Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 9

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2​, если диаметр окружности BC=8 см.

Вариант 9

2
2

Найдите ĸвадрат длины b.

Вариант 9
3
3

Из куба, ребро ĸоторого равно 1 вырезали правильную четырехугольную призму со стороной основания 0,75 и боĸовым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

4
4

Билет моментальной лотереи оказывается выигрышным с вероятностью 0,4. Маша купила 3 билета. Какова вероятность того, что 2 билета окажутся выигрышными, а третий нет?

5
5

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 21 выступление, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в четвёртый день конкурса?

6
6

К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2​, если диаметр окружности BC=8 см.

Вариант 9

7
7

Найдите значение выражения (n5)6(2m3)2÷(n10)3m6

8
8

На рисунке изображён график функции f(x). Укажите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Вариант 9

9
9

Кинетическую энергию (в Дж) тела можно рассчитать по формуле Ek=mv22, где m — масса тела (в кг), v — скорость тела (в м/с). Какова масса тела в (кг.), если при скорости 120 м/с оно приобретает энергию 36 000 Дж?

10
10

К 25-процентному раствору щелочи добавили 40-процентный и получили 37,5-процентный раствор. Если к данной смеси добавить 6 литров воды, то получится 30-процентный раствор. Найдите объём 40-процентного раствора (в л).

11
11

На рисунке изображен график f(x)=kx+a.

Найдите f(2).

Вариант 9
 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите наименьшее значение функции y=x3+4,5x212x+17 на промежутке [0;7].

Показать ответ

f(x)=3x2+9x12

3x2+9x12=0

x2+3x4=0

D=9+16=25

x=3±52

x=4 - не удовлетворяет заданному промежутку

x=1

f(0)=17

f(1)=5,5-12+17=10,5 - наименьшее значение функции на заданном промежутке

f(17)=343+220,5-84+17=496,5

13

Дано уравнение sin2x ⋅ cos4x=1.

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [2; 4].

Показать ответ

А) sinxcos4x=1

sin2x(12sin2x)=1

2sin3(2x)+sin2x1=0

(sin2x+1)(2sin2(2x)+2sin2x1)=0

Имеем, что 2sin2(2x)+2sin2x1=0 или sin2x+1=0

2sin2x+2sin2x1=0

D=48<0 корней нет

sin2x+1=0

sin2x=1

2x=π2+2πn, nZ

x=π4+πn, nZ

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим,какие из них попадают в промежуток

Вариант 9

Ответ: а) π4+πn,nZ

б) 3π4

14

В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.

Показать ответ
Вариант 9

А) Доказать, что VNEFMK=14VPABC

Обозначим за длину ребра основания a, а за длину ребра боковой грани - b.

VPABC=13SABCPO, где PO - высота пирамиды.

SABC=12ACBE, где BE - высота треугольника, и его биссектриса (т.к. ABC - равносторонний) OBE

Из BEC, по теореме Пифагора: BE=BC2EC2=a214a2=32aSABC=12a32a=34a2

т.к.ABC - равносторонний, то т.О - точка пересечения медиан и OBOE=21 или OB=23EB=33a

Рассмотрим POB, по теореме Пифагора: PB=OB2+OP2PO=PB2OB2=b213a2

VPABC=1334a2b213a2=312a2b213a2

В APC EK - средняя линия EK=12b;EKPC

В BPC MF - средняя линия MF=12b;MFPC

В CAB EF - средняя линия EF=12b;EFAB

В PAB KM - средняя линия KM=12b;KMAB

CSAB,CS - проекция CP CPAB (по теореме о трех перпендикулярах)

KMMF и KMFE - прямоугольник, SKMFE=KMMF=14ab

Выполним чертеж пирамиды NKMFE

Вариант 9

Построим XYKEMF, так, что HXY XY=MF=KE=b2

При этом, NYEF;NXMK по теореме о трех перпендикулярах

и EY=YF, т.е. PEF - равнобедренный, KX=MX, т.к. PMK - равнобедренный (равносторонний) EY=YF=KX=MX=a4

Из NYE, по теореме Пифагора NY=14b216a2

Из NXK, по теореме Пифагора NX=14a216a2=34a

Рассмотрим теорему косинусов для NXY:

NX2=NY2+XY22NYXYcos(NYX)

NY2=NX2+XY22NXXYcos(NXY)

14b2116a2=316a2+b24234ab2cos(PXY)

3ab4cos(NXY)=14a2cos(NXY)=a3b

NH=NXsin(NXY)=34a1a23b2=34abb2a23

VNKMFE=13SKMFENH=1314ab34abb2a23=348a2b213a2VNKMFEVPABC=14, VNKMFE=14VPABC, чтд

Б) Поставим т.Z - точка пересечения диагоналей прямоугольника KMFE

MZ=ZF=ZE=ZK=12ME (ME из MEF: ME=MF2+ME2=9+16=5

MZ=ZF=ZE=ZK=2.5

Рассмотрим MNE, NE=3;NM=4;ME=5. Проверим обратную теорему Пифагора: ME2=NM2+NE2:25=9+16 - верно, значит MNE=90 и NZ=12ME (как медиана прямоугольного треугольника)

NZ=2,5=MZ=ZF=ZE=ZKZ - центр отсеченной сферы и R=NZ=2.5

Ответ: 2,5

15

Решите неравенство |3x+1 — 9x| + |9x — 5 ⋅ 3x+6| ≤ 6 — 2 ⋅ 3x.

