Вариант 14
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 15% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 2,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
На диаграмме показано количество посетителей сайта любителей кошек во все дни с 21 по 30 мая 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей превышает наименьшее количество посетителей за день (в указанный период).
Острые углы прямоугольного треугольника равны 37° и 53°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Автоматическая линия изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая лампочка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную лампочку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную лампочку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет забракована системой контроля.
Найдите корень уравнения [math]\left(\frac15\right)^{4x-13}=125[/math].
Найдите угол КLM. Ответ дайте в градусах.
Прямая у = 11x + 16 является касательной к графику функции у = 2х3 + 4х2 + Зх. Найдите абсциссу точки касания.
Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2√2, а боковые рёбра равны 5√3.
Найдите значение выражения [math]y=\left(\sqrt{3\frac3{14}}-\sqrt{\frac5{14}}\right)\div\sqrt{\frac{40}7}[/math].
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет- изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности Тr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 6.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится всемеро, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
[math]R=\frac{4In+Op+7Tr+Q}A[/math]
Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
Семья состоит из мужа, жены и их сына студента. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 37,5%. Если бы зарплата мужа уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 39%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия сына?
Найдите точку максимума функции y=log9(-x2+4x+5)+1
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение [math]2\cos^2x+\sin2x=\sin\left(x-\frac32\pi\right)-\cos\left(\frac\pi2+x\right)[/math].
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π; 0).
Решение:
а) [math]\begin{array}{l}2\cos^2x+\sin2x=\cos x+\sin x\\2\cos^2x+2\sin x\cos x=\cos x+\sin x\\(2\;\cos x-1)(\cos x+\sin x)=0\\\left\{\begin{array}{l}2\cos x-1=0\\\cos x+\sin x=0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\cos x=\frac12\\tgx=-1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\x=-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\end{array}[/math]
Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие указанному промежутку.
[math]\begin{array}{l}k=0,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3;\\n=0,\;x=-\frac{\mathrm\pi}4\end{array}[/math]
Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};\;-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}.[/math]
б) [math]-\frac{\mathrm\pi}3;\;-\frac{\mathrm\pi}4[/math]
В треугольной пирамиде FABC основанием является правильный треугольник АВС, ребро FB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро FA равно 10. На ребре АС находится точка К, на ребре АВ — точка N, а на ребре AF — точка L. Известно, что FL = 4 и СК = BN = 2.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, N и L
б) Найдите площадь этого сечения
Решение:
Так как [math]FB\;\perp\;(ABC)[/math], то [math]FB\;\perp\;AB[/math] и [math]FB\;\perp\;BC[/math] (см. рисунок).
Из прямоугольных треугольников [math]FAB[/math] и [math]FBC[/math] получим [math]FB=\sqrt{AF^2-AB^2}=8,\;FC=\sqrt{FB^2+BC^2}=10[/math]
[math]\cos\angle FAB=\frac{AB}{AF}=0,6[/math], тогда из [math]\bigtriangleup ANL[/math] по теореме косинусов [math]NL^2=AN^2+AL^2-2AN\times NL\times\cos\angle FAB=\frac{29}5\times4[/math]
[math]NL=2\times\frac{\sqrt{29}}{\sqrt5}[/math]
