Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Компания для украшения помещения к новому году закупила 7 искусственных ёлок. Для украшения одной ёлки требуется не менее 13 игрушек. Игрушки продаются комплектами по 10 штук. Сколько нужно закупить комплектов, чтобы украсить все ёлки?

2
2

На диаграмме изображено количество учеников 11 класса, выбравших для сдачи ЕГЭ различные дополнительные экзамены. По горизонтали указаны экзамены, по вертикали — количество учеников, выбравших тот или иной экзамен. По диаграмме определите, сколько экзаменов были более востребованы, чем химия.

Вариант 7

3
3

Найдите площадь равнобедренной трапеции (в см2), высота которой равна 7 см и делит основание на отрезки длиной 17 см и 6 см.

4
4

На производстве при упаковке чая вероятность того, что упаковка окажется не герметичной, равна 0,09. Найдите вероятность того, что две произвольно выбранные упаковки чая окажутся герметичными.

5
5

Решите уравнение 3x52x=13

6
6

В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°. Найдите сторону AC (в см), если tg∠C=74, CB=265 см.

Вариант 7

7
7

На рисунке представлен график производной функции y=f '(x) на интервале (−10; 2). Найдите точку минимума функции y=f(x) на данном промежутке.

Вариант 7

8
8

Объём прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 200 см​3. Найдите площадь его боковой поверхности (в см2), если высота параллелепипеда равна 8 см.

9
9

Найдите значение выражения log5125log139

10
10

Координата тела при равноускоренном движении изменяется по закону x=x0+v0t+at22, где x0 — начальная координата тела, a — ускорение тела, t — время движения тела. Найдите время движения тела, если его ускорение равно 2 м/c2, начальная координата равна 7 м, а координата в конце движения равна 67 м при начальной скорости 11 м/с.

11
11

Из одного порта в другой по течению выплыл плот, через два часа ему навстречу выплыла моторная лодка, они встретились через 4 часа после отправления лодки. Найдите скорость лодки (в км/ч), если скорость течения равна 3 км/ч, а расстояние между портами равно 146 км.

12
12

Найдите наименьшее значение функции y=4x+1x+7 на промежутке (0;2)

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение 4cos4x - 5cos2x - 1 = 0.

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [arccos0; arccos(-1)].

Показать ответ

А) Преобразуем уравнение:

4(1+cos2x2)25cos2x1=0

1+2cos2x+cos22x5cos2x1=0

cos22x3cos2x=0

cos2x(cos2x3)=0

т.е. имеем, что cos2x=0 или cos2x3=0

В первом случае 2x=π2+πn; x=π4+πn2, nZ

Во втором случае , так как не соответствует области значений косинуса

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие корни входят в отрезок:

Вариант 7

Ответ:

А) π4+πk2;kZ;

Б) 3π4

14

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а также одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен (63+10)π.

Показать ответ
Вариант 7

А) Sб.к.=Sб.ц. - доказать

Sб.к.=πrAH ; Sб.ц.=2πrAB

Рассмотрим ABH, H - центр основания цилиндра, BA нижнему основанию цилиндра, B=90

sin(H)=ABAH=sin(30)=12AB=12AH

Sб.ц.=2πr12AH=πrAH=Sб.к., что и требовалось доказать

Б) Vк=(63+10)π, r0 - ?

т. О - центр сферы, пусть т. O(ABH)

r0= радиусу вписанное в ABH окружности

r0=HB+ABAH2=R+hhsin(H)2=Rh2

hR=tg(H)h=Rtg(30)=R33

Vк=13πR2h=13πR2R33=πR339, r0=R(133)2R=2r0133

π39(2r0133)3=(63+10)π

839r30=12320+2010039

r30=1

r0=1

Ответ: 1

15

Решите неравенство log3283x3x+11.

Показать ответ

Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю:

log3283x3(x+1)x+10

ОДЗ: 283x3>0

x>log3328

x>1log328

Нули числителя: 12log3(283x3)(x+1)=0

log3(283x3)=2(x+1)

283x3=32(x+1)

932x283x+3=0

D=646

3x=28+2618=3x=1

3x=282618=19x=2

Нули знаменателя:x+1=0x=1

Нанесем нули на числовую прямую, расставим знаки, при этом учитываем ОДЗ:

Вариант 7

Ответ: (1-log328; -2]⋃(-1; 1]

16

В прямоугольном треугольнике АВС известно, что ВС=2⋅АС. На гипотенузе АВ вне треугольника построен квадрат ABEF. Прямая СЕ пересекает АВ в точке О.

А) Докажите, что ОА:ОВ=3:4.

Б) Найдите отношение площадей треугольников АОС и ВОЕ.