Показать ответ

Применим свойства модулей, а именно следующие: |a+b||a|+|b|;a|a|

Получим 623x|3x+132x|+|32x53x+6||3x+132x+32x53x+6|

623x|623x|

Из этого следует, что |3x+132x|+|32x53x+6|=|623x|

Так же мы выяснили, что 3x+132x+32x53x+6=623x

Значит имеем два случая.

1 сл:3x+132x0;32x53x+60

3x+132x0 Нули: 3x=3x=1

32x53x+60 Нули:3x=2x=log32;3x=3x=1

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

4 Вариант 9

2 сл: 3x+132x0;32x53x+60

3x+132x0 Нули: 3x=3x=1

32x53x+60 Нули:3x=2x=log32;3x=3x=1

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Вариант 9

Общее решение: (-∞; log32)⋃{1}

Ответ: (-∞; log32)⋃{1}

16

Два пешехода идут навстречу друг другу: один из А в В, а другой - из В в А. Они вышли одновременно, и когда первый прошел половину пути, второму оставалось идти еще 1,5 часа, а когда второй прошел половину пути, то первому оставалось идти еще 45 минут. На сколько минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?

Показать ответ

Пусть первый пешеход прошел путь за x часов, а второй- за у часов.

Из условия задачи имеем, что половина пути составила для первого половину его времени, а именно 1/2х=у90, аналогично со вторым1/2у=х45. Решим уравнения и найдем значения x и y:

х=2у180;у=2х90

у=2(2у180)90

4у36090у=0.

Решение: у= 150 (минут). х= 2*150-180= 120 (мин)

Разница составляет 150-120=30 минут.

Ответ: 30

17

Дан квадрат ABCD. Точки К, L, M - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. AL пересекает DK в точке Р; DL пересекает АМ в точке Т; АМ пересекает DK в точке О.

А) Докажите, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности;

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ=4.

Показать ответ
Вариант 9

А) Доказать, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности. Таким образом, нужно доказать, что вокруг POTL можно описать окружность, это возможно, если POT+TLP=180, OTL+OPL=180

Рассмотрим AOD:

tg(DAO)=DMAD=12 (из DAM )

tg(ADO)=AKAD=12 (из DAK )

AOD=1802arctg(12)=POT (как вертикальные)

В LDC: C=90, tg(LDC)=LCDC=12DLC=90arctg(12)

В LAB: B=90, tg(LAB)=LBAB=12ALB=90arctg(12)

ALD=180(90arctg(12))(90arctg(12))=2arctg(12) (как смежный с DLC и ALB)

Тогда POT+TLP=1802arctg(12)+2arctg(12)=180 и OTL+OPL=360(POT+TLP)=180 (по свойству четырехугольника) . Следовательно, точки Р, L, T, O лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Б) AB=4, r-?

Окружность с центром в т.Н вписана в POTL, следовательно окружность с центром в т.Н вписана в DPL. Имеем, что задача сведена к поиску радиуса вписанной в DPL окружности.

Из DLC по теореме Пифагора: DL=DC2+LC2 DL=16+4=25

Аналогично: AL=DL=DK=AM=25

Ранее доказывалось, что LDC=BAL=KDA=arctg(12) и DLC=90arctg(12)

DKA=90KDA=90arctg(12)

Получаем, что PAKCDL (по двум углам: LDC=KAP;CLD=PKA) и DLAK=DCAP=CLPK252=4AP=2PKAP=45=455;PK=25=255

Причем KPA=C=90 и DPL=KPA=90 (как вертикальные)

PL=ALAP=25455=655

DP=DKPK=25255=855

Тогда r=PL+DPDL2 (формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности)

r=655+855252=355+4555=755555=255

Ответ: 255

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log22|4x2|2alog2|x24|+a+6=0 имеет ровно четыре различных корня.

Показать ответ

(log2|x24|)22alog2|x24|+a+6=0

Перед нами квадратное уравнение относительно log2|x24|

Найдем дискриминант D=4a24(a+6)=4a24a24

Уравнение не имеет решение, если 4a24a24<0

Нули: a=2;a=3

Нанесем на числовую прямую и определим знаки:

Вариант 9

Значит при a(2;3) уравнение не имеет решений.

Рассмотрим случай, когда a(2;3)

Найдем корни: log2|x24|=a±a2a6

|x24|=2a±a2a6

x2=4±2a±a2a6

Определим количество корней на концах промежутка:

a=2 x2=54;x2=154 - четыре корня, входит в ответ

a=3;x2=12;x2=4 - два корня, не входит в ответ

В остальных случаях x2=4±2a±a2a6

Значит, необходимо чтобы два из них не подходили под условие, что x2>0

т.е имеем, что 42a±a2a6<0

Вариант 9

Ответ: {2}(3;103)

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 400 093
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?