Из [math]\bigtriangleup FAC[/math]: [math]\cos\angle FAC=\frac{AF^2+AC^2-FC^2}{2\times AF\times AC}=0,3[/math]
Из [math]\bigtriangleup ALK[/math] по теореме косинусов [math]LK^2=AL^2+AK^2-2AL\times AK\times\cos\angle FAC=\frac{47}5\times4[/math]
[math]LK=\frac{\sqrt{47}}{\sqrt5}\times2,\;NK=4.[/math]
[math]\cos\angle LNK=\frac{{\displaystyle\frac{4\times29}5}+16-{\displaystyle\frac{4\times47}5}}{2\times{\displaystyle\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt5}}\times4}=\frac1{2\sqrt{145}}[/math]
[math]sin\angle LNK=\sqrt{1-\frac1{580}}=\frac{\sqrt{579}}{2\sqrt{145}}[/math]
[math]S_{KLN}=\frac12LN\times NK\times sin\angle LNK=0,4\sqrt{579}[/math]
Ответ: [math]0,4\sqrt{579}[/math]
Решите систему неравенств: [math]\left\{\begin{array}{l}\left(\frac19\right)^\frac{4-x^2}2\geq27^x\\\log_{x+2}(2x^2+x)>2\end{array}\right.[/math]
Решение:
1. Решим первое неравенство системы:
[math](\frac19)^\frac{4-x^2}2\geq27^x[/math]
[math]3^{x^2-4}\geq3^{3x}[/math]
[math]x^2-4\geq3x[/math]
[math]x^2-3x-4\geq0[/math]
[math](x+1)(x-4)\geq0[/math]
[math]x\leq-1;\;x\geq4.[/math]
2. Решим второе неравенство системы
[math]\begin{array}{l}\log_{x+2}(2x^2+x)>2\\\\\end{array}[/math]
ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\;\;x+2>0,\\\begin{array}{c}x+2\neq1,\\2x^2+x>0;\end{array}\end{array}\right.\\\\\end{array}[/math] [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x>-2\\x\neq-1\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x>0\\x<-1/2\end{array}\right.\end{array}\right.[/math]
[math]\begin{array}{l}x\in(-2;-1)\cup(-1;-\frac12)\cup(0;+\infty).\\\\\end{array}[/math]
[math]\begin{array}{l}\log_{x+2}(2x^2+x)-\log_{x+2}(x+2)^2>0,\\(x+2-1)(2x^2+x-(x+2)^2)>0,\\(x+1)(x^2-3x-4)>0,\\(x+1)^2(x-4)>0.\\\\\end{array}[/math]
[math]x\in(4;+\infty)\;[/math] (см. Рисунок)
Учитывая ОДЗ, имеем [math]x\in(4;+\infty)\;[/math]
Ответ: [math]x\in(4;+\infty)\;[/math]
В треугольнике MNP высота PQ и медиана PL делят угол MPN на три равных угла. Площадь треугольника MNP равна 6 + 4√3.
а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник MNP окружности.
Решение:
Рассмотрим [math]\bigtriangleup MNP[/math]:
В [math]\bigtriangleup LPN[/math] высота [math]PQ[/math] является также биссектрисой, значит, [math]\bigtriangleup LPN[/math] равнобедренный, PQ - медиана и [math]LQ=QN=\frac14MN[/math]. В [math]\bigtriangleup MPQ\;\;PL\;-\;[/math] биссектриса, тогда [math]\frac{PQ}{MP}=\frac{LQ}{ML}=\frac12,[/math] следовательно [math]\bigtriangleup MPQ[/math] - прямоугольный с гипотенузой [math]MP[/math], тогда [math]\angle QMP=30^\circ[/math], [math]\angle MPQ=60^\circ[/math], [math]2\alpha=60^\circ\;=>a=30^\circ.[/math]
Итак [math]\bigtriangleup MNP[/math] - прямоугольный с гипотенузой [math]MN[/math] и острым углом [math]30^\circ[/math].
б) Пусть [math]O[/math] - центр вписанной окружности, [math]PT,\;NR[/math] - биссектрисы, [math]OD=r[/math] - радиус вписанной окружности.
[math]\angle OPD=45^\circ[/math], тогда [math]PD=OD=r[/math]. [math]\angle OND=\frac12\angle MNP=30^\circ[/math] тогда [math]ND=OD\sqrt3=r\sqrt3[/math], [math]NP=r+r\sqrt3=r(\sqrt3+1)[/math]. [math]MP=NP\sqrt3=r\sqrt3(\sqrt3+1)[/math]
[math]S_{MNP}=\frac12MP\times NP=\frac12r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2[/math]
По условию [math]S_{MNP}=6+4\sqrt3[/math]
[math]\begin{array}{l}\frac12r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2=6+4\sqrt3\\r=\sqrt2\end{array}[/math]
Ответ: [math]\sqrt2[/math]
Мария Петровна положила в банк 1 500 000 рублей под 7% годовых. Схема начисления процентов следующая: каждый год банк начисляет проценты на имеющуюся сумму вклада (то есть увеличивает сумму на 7%). По истечению двух лет банк повысил процент с 7% до 10%.
Сколько лет должен пролежать вклад, чтобы он увеличился по сравнению с первоначальным на 577993,5 рублей (при условии, что процент изменяться больше не будет)?
