найдите объём 40-процентного раствора (в л).
Часть 2.
При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.
Найдите наименьшее значение функции y=x3+4,5x2−12x+17 на промежутке [0;7].
f′(x)=3x2+9x−12
3x2+9x−12=0
x2+3x−4=0
D=9+16=25
x=−3±52
x=−4 - не удовлетворяет заданному промежутку
x=1
f(0)=17
f(1)=5,5-12+17=10,5 - наименьшее значение функции на заданном промежутке
f(17)=343+220,5-84+17=496,5
Дано уравнение sin2x ⋅ cos4x=1.
А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [2; 4].
А) sinx⋅cos4x=1
sin2x(1−2sin2x)=1
−2sin3(2x)+sin2x−1=0
(sin2x+1)(−2sin2(2x)+2sin2x−1)=0
Имеем, что −2sin2(2x)+2sin2x−1=0 или sin2x+1=0
−2sin2x+2sin2x−1=0
D=4−8<0 корней нет
sin2x+1=0
sin2x=−1
2x=−π2+2πn, n∈Z
x=−π4+πn, n∈Z
Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим,какие из них попадают в промежуток
Ответ: а) −π4+πn,n∈Z
б) 3π4
В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.
А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.
Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.

А) Доказать, что VNEFMK=14VPABC
Обозначим за длину ребра основания a, а за длину ребра боковой грани - b.
VPABC=13S△ABC⋅PO, где PO - высота пирамиды.
S△ABC=12AC⋅BE, где BE - высота треугольника, и его биссектриса (т.к. △ABC - равносторонний) ⇒O∈BE
Из △BEC, по теореме Пифагора: BE=√BC2−EC2=√a2−14a2=√32a⇒S△ABC=12a⋅√32a=√34a2
т.к.△ABC - равносторонний, то т.О - точка пересечения медиан и OBOE=21 или OB=23EB=√33a
Рассмотрим △POB, по теореме Пифагора: PB=√OB2+OP2⇒PO=√PB2−OB2=√b2−13a2
⇒VPABC=13⋅√34a2√b2−13a2=√312a2√b2−13a2
В △APC EK - средняя линия ⇒EK=12b;EK∥PC
В △BPC MF - средняя линия ⇒MF=12b;MF∥PC
В △CAB EF - средняя линия ⇒EF=12b;EF∥AB
В △PAB KM - средняя линия ⇒KM=12b;KM∥AB
CS⊥AB,CS - проекция CP ⇒CP⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах)
⇒KM⊥MF и KMFE - прямоугольник, SKMFE=KM⋅MF=14ab
Выполним чертеж пирамиды NKMFE

Построим XY∥KE∥MF, так, что H∈XY XY=MF=KE=b2
При этом, NY⊥EF;NX⊥MK⇒ по теореме о трех перпендикулярах
и EY=YF, т.е. △PEF - равнобедренный, KX=MX, т.к. △PMK - равнобедренный (равносторонний) EY=YF=KX=MX=a4
Из △NYE, по теореме Пифагора NY=√14b2−16a2
Из △NXK, по теореме Пифагора NX=√14a2−16a2=√34a
Рассмотрим теорему косинусов для △NXY:
NX2=NY2+XY2−2NY⋅XY⋅cos(∠NYX)
NY2=NX2+XY2−2NX⋅XY⋅cos(∠NXY)
14b2−116a2=316a2+b24−2⋅√34a⋅b2⋅cos(∠PXY)
√3ab4⋅cos(∠NXY)=14a2⇒cos(∠NXY)=a√3b
NH=NX⋅sin(∠NXY)=√34a⋅√1−a23b2=√34⋅ab⋅√b2−a23
VNKMFE=13SKMFE⋅NH=13⋅14ab⋅√34⋅ab√b2−a23=√348a2√b2−13a2⇒VNKMFEVPABC=14, VNKMFE=14VPABC, чтд
Б) Поставим т.Z - точка пересечения диагоналей прямоугольника KMFE
MZ=ZF=ZE=ZK=12ME (ME из △MEF: ME=√MF2+ME2=√9+16=5
MZ=ZF=ZE=ZK=2.5
Рассмотрим △MNE, NE=3;NM=4;ME=5. Проверим обратную теорему Пифагора: ME2=NM2+NE2:25=9+16 - верно, значит ∠MNE=90∘ и NZ=12ME (как медиана прямоугольного треугольника)
NZ=2,5=MZ=ZF=ZE=ZK⇒Z - центр отсеченной сферы и R=NZ=2.5
Ответ: 2,5
Решите неравенство |3x+1 — 9x| + |9x — 5 ⋅ 3x+6| ≤ 6 — 2 ⋅ 3x.
Применим свойства модулей, а именно следующие: |a+b|≤|a|+|b|;a≤|a|
Получим 6−2⋅3x≥|3x+1−32x|+|32x−5⋅3x+6|≥|3x+1−32x+32x−5⋅3x+6|
6−2⋅3x≤|6−2⋅3x|
Из этого следует, что |3x+1−32x|+|32x−5⋅3x+6|=|6−2⋅3x|
Так же мы выяснили, что 3x+1−32x+32x−5⋅3x+6=6−2⋅3x
Значит имеем два случая.
1 сл:3x+1−32x≥0;32x−5⋅3x+6≥0
3x+1−32x≥0 Нули: 3x=3⇒x=1
32x−5⋅3x+6≥0 Нули:3x=2⇒x=log32;3x=3⇒x=1
Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:
4
2 сл: 3x+1−32x≤0;32x−5⋅3x+6≤0
3x+1−32x≤0 Нули: 3x=3⇒x=1
32x−5⋅3x+6≤0 Нули:3x=2⇒x=log32;3x=3⇒x=1
Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Общее решение: (-∞; log32)⋃{1}
Ответ: (-∞; log32)⋃{1}
Два пешехода идут навстречу друг другу: один из А в В, а другой - из В в А. Они вышли одновременно, и когда первый прошел половину пути, второму оставалось идти еще 1,5 часа, а когда второй прошел половину пути, то первому оставалось идти еще 45 минут. На сколько минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?
Пусть первый пешеход прошел путь за x часов, а второй- за у часов.
Из условия задачи имеем, что половина пути составила для первого половину его времени, а именно 1/2х=у−90, аналогично со вторым1/2у=х−45. Решим уравнения и найдем значения x и y:
х=2у−180;у=2х−90
у=2(2у−180)−90
4у−360−90−у=0.
Решение: у= 150 (минут). х= 2*150-180= 120 (мин)
Разница составляет 150-120=30 минут.
Ответ: 30
Дан квадрат ABCD. Точки К, L, M - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. AL пересекает DK в точке Р; DL пересекает АМ в точке Т; АМ пересекает DK в точке О.
А) Докажите, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ=4.

