Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 10

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На покраску одного м2 поверхности одним слоем расходуется 0,2 литра краски. Найдите, какое количество краски необходимо (в л), чтобы покрасить забор площадью 21 м2 в три слоя.

2
2

На рисунке представлен график нагревания некоторого количества воды. По горизонтали указано время (в мин.), прошедшее с момента начала нагревания, по вертикали — температура воды в соответствующее время (в °С). Определите по графику, за сколько минут температура воды выросла с 40 °C до 80 °С.

Вариант 10

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена окружность. Вычислите площадь закрашенной фигуры в см2. В ответ укажите Sπ.

Вариант 10
4
4

В состязании по математике в команде «Незнайка в твоих штанах» 12 человек, из них три девочки. Отвечающего на вопрос члены жюри выбирают случайным образом. Найдите вероятность того, что выбранный участник — мальчик.

5
5

Решите уравнение log2(x2+6x+9)=4. В ответе укажите меньший корень.

6
6

AD — основание равнобедренной трапеции ABCD. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом в точке O, угол A равен 75 °. Найдите длину боковой стороны (в см), если OD = 63 см.

7
7

Изменение координаты точки выражается функцией f(t)=252t2+t22+6t, где t (в с) — время движения. Определите, какова была мгновенная скорость (в м/с) при t = 9 c.

8
8

Площадь полной поверхности цилиндра равна 628 см. Найдите объём вписанного в него конуса, если радиус основания равен 5 см. Число π следует считать равным 3,14.

9
9

Найдите значение выражения cos2(π2+x)1sin2x1cos2x, если tg x = 1,6.

10
10

Для вычисления коэффициента эффективности миграции (в %) используется формула K=PBP+B100, где P — численность прибывших (в тыс. человек), B — численность выбывших (в тыс. человек). Сколько тысяч человек должно выехать из страны, чтобы коэффициент эффективности миграции достиг 10 % при 11 тыс. чел. прибывших?

11
11

Алексею необходимо выполнить грузоперевозку продукции массой 41,6 т. В первый день он перевез 200 кг товара. Найдите, на сколько тонн он ежедневно увеличивал массу привезённого товара по сравнению с предыдущим днём, если известно, что всю работу он выполнил за 13 дней.

12
12

Найдите точку минимума функции f(x)=2x128xln2

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение ctgx(2cos2xcosx1)=0.

А) Решите уравнение.

Б) Укажите его корни из промежутка [15π2;9π].

Показать ответ

А) ОДЗ: sinx0;ctgx<0

ctgx=0

cosx=0

x=π2+πn, nZ

2cos2xcosx1=0

a=2;b=1;c=1;a+b+c=0x1=1;x2=ca

cosx=1;cosx=12

x=2πn - не соответствует ОДЗ, x=2π3+2πk;x=2π3+2πk, kN

x=2π3+2πk - не соответствует ОДЗ

Б) Нанесем на числовую прямую и определим, какие корни входят в промежуток:

Вариант 10

А) 2π3+2πn;π2+πk,n,kZ

Б) 15π2;17π2;26π3

14

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.

Показать ответ
Вариант 10

А) Доказать, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

т. A(ABC1). т. A(ACB1)

C1B(ABC1), B1C(ACB1)

C1BCB1=DD(ABC1);D(ACB1)

и AD(ABC1);AD(ACB1)AD - линия пересечения (ABC1) и (ACB1)

Имеем: необходимо доказать B1C1AD

Опустим из D перпендикуляр DH на CB (DHCB)

т.D - не только высота треугольника, но и медиана,т.е.CH=HB

т.к. ABC - правильный, то AH - не только медиана, но и высота AHCB

Тогда ADCB (по теореме о трех перпендикулярах)

А т.к. CBC1B1, то ADC1B1, что и требовалось доказать

Б) AB=2;AA1=2;((ABC1);(ACB1)?

Опустим из C и B перпендикуляры на AD. Исходя из равенства ADC=△ADB (по трем сторонам) они упадут на одну точку, пусть т.Т

Имеем CTAD,BTAD, CTB - линейный угол искомого двугранного угла

CTB - равносторонний THCB

Тогда sin(12CTB)=HCCT

Из CHD по теореме Пифагора: CD=CH2+HD2 (HD=12BB1) CD=1+1=2

Из CHA по теореме Пифагора: AH=AC2CH2 AH=41=3

Из AHD по теореме Пифагора: AD=AH2+HD2 AH=3+1=2

Имеем AC=AD⇒△CAD - равнобедренный . Опустим из А AFCD

При этом CF=FD=12CD=22

Тогда из AFC по теореме Пифагора AF=AC2CF2=412=72

С одной стороны, SADC=12CTAD, с другой стороныSADC=12AFCDCTAD=AFCD2CT=722CT=72

sin(12CTB)=172=27cos(12CTB)=147=37, sin(((ABC1);(ACB1)))=22737=437 и cos(((ABC1);(ACB1)))=116349=17

((ABC1);(ACB1))=arccos(17)

Ответ: arccos17

15

Решите неравенство log2+x13+log2x30.

