Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 9

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2​, если диаметр окружности BC=8 см.

Вариант 9

2
2

Найдите ĸвадрат длины [math]\vec b[/math].

Вариант 9
3
3

Из куба, ребро ĸоторого равно 1 вырезали правильную четырехугольную призму со стороной основания 0,75 и боĸовым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

4
4

Билет моментальной лотереи оказывается выигрышным с вероятностью 0,4. Маша купила 3 билета. Какова вероятность того, что 2 билета окажутся выигрышными, а третий нет?

5
5

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 21 выступление, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в четвёртый день конкурса?

6
6

К окружности проведены касательная AD=9 см и секущая AC, проходящая через центр окружности точку O. Найдите площадь треугольника AOD (в см2​, если диаметр окружности BC=8 см.

Вариант 9

7
7

Найдите значение выражения [math]\frac{\left(n^5\right)^{-6}}{\left(2m^3\right)^2}\div\frac{\left(n^{-10}\right)^3}{m^6}[/math]

8
8

На рисунке изображён график функции f(x). Укажите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Вариант 9

9
9

Кинетическую энергию (в Дж) тела можно рассчитать по формуле [math]E_k=\frac{mv^2}2[/math], где m — масса тела (в кг), v — скорость тела (в м/с). Какова масса тела в (кг.), если при скорости 120 м/с оно приобретает энергию 36 000 Дж?

10
10

К 25-процентному раствору щелочи добавили 40-процентный и получили 37,5-процентный раствор. Если к данной смеси добавить 6 литров воды, то получится 30-процентный раствор. Найдите объём 40-процентного раствора (в л).

11
11

На рисунке изображен график [math]f\left(x\right)=\frac kx+a[/math].

Найдите [math]f\left(-2\right)[/math].

Вариант 9
 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=x^3+4,5x^2-12x+17[/math] на промежутке [0;7].

Показать ответ

[math]f'(x)=3x^2+9x-12[/math]

[math]3x^2+9x-12=0[/math]

[math]x^2+3x-4=0[/math]

[math]D=9+16=25[/math]

[math]x=\frac{-3\pm5}2[/math]

[math]x=-4[/math] - не удовлетворяет заданному промежутку

[math]x=1[/math]

f(0)=17

f(1)=5,5-12+17=10,5 - наименьшее значение функции на заданном промежутке

f(17)=343+220,5-84+17=496,5

13

Дано уравнение sin2x ⋅ cos4x=1.

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [2; 4].

Показать ответ

А) [math]sinx\cdot cos4x=1[/math]

[math]sin2x(1-2sin^2x)=1[/math]

[math]-2sin^3(2x)+sin2x-1=0[/math]

[math](sin2x+1)(-2sin^2(2x)+2sin2x-1)=0[/math]

Имеем, что [math]-2sin^2(2x)+2sin2x-1=0[/math] или [math]sin2x+1=0[/math]

[math]-2sin^2x+2sin2x-1=0[/math]

[math]D=4-8<0[/math] корней нет

[math]sin2x+1=0[/math]

[math]sin2x=-1[/math]

[math]2x=-\frac\pi2+2\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]x=-\frac\pi4+\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим,какие из них попадают в промежуток

Вариант 9

Ответ: а) [math]-\frac\pi4+\pi n,\;n\in Z[/math]

б) [math]\frac{3\pi}4[/math]

14

В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.

Показать ответ
Вариант 9

А) Доказать, что [math]V_{NEFMK}=\frac14V_{PABC}[/math]

Обозначим за длину ребра основания [math]a[/math], а за длину ребра боковой грани - [math]b[/math].

[math]V_{PABC}=\frac13S_{\bigtriangleup ABC}\cdot PO[/math], где [math]PO[/math] - высота пирамиды.

[math]S_{\bigtriangleup ABC}=\frac12AC\cdot BE[/math], где [math]BE[/math] - высота треугольника, и его биссектриса (т.к. [math]\bigtriangleup ABC[/math] - равносторонний) [math]\Rightarrow O\in BE[/math]

Из [math]\bigtriangleup BEC[/math], по теореме Пифагора: [math]BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{a^2-\frac14a^2}=\frac{\sqrt3}2a\Rightarrow S_{\bigtriangleup ABC}=\frac12a\cdot\frac{\sqrt3}2a=\frac{\sqrt3}4a^2[/math]

т.к.[math]\bigtriangleup ABC[/math] - равносторонний, то т.О - точка пересечения медиан и [math]\frac{OB}{OE}=\frac21[/math] или [math]OB=\frac23EB=\frac{\sqrt3}3a[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup POB[/math], по теореме Пифагора: [math]PB=\sqrt{OB^2+OP^2}\Rightarrow PO=\sqrt{PB^2-OB^2}=\sqrt{b^2-\frac13a^2}[/math]