А) Доказать, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности. Таким образом, нужно доказать, что вокруг POTL можно описать окружность, это возможно, если ∠POT+∠TLP=180∘, ∠OTL+∠OPL=180∘
Рассмотрим △AOD:
tg(∠DAO)=DMAD=12 (из △DAM )
tg(∠ADO)=AKAD=12 (из △DAK )
⇒∠AOD=180∘−2arctg(12)=∠POT (как вертикальные)
В △LDC: ∠C=90∘, tg(∠LDC)=LCDC=12⇒∠DLC=90−arctg(12)
В △LAB: ∠B=90∘, tg(∠LAB)=LBAB=12⇒∠ALB=90−arctg(12)
⇒∠ALD=180∘−(90∘−arctg(12))−(90∘−arctg(12))=2arctg(12) (как смежный с ∠DLC и ∠ALB)
Тогда ∠POT+∠TLP=180∘−2arctg(12)+2arctg(12)=180∘ и ∠OTL+∠OPL=360∘−(∠POT+∠TLP)=180∘ (по свойству четырехугольника) . Следовательно, точки Р, L, T, O лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
Б) AB=4, r-?
Окружность с центром в т.Н вписана в POTL, следовательно окружность с центром в т.Н вписана в △DPL. Имеем, что задача сведена к поиску радиуса вписанной в △DPL окружности.
Из △DLC по теореме Пифагора: DL=√DC2+LC2 DL=√16+4=2√5
Аналогично: AL=DL=DK=AM=2√5
Ранее доказывалось, что ∠LDC=∠BAL=∠KDA=arctg(12) и ∠DLC=90−arctg(12)
⇒∠DKA=90−∠KDA=90−arctg(12)
Получаем, что △PAK∼∠CDL (по двум углам: ∠LDC=∠KAP;∠CLD=∠PKA) и DLAK=DCAP=CLPK⇒2√52=4AP=2PK⇒AP=4√5=4√55;PK=2√5=2√55
Причем ∠KPA=∠C=90∘ и ∠DPL=∠KPA=90∘ (как вертикальные)
PL=AL−AP=2√5−4√55=6√55
DP=DK−PK=2√5−2√55=8√55
Тогда r=PL+DP−DL2 (формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности)
r=6√55+8√55−2√52=3√55+4√55−√5=7√55−5√55=2√55
Ответ: 2√55
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log22|4−x2|−2a⋅log2|x2−4|+a+6=0 имеет ровно четыре различных корня.
(log2|x2−4|)2−2alog2|x2−4|+a+6=0
Перед нами квадратное уравнение относительно log2|x2−4|
Найдем дискриминант D=4a2−4(a+6)=4a2−4a−24
Уравнение не имеет решение, если 4a2−4a−24<0
Нули: a=−2;a=3
Нанесем на числовую прямую и определим знаки:
Значит при a∈(−2;3) уравнение не имеет решений.
Рассмотрим случай, когда a∉(−2;3)
Найдем корни: log2|x2−4|=a±√a2−a−6
|x2−4|=2a±√a2−a−6
x2=4±2a±√a2−a−6
Определим количество корней на концах промежутка:
a=−2 x2=54;x2=154 - четыре корня, входит в ответ
a=3;x2=12;x2=−4 - два корня, не входит в ответ
В остальных случаях x2=4±2a±√a2−a−6
Значит, необходимо чтобы два из них не подходили под условие, что x2>0
т.е имеем, что 4−2a±√a2−a−6<0
Ответ: {−2}∪(3;103)
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |