Processing math: 91%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 18

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Система навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт проходит на высоте 35 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

2
2

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,4 вольта до 1 вольта.

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB .

4
4

Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

5
5

Найдите корень уравнения log8 (5x + 47) = 3.

6
6

Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

7
7

На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f (x) . На оси абсцисс отмечено девять точек: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f (x) ?

8
8

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.

9
9

Найдите значение выражения (535723)15359.

10
10

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 4500 км/ч2. Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле ν=2la, где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

11
11

Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

12
12

Найдите точку минимума функции y = (1 - 2x) cos x + 2sin x + 7 ,

принадлежащую промежутку (0;π2).

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение (x2+2x71)log3(9+2xx2)=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [log35;22].

Показать ответ

Решение:

а) Данное уравнение определено при условиях {x2+2x709+2xx2>0 и расщепляется на 2 уравнения x2+2x71=0 и log3(9+2xx2)=0. Первое уравнение после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводится к квадратному x2+2x8=0 с корнями x1=4,x2=2. Корень x1=4 не удовлетворяет условию ОДЗ. Применяя определение логарифма ко второму уравнению, получаем квадратное уравнение x22x8=0 с корнями x1=2;x2=4.. Корень x1=2 не удовлетворяет условию ОДЗ. Таким образом исходное уравнение имеет 2 корня 2 и 4.

б) Сравним числа 2 и log35. 2=log39 соответственно 2>log35

4>22, т.к. 4=22, а 2>2

Следовательно 2[log35;22], a 4[log35;22]

Ответ: а) 2,4 б) 2

14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S расстояние между прямыми BD и AS равно 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и S перпендикулярно прямой BD.

б) Найдите объём данной пирамиды, если её боковое ребро равно 5.

Показать ответ

Решение:

а) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому ACBD (см. рисунок) С другой стороны, так как пирамида правильная вершина S проецируется в центр основания, поэтому основание высоты и точка пересечения диагоналей квадрата ABCD совпадают. Обозначим эту точку O, плоскость (SAO)BD, так как содержит 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные BD. Сечение плоскостью AOS образует SAC, так как точки A,O,C лежат на одной прямой.

б) Обозначим через O точку пересечения диагоналей квадрата. Диагональ ACBD и высота пирамиды SOBD, поэтому BDAOS. Пусть E - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на ребро SA. Так как BDAOS, то BDOE

Таким образом, OE - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA. Заметим, что OE - высота прямоугольного треугольника AOS, опущенная на гипотенузу AS. Пусть AO=a , тогда SO=25a2. Площадь треугольника AOS равна 12SA×OE=5, с другой стороны равна 12AO×SO=12a25a2. Решим уравнение 12a25a2=5. Оно имеет положительные корни a=5,a=25

Пусть a=5, тогда SO=25 и площадь основания данной пирамиды равна 12(2a)2=10. Объем пирамиды SABCD равен 13×10×25=2053

Пусть a=25, тогда SO=5 и площадь основания данной пирамиды равна 12(45)2=40. Объем пирамиды SABCD равен 13×40×5=4053

Ответ: 2053 и 4053

15

Решите неравенство (x1)(2log23x5log3x+2)<0.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: x>0

(x1)(2log23x5log3x+2)<0

(x1)(log3x2)(2log3x1)<0

На ОДЗ выражение log3x2=log3xlog39 совпадает по знаку с выражением x9, а выражение 2log3x1=2(log3xlog33) - с выражением x3. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству (x1)(x9)(x3)<0. Решив его методом интервалов получим x(;1)(3;9). Учитывая ОДЗ x(0;1)(3;9)

Ответ: (0;1)(3;9)

16

Внутри прямого угла АОВ проведён луч ОС. В угол ВОС вписана окружность, касающаяся лучей ОВ и ОС в точках B и C соответственно, в угол АОС вписана окружность, касающаяся лучей ОА и ОС в точках А и С соответственно. Радиус одной из этих окружностей в 4 раза больше радиуса другой.

а) Докажите, что ОА = ОВ.

б) Найдите косинус меньшего из углов АОС и ВОС.

Показать ответ

Решение:

а) Не нарушая общности, можем считать, что большая окружность вписана в угол AOC. Пусть CQ=r;PC=4r. так как окружность с центром P вписана в угол AOC, то PAOA,PCOC,OA=OC как отрезки касательных, проведенные из одной точки. аналогично OC=OB, тогда OA=OB, что и требовалось доказать.

