Вариант 18

Решение:

а) Данное уравнение определено при условиях $\left\{\begin{array}{l}x^2+2x-7\geq0\\9+2x-x^2>0\end{array}\right.$ и расщепляется на 2 уравнения $\sqrt{x^2+2x-7}-1=0$ и $\log_3(9+2x-x^2)=0$. Первое уравнение после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводится к квадратному $x^2+2x-8=0$ с корнями $x_1=-4,\;x_2=2.$ Корень $x_1=-4$ не удовлетворяет условию ОДЗ. Применяя определение логарифма ко второму уравнению, получаем квадратное уравнение $x^2-2x-8=0$ с корнями $x_1=-2;\;x_2=4.$. Корень $x_1=-2$ не удовлетворяет условию ОДЗ. Таким образом исходное уравнение имеет 2 корня 2 и 4.

б) Сравним числа $2$ и $\log_35$. $2=\log_39$ соответственно $2>\log_35$

$4>2^\sqrt2$, т.к. $4=2^2,\;$ а $2>\sqrt2\;$

Следовательно $2\in\left[\log_35;2^\sqrt2\right]\;$, a $4\not\in\left[\log_35;2^\sqrt2\right]\;$

Ответ: а) 2,4 б) 2

Решение:

ОДЗ: $x>0$

$(x-1)(2\log_3^2x-5\log_3x+2)<0$

$(x-1)(\log_3x-2)(2\log_3x-1)<0$

На ОДЗ выражение $\log_3x-2=\log_3x-\log_39$ совпадает по знаку с выражением $x-9$, а выражение $2\log_3x-1=2(\log_3x-\log_3\sqrt3)$ - с выражением $x-\sqrt3$. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству $(x-1)(x-9)(x-\sqrt3)<0$. Решив его методом интервалов получим $x\in(-\infty;1)\cup(\sqrt3;9)$. Учитывая ОДЗ $x\in(0;1)\cup(\sqrt3;9)$

Ответ: $\left(0;\;1\right)\cup\left(\sqrt3;\;9\right)$

Решение:

а) Не нарушая общности, можем считать, что большая окружность вписана в угол $AOC$. Пусть $CQ=r;\;PC=4r$. так как окружность с центром $P$ вписана в угол $AOC$, то $PA\perp OA,\;PC\perp OC,\;OA=OC$ как отрезки касательных, проведенные из одной точки. аналогично $OC=OB$, тогда $OA=OB$, что и требовалось доказать.

Из того, что $PO$ и $QO$ - биссектрисы углов $AOC$ и $BOC$ соответственно, следует, что $\angle POQ=45^\circ$

Обозначим $OA=OB=OC=x$, тогда $OP=\sqrt{16r^2+x^2\;},\;OQ=\sqrt{r^2+x^2},\;PQ=4r+r=5r$. Учитывая, что $\angle POQ=45^\circ,$ по теореме косинусов имеем $PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP\times OQ\times\frac{\sqrt2}2$

$16r^2+x^2+r^2+x^2-\sqrt2\sqrt{16r^2+x^2}\sqrt{r^2+x^2}=25r^2$, решая уравнение относительно $x^2$ , получим $x^2=\frac{33\pm5\sqrt{41}}2r^2$

$\cos\angle COQ=\frac{OC}{OQ}=\frac x{\sqrt{r^2+x^2}}=\sqrt{\frac{33\pm5\sqrt{41}}{35\pm5\sqrt{41}}}.$

Если $\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{33-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}}.$, то $\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=2\cos^2\angle COQ-1=2\times\frac{33-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}-1=\frac{31-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}<0$, что противоречит тому, что $\angle BOC<90^\circ$

Если $\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{33+5\sqrt{41}}{35+5\sqrt{41}}},$ то $\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=2\cos^2\angle COQ-1=2\times\frac{33+5\sqrt{41}}{35+5\sqrt{41}}-1=\frac{3+\sqrt{41}}{10}$

Ответ: $\frac{3+\sqrt{41}}{10}$.

Решение:

Обозначим через $x$ количество магазинов, в которые молокозавод отправляет молоко. Тогда $\frac{12000}x$ пакетов молока реализуют магазины во все дни недели, кроме понедельника, а $\frac{12000}x+800$ в понедельник. По условию задачи в понедельник в четыре магазина молоко не отправляется , значит $\frac{12000}{x-4}$ пакетов отправляется в другие магазины по понедельникам. Составим и решим уравнение:

$\frac{12000}x+800=\frac{12000}{x-4},\;x>4$

$x=10$

$\frac{12000}{10-4}=2000$ пакетов молока составляет предельная продажа.

Ответ: 2000

Решение:

Схематически изобразим график функции $y_1=x^2+8x-2$ при $x\in\left[-6;2\right]$. Это фрагмент параболы с вершиной (-4;-18). При этом $y_2=4a-2x$ - это семейство параллельных прямых. Очевидно, что искомые значения параметра принадлежат промежутку $(a_1;a_2)\cup\left\{a_3\right\}$, если точка касания, соответствующая $a_3$, принадлежит отрезку $\left[-6;2\right]$ и $a\in(a_1;a_2\rbrack$ в противном случае. Учитывая, что $y_1(-6)=-14;\;y_1(2)=18,\;$ определим координаты точек $A,B:\;A(-6;-14),\;B(2,18)\;$

$\begin{array}{l}a_1:\;4a_1-2(-6)=-14;\;a_1=-\frac{13}2\\a_2:\;4a_2-2\times2=18;\;a_2=\frac{11}2\end{array}$

Определим $a_3$: уравнение $x^2+8x-2=4a-2x$ должно иметь единственное решение. Уравнение будет иметь единственное решение, когда дискриминант равен 0. $D=100+8+16a=0,\;a=-\frac{27}4$ в этом случае $x$ равен решению уравнения $x^2+10x+25=0$, то есть $x=-5\in\left[-6;2\right]$

Ответ: {-27/4}⋃(-13/2; 11/2]

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают $2c+14t+21l$ кг мяса, а посетителей бывает $20c+160t+230l=P$

а) По условию $2c+14t+21l=70$, где $\{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}$. 70 делится на 7 и $14t+21l$ делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если $с=7$, то $14+7(2t+3l)=70$, $2t+3l=8$. При $t\in\mathbb{N}\;l<\frac83$ и делится на 2, значит $l=2,t=1$ и число посетителей равно $20\times7+160\times1+230\times2=760$

б) По условию, $2c+14t+21l=420$. Может ли $20c+160]t+230l$ быть меньше 4000?

$20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200$. Получилось, что $20c+160t+230l>4200$, значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что $2c+14t+21l=111$. Так как количество животных натуральные числа, $l$ нечетно и $21l\leq111-(2+14),\;$$21l\leq95,\;$$l\leq4,\;$ то есть $l=3$ или $l=1$

1) $l=1$, тогда $2с+14t+21=111;$$2с+14t=90;$$с+7t=45;$$с=45-7t;$$t\leqslant6\frac27$. Число посетителей:

$P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t$ наибольшее при наибольшем $t$, т.е.при $t=6$, $P=1130+20\times6=1250$.

2) $l=3$, тогда $2с+14t+21\times3=111;$$2с+14t=48;$$c=24-7t\geqslant1;$$t\leqslant3\frac27$

$P=20c+160t+230\times3=20t+1170$ наибольшее при наибольшем $t$, т.е. при $t=3$. $P=20\times3+1170=1230$

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250