Показать ответ

ОДЗ: 2+x>0x>2;2x>0x<2;2+x1;2x1

log313log3(2+x)+log33log3(2x)0

1log3(2+x)+1log3(2x)0

log3(2x)+log3(2+x)log3(2+x)log3(2x)0

Нули числителя: log32+x2x=0

2+x2x=1

2+x=2x

x=0

Нули знаменателя: log3(2x)=02x=1x=1

log3(2+x)=02+x=1x=1

Нанесем на числовую прямую нули числителя и знаменателя и расставим знаки:

Вариант 10

Ответ: (-1;0]⋃(1; 2)

16

В неравнобедренном треугольнике АВС ∠BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность υ1 в точке Е. Окружность υ2, описанная около треугольника ADE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.

Б) Найдите радиус окружности υ2, если известно, что АС=6, AF=2.

Показать ответ
Вариант 10

А) CEB=BAC=45 (опираются на одну и ту же дугу)

ABE=ECA (опираются на одну и ту же дугу)

EDB=180CEBABE=18045ECA=135ECA

ECB=ECA (из условия)

Тогда EDB=ECB+CBD (как внешний) илиEDB=ECA+CBD

AEC=CBD (опираются на одну и ту же дугу)

AFD=AED (опираются на одну и ту же дугу в окружности v2)AFD=CBD

EDA=180EDB (как смежные)

Найдем FDE: FDE=EDAFDA;FDA=180FADFDA (из FAD), где DFA=CBD (смотреть выше) и FAD=180DAC=18045=135 (как смежные)

FDA=180CBD45+CBD=135EDB+CBD=135ECACBD+CBD=135ECA=EDB

Имеем, что FDE=EDBDE - биссектриса FDB

Б) Из AFD по теореме синусов: FDsin(FAD)=AFsin(ADF)=ADsin(DFA)=2Rv2AFsin(ADF)=Rv2

2sin(ADF)=2Rv2Rv2=1sin(ADF)

FDA=△BDC (по стороне и двум прилежащим углам, CD - общая)

BC=FC;DC=AF+AC=2+6=8

Из ABC по теореме синусов: ACsin(CBD)=CBsin(BAC)=ABsin(ACB)=2Rv1ACsin(CBD)=CBsin(BAC); 6sin(CBD)=282sin(CBD)=328

cos(CBD)=19264=488

В пункте а) показывалось, что ADF=45CBD

sin(ADF)=sin(45CBD)=sin(45)cos(CBD)cos(45)sin(CBD)=2246822328=223628=2338

и Rv2=8233=8(23+3)239=24+82314=12+4237

Ответ: 12+4237

17

В начале января 2017 года планируется взять кредит в банке на S млн. рублей, где S — целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:

- каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;

- с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начало года 2017 2018 2019 2020 2021
Долг (в млн. рублей) S 0,7S 0,4S 0,2S 0

Найдите наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб.

Показать ответ

Найдем выплаты за каждый год и составим таблицу

Год 2017 2018 2019 2020
Выплаты (в млн. рублей) 1,1S-0,7S=0,4S 1,1*0,7S-0,4S=0,37S 1,1*0,4S-0,2S=0,24S 1,1*0,2S-0S=0,22S

Найдем наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб. Для этого определим, что наибольшая выплата сделана в 2017г., а наименьшая- в 2020г. Получим следующее неравенство:

0.4S0.22S2

S11.11

Следовательно, т.к. по условию S - целое число, то наибольшее значение S=11

Ответ: 11

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 2sinx+4sinx+sinx+2=alog2(161+sinx) не имеет корней.

Показать ответ

Пусть t=sinx, 1t1

2t+4t+t+2=alog2(161+t), ОДЗ: t00t1

Рассмотрим на участке t[0;1]:

f(t)=2t+4t+t+2 - монотонно возрастает при t[0;1]

fmin=f(0)=1+0+0+2=3

fmax=f(1)=2+4+1+2=9

Вариант 10

Рассмотрим h(t)=alog2(161+t) на участке t[0;1]

При a0 h(t) неотрицательна при t[0;1] и монотонно убывающая

Вариант 10

Тогда

hmin=h(0)=alog2(161+0)=4a

hmax=h(1)=alog2(161+1)=3a

При a<0 график h(x) полностью лежит в нижней полуплоскости.

Рассмотрим уравнение при a<0, тогда графическое решение:

Вариант 10

Откуда следует, что при a<0 уравнение не имеет решений!

Рассмотрим уравнение при a0, тогда его графическое решение:

Вариант 10

Откуда следует, что

Вариант 10

Вариант 10

Объединение решений: a(;34)(3;+)

Ответ: (-∞; 0,75)⋃(3; +∞)

19

а) Найдите остаток от деления 20132014 на 5.

б) Найдите остаток от деления 20152016 на 3.

в) Найдите остаток от деления 20102011 на 17.

Показать ответ

При решении задач учтем, что:

1) Ecли какое–то число a при делении на число b дает остаток d, то это можно записать в виде равенстваa=br+d, где r– частное, d– остаток

2) (A+alpha)B=Acdotm+alphaB, где alpha - малая величина по сравнению с А

А) 20132014=left(2010+3right)2014=2010m+32014

32014=91007=left(101right)1007=10m11007=10k+101=(10k+5)+4, следовательно d=4

Б) 20152016=left(2013+2right)2016=left(6713+2right)2016=3m+22016

22016=41008=left(3+1right)1008=10m11007=3k+1, следовательно d=1

В) 20102011=left(11817+4right)2011=17m+42011

42011=4left(16right)1005=4left(171right)1005=4(17m11007)=17k+64, следовательно d=13 ( остаток от деления 64 на 17)

\\\\n

Ответ: а) 4; б) 1; в) 13

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 832
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?