[math]\Rightarrow V_{PABC}=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}4a^2\sqrt{b^2-\frac13a^2}=\frac{\sqrt3}{12}a^2\sqrt{b^2-\frac13a^2}[/math]

В [math]\bigtriangleup APC[/math] [math]EK[/math] - средняя линия [math]\Rightarrow EK=\frac12b;EK\parallel PC[/math]

В [math]\bigtriangleup BPC[/math] [math]MF[/math] - средняя линия [math]\Rightarrow MF=\frac12b;MF\parallel PC[/math]

В [math]\bigtriangleup CAB[/math] [math]EF[/math] - средняя линия [math]\Rightarrow EF=\frac12b;EF\parallel AB[/math]

В [math]\bigtriangleup PAB[/math] [math]KM[/math] - средняя линия [math]\Rightarrow KM=\frac12b;KM\parallel AB[/math]

[math]CS\perp AB[/math],[math]CS[/math] - проекция [math]CP[/math] [math]\Rightarrow CP\perp AB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

[math]\Rightarrow KM\perp MF[/math] и [math]KMFE[/math] - прямоугольник, [math]S_{KMFE}=KM\cdot MF=\frac14ab[/math]

Выполним чертеж пирамиды [math]NKMFE[/math]

Вариант 9

Построим [math]XY\parallel KE\parallel MF[/math], так, что [math]H\in XY[/math] [math]XY=MF=KE=\frac b2[/math]

При этом, [math]NY\perp EF;NX\perp MK\Rightarrow[/math] по теореме о трех перпендикулярах

и [math]EY=YF[/math], т.е. [math]\bigtriangleup PEF[/math] - равнобедренный, [math]KX=MX[/math], т.к. [math]\bigtriangleup PMK[/math] - равнобедренный (равносторонний) [math]EY=YF=KX=MX=\frac a4[/math]

Из [math]\bigtriangleup NYE[/math], по теореме Пифагора [math]NY=\sqrt{\frac14b^2-\frac16a^2}[/math]

Из [math]\bigtriangleup NXK[/math], по теореме Пифагора [math]NX=\sqrt{\frac14a^2-\frac16a^2}=\frac{\sqrt3}4a[/math]

Рассмотрим теорему косинусов для [math]\bigtriangleup NXY[/math]:

[math]NX^2=NY^2+XY^2-2NY\cdot XY\cdot cos(\angle NYX)[/math]

[math]NY^2=NX^2+XY^2-2NX\cdot XY\cdot cos(\angle NXY)[/math]

[math]\frac14b^2-\frac1{16}a^2=\frac3{16}a^2+\frac{b^2}4-2\cdot\frac{\sqrt3}4a\cdot\frac b2\cdot cos(\angle PXY)[/math]

[math]\frac{\sqrt3ab}4\cdot cos(\angle NXY)=\frac14a^2\Rightarrow cos(\angle NXY)=\frac a{\sqrt3b}[/math]

[math]NH=NX\cdot sin(\angle NXY)=\frac{\sqrt3}4a\cdot\sqrt{1-\frac{a^2}{3b^2}}=\frac{\sqrt3}4\cdot\frac ab\cdot\sqrt{b^2-\frac{a^2}3}[/math]

[math]V_{NKMFE}=\frac13S_{KMFE}\cdot NH=\frac13\cdot\frac14ab\cdot\frac{\sqrt3}4\cdot\frac ab\sqrt{b^2-\frac{a^2}3}=\frac{\sqrt3}{48}a^2\sqrt{b^2-\frac13a^2}\Rightarrow\frac{V_{NKMFE}}{V_{PABC}}=\frac14[/math], [math]V_{NKMFE}=\frac14V_{PABC}[/math], чтд

Б) Поставим т.Z - точка пересечения диагоналей прямоугольника [math]KMFE[/math]

[math]MZ=ZF=ZE=ZK=\frac12ME[/math] ([math]ME[/math] из [math]\bigtriangleup MEF[/math]: [math]ME=\sqrt{MF^2+ME^2}=\sqrt{9+16}=5[/math]

[math]MZ=ZF=ZE=ZK=2.5[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup MNE[/math], [math]NE=3;NM=4;ME=5[/math]. Проверим обратную теорему Пифагора: [math]ME^2=NM^2+NE^2:25=9+16[/math] - верно, значит [math]\angle MNE=90^\circ[/math] и [math]NZ=\frac12ME[/math] (как медиана прямоугольного треугольника)

[math]NZ=2,5=MZ=ZF=ZE=ZK\Rightarrow Z[/math] - центр отсеченной сферы и [math]R=NZ=2.5[/math]

Ответ: 2,5

15

Решите неравенство |3x+1 — 9x| + |9x — 5 ⋅ 3x+6| ≤ 6 — 2 ⋅ 3x.