Решение:
Воспользуемся формулой сложного процента [math]P=A\left(1+\frac k{100}\right)^n[/math], где [math]P[/math] - текущая сумма вклада, [math]A[/math] - первоначальная сумма вклада, [math]k[/math] - годовой процент, [math]n[/math] - количество лет.
Первые два года:
1) По условию [math]A=1500000,\;k=7,n=2[/math]
[math]P=1500000\left(1+\frac7{100}\right)^2=1717350[/math]
2) После повышения процента с 7% до 10%
[math]A=1717350,k=10,\;P=1500000+577993,5=2077993,5[/math]
[math]2077993,5=1717350\left(1+\frac{10}{100}\right)^n[/math]
[math]1,1^n=1,21;\;n=2[/math]
Вклад должен пролежать 2+2=4 года
Ответ: 4
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-1+\cos^24x=0[/math]имеет ровно три корня, расположенных на отрезке [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right][/math]
Решение:
[math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-1+\cos^24x=0;[/math]
[math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-\sin^24x=0;[/math]
[math]\sin4x=t,\;\;\;\;\;-t^2+\frac{3a-2}3t+\frac{2a}3=0;[/math]
[math]t^2-\frac{3a-2}3t-\frac{2a}3=0;[/math] [math]t=\frac{(3a-2)\pm(3a+2)}6[/math]
[math]t_1=-\frac23,\;t_2=a[/math]
1) [math]\sin4x=-\frac23[/math]; 2) [math]\sin4x=a[/math].
Уравнение [math]\sin4x=a[/math] имеет на отрезке [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right][/math] один корень при [math]a=-1[/math] и уравнение [math]\sin4x=-\frac23[/math] имеет на [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right]\;[/math] два корня (см. рисунок)
Ответ: -1
На доске выписана последовательность а1, а2, ... , а500, при этом а1 = 7.
В каждом из следующих случаев определите а500
а) Для любого натурального m среднее геометрическое первых m членов последовательности равно 7.
б) Для любого натурального m среднее арифметическое первых m членов последовательности на 3 меньше среднего арифметического первых (m — 1) членов последовательности.
в) Для всех нечётных натуральных m средние арифметические первых m членов последовательности равны между собой и на 3 меньше средних арифметических первых 2k членов последовательность для любого натурального k.
Решение:
а) Покажем, что все [math]a_k=7[/math]. Действительно, [math]\sqrt{a_1a_2}=7;\;a_2=\frac{49}{a_1};[/math], [math]\sqrt[3]{a_1a_2a_3}=7;\;\;a_1a_2a_3=7^3;\;a_3=\frac{7^3}{a_1a_2}[/math]
Если [math]a_1=a_2=...=a_n=7[/math] и [math]{\sqrt[n]{a_1a_2...a}}_n=7[/math], то [math]a_{n+1}=\frac{7^{n+1}}{a_1a_2...a_3}[/math]. Значит [math]a_{500}=7.[/math]
б) пусть среднее арифметическое первых (m-1) чисел равно [math]x_{m-1}[/math]. Тогда сумма первых m-1 чисел равна [math](m-1)x_{m-1}[/math], откуда [math]x_m=\frac{a_m+(m-1)x_{m-1}}m[/math]. С другой стороны, по условию [math]x_m=x_{m-1}-3[/math], откуда [math]\frac{a_m+(m-1)x_{m-1}}m=x_{m-1}-3;\;a_m=x_{m-1}-3m[/math]
Учитывая, что [math]x_m[/math] образуют арифметическую прогрессию с разностью -3, получим [math]x_m=7-3(m-1)=10-3m[/math]; [math]x_{m-1}=10-3(m-1)=13-3m[/math]; [math]a_m=13-6m[/math], значит [math]a_{500}=13-6\times500=-2987.[/math]
в) Для любого нечетного числа m среднее арифметическое первых m чисел равно 7, так как при k=1 среднее арифметическое равно 3. Для четных m среднее арифметическое равно 10. Тогда для четных m выполняется равенство [math]\frac{7(m-1)+a_m}m=10;\;a_m=3m+7[/math], [math]a_{500}=1507.[/math]
Ответ: а) 7 б) -2987 в) 1507
| № | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
|---|---|---|---|
|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |
|||