Вариант 10

А) ОДЗ: [math]sinx\neq0;ctgx<0[/math]

[math]\sqrt{-ctgx}=0[/math]

[math]cosx=0[/math]

[math]x=\frac\pi2+\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]2cos^2x-cosx-1=0[/math]

[math]a=2;b=-1;c=-1;a+b+c=0\Rightarrow x_1=1;x_2=\frac ca[/math]

[math]\Rightarrow cosx=1;cosx=-\frac12[/math]

[math]x=2\pi n[/math] - не соответствует ОДЗ, [math]x=-\frac{2\pi}3+2\pi k;\;x=\frac{2\pi}3+2\pi k[/math], [math]k\in N[/math]

[math]x=-\frac{2\pi}3+2\pi k[/math] - не соответствует ОДЗ

Б) Нанесем на числовую прямую и определим, какие корни входят в промежуток:

А) [math]\frac{2\pi}3+2\pi n;\;\frac\pi2+\pi k,\;n,\;k\in Z[/math]

Б) [math]\frac{15\pi}2;\;\frac{17\pi}2;\;\frac{26\pi}3[/math]

А) Доказать, что прямая В₁С₁ перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС₁ и АСВ₁.

т. [math]A\in(ABC_1)[/math]. т. [math]A\in(ACB_1)[/math]

[math]C_1B\in(ABC_1)[/math], [math]B_1C\in(ACB_1)[/math]

[math]C_1B\cap CB_1=D\Rightarrow D\in(ABC_1);D\in(ACB_1)[/math]

и [math]AD\in(ABC_1);AD\in(ACB_1)\Rightarrow AD[/math] - линия пересечения [math](ABC_1)[/math] и [math](ACB_1)[/math]

Имеем: необходимо доказать [math]B_1C_1\perp AD[/math]

Опустим из D перпендикуляр DH на CB ([math]DH\perp CB[/math])

т.D - не только высота треугольника, но и медиана,т.е.[math]CH=HB[/math]

т.к. [math]\bigtriangleup ABC[/math] - правильный, то AH - не только медиана, но и высота [math]\Rightarrow AH\perp CB[/math]

Тогда [math]AD\perp CB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

А т.к. [math]CB\parallel C_1B_1[/math], то [math]AD\perp C_1B_1[/math], что и требовалось доказать

Б) [math]AB=2;AA_1=2;\angle((ABC_1);(ACB_1)-?[/math]

Опустим из C и B перпендикуляры на AD. Исходя из равенства [math]\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ADB[/math] (по трем сторонам) они упадут на одну точку, пусть т.Т

Имеем [math]CT\perp AD,BT\perp AD[/math], [math]\angle CTB[/math] - линейный угол искомого двугранного угла

[math]\bigtriangleup CTB[/math] - равносторонний [math]\Rightarrow TH\perp CB[/math]

Тогда [math]sin(\frac12\angle CTB)=\frac{HC}{CT}[/math]

Из [math]\bigtriangleup CHD[/math] по теореме Пифагора: [math]CD=\sqrt{CH^2+HD^2}[/math] ([math]HD=\frac12BB_1[/math]) [math]CD=\sqrt{1+1}=\sqrt2[/math]

Из [math]\bigtriangleup CHA[/math] по теореме Пифагора: [math]AH=\sqrt{AC^2-CH^2}[/math] [math]AH=\sqrt{4-1}=\sqrt3[/math]

Из [math]\bigtriangleup AHD[/math] по теореме Пифагора: [math]AD=\sqrt{AH^2+HD^2}[/math] [math]AH=\sqrt{3+1}=2[/math]

Имеем [math]AC=AD\Rightarrow\bigtriangleup CAD[/math] - равнобедренный . Опустим из А [math]AF\perp CD[/math]

При этом [math]CF=FD=\frac12CD=\frac{\sqrt2}2[/math]

Тогда из [math]\bigtriangleup AFC[/math] по теореме Пифагора [math]AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{4-\frac12}=\sqrt{\frac72}[/math]

С одной стороны, [math]S_{\bigtriangleup ADC}=\frac12CT\cdot AD[/math], с другой стороны[math]S_{\bigtriangleup ADC}=\frac12AF\cdot CD\Rightarrow CT\cdot AD=AF\cdot CD\Rightarrow2CT=\sqrt{\frac72}\cdot\sqrt2\Rightarrow CT=\frac{\sqrt7}2[/math]