Показать ответ

Применим свойства модулей, а именно следующие: [math]\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|;a\leq\left|a\right|[/math]

Получим [math]6-2\cdot3^x\geq\left|3^{x+1}-3^{2x}\right|+\left|3^{2x}-5\cdot3^x+6\right|\geq\left|3^{x+1}-3^{2x}+3^{2x}-5\cdot3^x+6\right|[/math]

[math]6-2\cdot3^x\leq\left|6-2\cdot3^x\right|[/math]

Из этого следует, что [math]\left|3^{x+1}-3^{2x}\right|+\left|3^{2x}-5\cdot3^x+6\right|=\left|6-2\cdot3^x\right|[/math]

Так же мы выяснили, что [math]3^{x+1}-3^{2x}+3^{2x}-5\cdot3^x+6=6-2\cdot3^x[/math]

Значит имеем два случая.

1 сл:[math]3^{x+1}-3^{2x}\geq0\;;3^{2x}-5\cdot3^x+6\geq0[/math]

[math]3^{x+1}-3^{2x}\geq0\;[/math] Нули: [math]3^x=3\Rightarrow x=1[/math]

[math]3^{2x}-5\cdot3^x+6\geq0[/math] Нули:[math]3^x=2\Rightarrow x=log_32;3^x=3\Rightarrow x=1[/math]

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

4 Вариант 9

2 сл: [math]3^{x+1}-3^{2x}\leq0\;;3^{2x}-5\cdot3^x+6\leq0[/math]

[math]3^{x+1}-3^{2x}\leq0\;[/math] Нули: [math]3^x=3\Rightarrow x=1[/math]

[math]3^{2x}-5\cdot3^x+6\leq0[/math] Нули:[math]3^x=2\Rightarrow x=log_32;3^x=3\Rightarrow x=1[/math]

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Вариант 9

Общее решение: (-∞; log32)⋃{1}

Ответ: (-∞; log32)⋃{1}

16

Два пешехода идут навстречу друг другу: один из А в В, а другой - из В в А. Они вышли одновременно, и когда первый прошел половину пути, второму оставалось идти еще 1,5 часа, а когда второй прошел половину пути, то первому оставалось идти еще 45 минут. На сколько минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?

Показать ответ

Пусть первый пешеход прошел путь за x часов, а второй- за у часов.

Из условия задачи имеем, что половина пути составила для первого половину его времени, а именно [math]1/2 х= у-90[/math], аналогично со вторым[math]1/2 у= х-45[/math]. Решим уравнения и найдем значения x и y:

[math]х= 2у-180;у= 2х-90[/math]

[math] у= 2(2у-180)-90[/math]

[math]4у-360-90-у=0[/math].

Решение: у= 150 (минут). х= 2*150-180= 120 (мин)

Разница составляет 150-120=30 минут.

Ответ: 30

17

Дан квадрат ABCD. Точки К, L, M - середины сторон АВ, ВС и CD соответственно. AL пересекает DK в точке Р; DL пересекает АМ в точке Т; АМ пересекает DK в точке О.

А) Докажите, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности;

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если АВ=4.

Показать ответ
Вариант 9

А) Доказать, что точки Р, L, T, O лежат на одной окружности. Таким образом, нужно доказать, что вокруг POTL можно описать окружность, это возможно, если [math]\angle POT+\angle TLP=180^\circ[/math], [math]\angle OTL+\angle OPL=180^\circ[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup AOD[/math]:

[math]tg(\angle DAO)=\frac{DM}{AD}=\frac12[/math] (из [math]\bigtriangleup DAM[/math] )

[math]tg(\angle ADO)=\frac{AK}{AD}=\frac12[/math] (из [math]\bigtriangleup DAK[/math] )

[math]\Rightarrow\angle AOD=180^\circ-2arctg(\frac12)=\angle POT[/math] (как вертикальные)

В [math]\bigtriangleup LDC[/math]: [math]\angle C=90^\circ[/math], [math]tg(\angle LDC)=\frac{LC}{DC}=\frac12\Rightarrow\angle DLC=90-arctg(\frac12)[/math]

В [math]\bigtriangleup LAB[/math]: [math]\angle B=90^\circ[/math], [math]tg(\angle LAB)=\frac{LB}{AB}=\frac12\Rightarrow\angle ALB=90-arctg(\frac12)[/math]