Показать ответ
Вариант 7

А) Достроим до квадрата CKMN так, чтобы ABC=△FAN=△EFM=△BEK

Обозначим OCA=α и запишем теорему синусов для OCA и OCB:

OCsin(OBC)=OBsinn(90α)

OAOBcosαsinα=sin(OBC)sin(OAC)

OAOB=sin(OBC)sin(OAC)tgα

Опустим из Е перпендикуляр на CN. EHCN;EH=MN=CA+BC=3AC

HN=EM (по свойству прямоугольника EMNH)

CH=CNHN=3ACAC=2AC

tg(ECH)=tgα=32

Рассмотрим ABC: по теореме Пифагора AB=AC2+BC2=AC2+4AC2=5AC

sin(ABC)=sin(OBC)=AC5AC=15

sin(BAC)=sin(OAC)=2AC5AC=25

OAOB=155232=34, ч.т.д.

Б) SAOCSBOE?

SAOC=12AOACsin(AOC)=1237ABAC25=375AC5AC=37AC2

SBOE=12BOBE=1247ABAB=27(AC5)2=107AC2

SAOCSBOE=37AC2107AC2=310

Ответ: 0,3

17

16 ноября близнецы Саша и Паша взяли в банке кредит по 500 тысяч руб. каждый сроком на четыре месяца. Условия возврата кредита таковы:

• 28-го числа каждого месяца долг увеличивается на 10 % по сравнению с 16-м числом текущего месяца;

• с 1-го по 15-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 16-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с предложенной для каждого из них таблицей:

Саша

Дата 16.11 16.12 16.01 16.02 16.03
Долг, тыс. руб. 500 300 200 100 0

Паша

Дата 16.11 16.12 16.01 16.02 16.03
Долг, тыс. руб. 500 400 300 200 0

Kто из братьев за четыре месяца выплатит банку меньшую сумму? На сколько рублей?

Показать ответ

Решение:

Составим таблицу выплат каждого из близнецов и посчитаем итоговую сумму выплаты по каждому:

Вариант 7

Получим, что Саша выплатит меньше на 30 тыс. ( 640-610=30)

Ответ: Саша выплатит меньше на 30 тыс.

18

Найдите все а, при каждом из которых в область значений функции y=8xa68x2+8 входит ровно два целых числа. Для каждого такого а укажите эти целые числа.

Показать ответ

Решение: так как нам дана дробь, и числитель является линейной функцией , то какое бы a мы не взяла всегда найдется значение х, в котором числитель равен 0, соответственно и исходная функция. ( такой же вывод можно сделать из предела функции)

Исходная функция непрерывна на xR. Требуется по условию, что в область значений входит только два целых числа, значит имеем два варианта: 0 и 1, 0 и -1. Рассмотрим два случая.

1 сл: 0 и 1

Решим уравнение:

8xa68x2+8=1

8x28x+a+14=0

D=6432(a+14)0

a12

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах (1;2) при xR

Решим неравенство 1<8xa68x2+8<2.

Решение: a>21;a<0. Получим, учитывая область значений функции, что a(21;12]

2 сл: 0 и -1

Решим уравнение:

8xa68x2+8=1

8x2+8xa+2=0

D=6432(a+2)0

a0

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах (2;1) при xR

Решим неравенство 2<8xa68x2+8<1.

Решение: a>12;a<9. Получим, учитывая область значений функции, что a[0;9)

Ответ: a∈(-21; -12]⋃[0; 9);

при а∈(-21; -12] y=0 и y=1;

при а∈[0; 9) y=0 и y=-1

19

А) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?

Б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?

В) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?

Показать ответ

А) Предположим, что для произвольной точки плоскости все точки, удаленные от нее ровно на 1 м, другого цвета (если среди них были бы точки того же цвета, то это бы означало, что для этой произвольной точки нашлась точки того же цвета и задача была решена изначально). Следовательно, мы получим окружность радиуса 1 м, центр которой - точка одного цвета, а все точки окружности - точки другого цвета. На окружности всегда найдется хорда, равная радиусу окружности, следовательно мы найдем две точки одного цвета ( на концах хорды), отстоящих друг от друга на длину хорды, т.е. 1м. Ответ : да, можно

Б) Вероятность точки прямой определенного цвета 1/10. Следовательно из 20 точек прямой точки одного цвета попадут минимум 2 раза. Разместим точки разных десяти цветов на одинаковом целочисленном расстоянии друг от друга, тогда 11 точка будет совпадать с цветом любой из предыдущих, так как точки размещены всех 10ти цветов. Значит ответ:да, можно

В) Можно выбрать 4 вершины (вершины одной грани, они не образуют равносторонний треугольник). Если берем пять вершин, то можно составить равносторонний треугольник. На рисунке приведено решение:

Вариант 7

Вариант 7

Ответ: А) да; Б) да; В) 4.

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 832
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?