[math]sin(\frac12\angle CTB)=\frac1{\frac{\sqrt7}2}=\frac2{\sqrt7}\Rightarrow cos(\frac12\angle CTB)=\sqrt{1-\frac47}=\sqrt{\frac37}[/math], [math]sin(\angle((ABC_1);(ACB_1)))=2\cdot\frac2{\sqrt7}\cdot\sqrt{\frac37}=\frac{4\sqrt3}7[/math] и [math]cos(\angle((ABC_1);(ACB_1)))=\sqrt{1-\frac{16\cdot3}{49}}=\frac17[/math]

[math]\Rightarrow\angle((ABC_1);(ACB_1))=arccos(\frac17)[/math]

Ответ: [math]arccos\frac17[/math]

ОДЗ: [math]2+x>0\Rightarrow x>-2; 2-x>0\Rightarrow x<2; 2+x\neq1; 2-x\neq1[/math]

[math]\frac{log_3\frac13}{log_3(2+x)}+\frac{log_33}{log_3(2-x)}\leq0[/math]

[math]-\frac1{log_3(2+x)}+\frac1{log_3(2-x)}\leq0[/math]

[math]\frac{-log_3(2-x)+log_3(2+x)}{log_3(2+x)\cdot log_3(2-x)}\leq0[/math]

Нули числителя: [math]log_3\frac{2+x}{2-x}=0[/math]

[math]\frac{2+x}{2-x}=1[/math]

[math]2+x=2-x[/math]

[math]x=0[/math]

Нули знаменателя: [math]log_3(2-x)=0\Rightarrow2-x=1\Rightarrow x=1[/math]

[math]log_3(2+x)=0\Rightarrow2+x=1\Rightarrow x=-1[/math]

Нанесем на числовую прямую нули числителя и знаменателя и расставим знаки:

Ответ: (-1;0]⋃(1; 2)

А) [math]\angle CEB=\angle BAC=45^\circ[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\angle ABE=\angle ECA[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\Rightarrow\angle EDB=180^\circ-\angle CEB-\angle ABE=180^\circ-45^\circ-\angle ECA=135^\circ-\angle ECA[/math]

[math]\angle ECB=\angle ECA[/math] (из условия)

Тогда [math]\angle EDB=\angle ECB+\angle CBD[/math] (как внешний) или[math]\angle EDB=\angle ECA+\angle CBD[/math]

[math]\angle AEC=\angle CBD[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\angle AFD=\angle AED[/math] (опираются на одну и ту же дугу в окружности [math]v_2[/math])[math]\Rightarrow\angle AFD=\angle CBD[/math]

[math]\angle EDA=180^\circ-\angle EDB[/math] (как смежные)

Найдем [math]\angle FDE[/math]: [math]\angle FDE=\angle EDA-\angle FDA[/math];[math]\angle FDA=180^\circ-\angle FAD-\angle FDA[/math] (из [math]\bigtriangleup FAD[/math]), где [math]\angle DFA=\angle CBD[/math] (смотреть выше) и [math]\angle FAD=180^\circ-\angle DAC=180^\circ-45^\circ=135^\circ[/math] (как смежные)

[math]\Rightarrow\angle FDA=180^\circ-\angle CBD-45^\circ+\angle CBD=[/math][math]135^\circ-\angle EDB+\angle CBD=135^\circ-\angle ECA-\angle CBD+\angle CBD=[/math][math]135^\circ-\angle ECA=\angle EDB[/math]

Имеем, что [math]\angle FDE=\angle EDB\Rightarrow DE[/math] - биссектриса [math]\angle FDB[/math]

Б) Из [math]\bigtriangleup AFD[/math] по теореме синусов: [math]\frac{FD}{sin(\angle FAD)}=\frac{AF}{sin(\angle ADF)}=\frac{AD}{sin(\angle DFA)}=2R_{v_2}\Rightarrow\frac{AF}{sin(\angle ADF)}=R_{v_2}[/math]

[math]\frac2{sin(\angle ADF)}=2R_{v_2}\Rightarrow R_{v_2}=\frac1{sin(\angle ADF)}[/math]

[math]\bigtriangleup FDA=\bigtriangleup BDC[/math] (по стороне и двум прилежащим углам, CD - общая)

[math]\Rightarrow BC=FC;DC=AF+AC=2+6=8[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABC[/math] по теореме синусов: [math]\frac{AC}{sin(\angle CBD)}=\frac{CB}{sin(\angle BAC)}=\frac{AB}{sin(\angle ACB)}=2R_{v_1}[/math][math]\Rightarrow\frac{AC}{sin(\angle CBD)}=\frac{CB}{sin(\angle BAC)}[/math]; [math]\Rightarrow\frac6{sin(\angle CBD)}=\frac{28}{\sqrt2}[/math][math]\Rightarrow sin(\angle CBD)=\frac{3\sqrt2}8[/math]