[math]\Rightarrow\angle ALD=180^\circ-(90^\circ-arctg(\frac12))-(90^\circ-arctg(\frac12))=2arctg(\frac12)[/math] (как смежный с [math]\angle DLC[/math] и [math]\angle ALB[/math])

Тогда [math]\angle POT+\angle TLP=180^\circ-2arctg(\frac12)+2arctg(\frac12)=180^\circ[/math] и [math]\angle OTL+\angle OPL=360^\circ-(\angle POT+\angle TLP)=180^\circ[/math] (по свойству четырехугольника) . Следовательно, точки Р, L, T, O лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Б) AB=4, r-?

Окружность с центром в т.Н вписана в POTL, следовательно окружность с центром в т.Н вписана в [math]\bigtriangleup DPL[/math]. Имеем, что задача сведена к поиску радиуса вписанной в [math]\bigtriangleup DPL[/math] окружности.

Из [math]\bigtriangleup DLC[/math] по теореме Пифагора: [math]DL=\sqrt{DC^2+LC^2}[/math] [math]DL=\sqrt{16+4}=2\sqrt5[/math]

Аналогично: [math]AL=DL=DK=AM=2\sqrt5[/math]

Ранее доказывалось, что [math]\angle LDC=\angle BAL=\angle KDA=arctg(\frac12)[/math] и [math]\angle DLC=90-arctg(\frac12)[/math]

[math]\Rightarrow\angle DKA=90-\angle KDA=90-arctg(\frac12)[/math]

Получаем, что [math]\bigtriangleup PAK\sim\angle CDL[/math] (по двум углам: [math]\angle LDC=\angle KAP;\angle CLD=\angle PKA[/math]) и [math]\frac{DL}{AK}=\frac{DC}{AP}=\frac{CL}{PK}\Rightarrow\frac{2\sqrt5}2=\frac4{AP}=\frac2{PK}\Rightarrow AP=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}5;PK=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5[/math]

Причем [math]\angle KPA=\angle C=90^\circ[/math] и [math]\angle DPL=\angle KPA=90^\circ[/math] (как вертикальные)

[math]PL=AL-AP=2\sqrt5-\frac{4\sqrt5}5=\frac{6\sqrt5}5[/math]

[math]DP=DK-PK=2\sqrt5-\frac{2\sqrt5}5=\frac{8\sqrt5}5[/math]

Тогда [math]r=\frac{PL+DP-DL}2[/math] (формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности)

[math]r=\frac{\frac{6\sqrt5}5+\frac{8\sqrt5}5-2\sqrt5}2=\frac{3\sqrt5}5+\frac{4\sqrt5}5-\sqrt5=\frac{7\sqrt5}5-\frac{5\sqrt5}5=\frac{2\sqrt5}5[/math]

Ответ: [math]\frac{2\sqrt5}5[/math]

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]\log_2^2\left|4-x^2\right|-2a\cdot\log_2\left|x^2-4\right|+a+6=0[/math] имеет ровно четыре различных корня.

Показать ответ

[math]\left(log_2\left|x^2-4\right|\right)^2-2alog_2\left|x^2-4\right|+a+6=0[/math]

Перед нами квадратное уравнение относительно [math]log_2\left|x^2-4\right|[/math]

Найдем дискриминант [math]D=4a^2-4(a+6)=4a^2-4a-24[/math]

Уравнение не имеет решение, если [math]4a^2-4a-24<0[/math]

Нули: [math]a=-2;a=3[/math]

Нанесем на числовую прямую и определим знаки:

Вариант 9

Значит при [math]a\in(-2;3)[/math] уравнение не имеет решений.

Рассмотрим случай, когда [math]a\not\in(-2;3)[/math]

Найдем корни: [math]log_2\left|x^2-4\right|=a\pm\sqrt{a^2-a-6}[/math]

[math]\left|x^2-4\right|=2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}[/math]

[math]x^2=4\pm2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}[/math]

Определим количество корней на концах промежутка:

[math]a=-2[/math] [math]x^2=\frac54;x^2=\frac{15}4[/math] - четыре корня, входит в ответ

[math]a=3;x^2=12;x^2=-4[/math] - два корня, не входит в ответ

В остальных случаях [math]x^2=4\pm2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}[/math]

Значит, необходимо чтобы два из них не подходили под условие, что [math]x^2>0[/math]

т.е имеем, что [math]4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}<0[/math]

Вариант 9

Ответ: [math]\left\{-2\right\}\cup\left(3;\;\frac{10}3\right)[/math]

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 381 091
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?