Из того, что PO и QO - биссектрисы углов AOC и BOC соответственно, следует, что POQ=45

Обозначим OA=OB=OC=x, тогда OP=16r2+x2,OQ=r2+x2,PQ=4r+r=5r. Учитывая, что POQ=45, по теореме косинусов имеем PQ2=OP2+OQ22OP×OQ×22

16r2+x2+r2+x2216r2+x2r2+x2=25r2, решая уравнение относительно x2 , получим x2=33±5412r2

cosCOQ=OCOQ=xr2+x2=33±54135±541.

Если cosCOQ=3354135541., то cosBOC=cos(2COQ)=2cos2COQ1=2×33541355411=3154135541<0, что противоречит тому, что BOC<90

Если cosCOQ=33+54135+541, то cosBOC=cos(2COQ)=2cos2COQ1=2×33+54135+5411=3+4110

Ответ: 3+4110.

17

Молокозавод ежедневно отправляет в магазины 12000 литровых пакетов молока (равное количество в каждый магазин). Подсчитано, что в понедельник выгоднее в четыре магазина молоко не отправлять, а предназначенное для них молоко распределять (в равной мере) среди остальных магазинов. При этом каждый магазин увеличивает количество разливного молока на 800 пакетов (это их предельная продажа). Сколько пакетов молока составляет предельная продажа?

Показать ответ

Решение:

Обозначим через x количество магазинов, в которые молокозавод отправляет молоко. Тогда 12000x пакетов молока реализуют магазины во все дни недели, кроме понедельника, а 12000x+800 в понедельник. По условию задачи в понедельник в четыре магазина молоко не отправляется , значит 12000x4 пакетов отправляется в другие магазины по понедельникам. Составим и решим уравнение:

12000x+800=12000x4,x>4

x=10

12000104=2000 пакетов молока составляет предельная продажа.

Ответ: 2000

18

При каких значения параметра а система {y=x2+8x2,y=4a2x имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2]?

Показать ответ

Решение:

Схематически изобразим график функции y1=x2+8x2 при x[6;2]. Это фрагмент параболы с вершиной (-4;-18). При этом y2=4a2x - это семейство параллельных прямых. Очевидно, что искомые значения параметра принадлежат промежутку (a1;a2){a3}, если точка касания, соответствующая a3, принадлежит отрезку [6;2] и a(a1;a2] в противном случае. Учитывая, что y1(6)=14;y1(2)=18, определим координаты точек A,B:A(6;14),B(2,18)

a1:4a12(6)=14;a1=132a2:4a22×2=18;a2=112

Определим a3: уравнение x2+8x2=4a2x должно иметь единственное решение. Уравнение будет иметь единственное решение, когда дискриминант равен 0. D=100+8+16a=0,a=274 в этом случае x равен решению уравнения x2+10x+25=0, то есть x=5[6;2]

Ответ: {-27/4}⋃(-13/2; 11/2]

19

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Показать ответ

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают 2c+14t+21l кг мяса, а посетителей бывает 20c+160t+230l=P

а) По условию 2c+14t+21l=70, где {c,t,l}Z. 70 делится на 7 и 14t+21l делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если с=7, то 14+7(2t+3l)=70, 2t+3l=8. При tNl<83 и делится на 2, значит l=2,t=1 и число посетителей равно 20×7+160×1+230×2=760

б) По условию, 2c+14t+21l=420. Может ли 20c+160]t+230l быть меньше 4000?

20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10×420=4200. Получилось, что 20c+160t+230l>4200, значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что 2c+14t+21l=111. Так как количество животных натуральные числа, l нечетно и 21l111(2+14),21l95,l4, то есть l=3 или l=1

1) l=1, тогда 2с+14t+21=111;2с+14t=90;с+7t=45;с=457t;t. Число посетителей:

P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t наибольшее при наибольшем t, т.е.при t=6, P=1130+20\times6=1250.

2) l=3, тогда 2с+14t+21\times3=111;2с+14t=48;c=24-7t\geqslant1;t\leqslant3\frac27

P=20c+160t+230\times3=20t+1170 наибольшее при наибольшем t, т.е. при t=3. P=20\times3+1170=1230

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 832
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?