[math]\Rightarrow cos(\angle CBD)=\sqrt{1-\frac{9\cdot2}{64}}=\frac{\sqrt{48}}8[/math]

В пункте а) показывалось, что [math]\angle ADF=45^\circ-\angle CBD[/math]

[math]\Rightarrow sin(\angle ADF)=sin(45^\circ-\angle CBD)[/math][math]=sin(45^\circ)cos(\angle CBD)-cos(45^\circ)sin(\angle CBD)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt{46}}8-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{3\sqrt2}8[/math][math]=\frac{2\sqrt{23}-6}{2\cdot8}=\frac{\sqrt{23}-3}8[/math]

и [math]R_{v_2}=\frac8{\sqrt{23}-3}=\frac{8(\sqrt{23}+3)}{23-9}=\frac{24+8\sqrt{23}}{14}=\frac{12+4\sqrt{23}}7[/math]

Ответ: [math]\frac{12+4\sqrt{23}}7[/math]

Найдем выплаты за каждый год и составим таблицу

Найдем наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб. Для этого определим, что наибольшая выплата сделана в 2017г., а наименьшая- в 2020г. Получим следующее неравенство:

[math]0.4S-0.22S\leq2[/math]

[math]S\leq11.11[/math]

Следовательно, т.к. по условию S - целое число, то наибольшее значение S=11

Ответ: 11

Пусть [math]t=sinx[/math], [math]-1\leq t\leq1[/math]

[math]2^t+4t+\sqrt t+2=a\cdot log_2(\frac{16}{1+t})[/math], ОДЗ: [math]t\geq0\Rightarrow0\leq t\leq1[/math]

Рассмотрим на участке [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]:

[math]f(t)=2^t+4t+\sqrt t+2[/math] - монотонно возрастает при [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]

[math]f_{min}=f(0)=1+0+0+2=3[/math]

[math]f_{max}=f(1)=2+4+1+2=9[/math]

Рассмотрим [math]h(t)=alog_2\left(\frac{16}{1+t}\right)[/math] на участке [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]

При [math]a\geq0[/math] [math]h(t)[/math] неотрицательна при [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math] и монотонно убывающая

Тогда

[math]h_{min}=h(0)=alog_2\left(\frac{16}{1+0}\right)=4a[/math]

[math]h_{max}=h(1)=alog_2\left(\frac{16}{1+1}\right)=3a[/math]

При [math]a<0[/math] график [math]h(x)[/math] полностью лежит в нижней полуплоскости.

Рассмотрим уравнение при [math]a<0[/math], тогда графическое решение:

Откуда следует, что при [math]a<0[/math] уравнение не имеет решений!

Рассмотрим уравнение при [math]a\geq0[/math], тогда его графическое решение:

Откуда следует, что

Объединение решений: [math]a\in(-\infty;\frac34)\cup(3;+\infty)[/math]

Ответ: (-∞; 0,75)⋃(3; +∞)

При решении задач учтем, что:

1) Ecли какое–то число a при делении на число b дает остаток d, то это можно записать в виде равенстваa=br+d, где r– частное, d– остаток

2) [math](A+\\\\\\\\\\\\\\\\alpha)^B=A\\\\\\\\\\\\\\\\cdot m+\\\\\\\\\\\\\\\\alpha^B[/math], где [math]\\\\\\\\\\\\\\\\alpha[/math] - малая величина по сравнению с А

А) [math]2013^{2014}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(2010+3\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2014}=2010m+3^{2014}[/math]

[math]3^{2014}=9^{1007}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(10-1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1007}=10m-1^{1007}=10k+10-1=(10k+5)+4[/math], следовательно [math]d=4[/math]

Б) [math]2015^{2016}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(2013+2\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2016}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(671*3+2\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2016}=3m+2^{2016}[/math]

[math]2^{2016}=4^{1008}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(3+1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1008}=10m-1^{1007}=3k+1[/math], следовательно [math]d=1[/math]

В) [math]2010^{2011}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(118*17+4\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2011}=17m+4^{2011}[/math]

[math]4^{2011}=4*\\\\\\\\\\\\\\\\left(16\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1005}=4*\\\\\\\\\\\\\\\\left(17-1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1005}=4(17m-1^{1007})=17k+64[/math], следовательно [math]d=13[/math] ( остаток от деления 64 на 17)

Ответ: а) 4; б) 1; в) 13