Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 6

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На офисный стул стоимостью 6800 руб. действует скидка 12 %. Для переговорной комнаты необходимо семь стульев. Во сколько рублей обойдется покупка?

2
2

На графике представлены индексы производительности труда в отрасли рыболовства в 2006-2015 гг. По горизонтали указаны года, по вертикали — значения индексов.

Вариант 6

Определите, на сколько единиц показатель индекса в 2014 году был выше показателя 2008 года.

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён квадрат, вписанный в окружность. Найдите площадь закрашенной фигуры (в см2). Число π считайте равным 3.

Вариант 6

4
4

Для детского лагеря было закуплено 45 комплектов постельного белья, из них 15 — с героями мультфильмов, 21 — с абстрактным рисунком, а остальные — однотонные. Какова вероятность того, что случайно выбранному ребёнку достанется однотонный комплект?

5
5

Решите уравнение 49log7(x5)49=0

6
6

В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса AM. Найдите угол MAC (в градусах), если угол ABD равен 57°.

7
7

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми x = — 3, x = 1 и осью абсцисс, если F(x) = x3 - 4,5x2 + 12x — 5 — одна из первообразных функции f(x).

Вариант 6

8
8

В правильной четырехугольной пирамиде S ABCD отмечена точка M — середина ребра SB. Найдите расстояние между точками M и D (в см), если сторона основания равна 23см, и угол между прямой SB и плоскостью ABC равен 60°.

9
9

Найдите значение выражения sin4x+cos4x+0,5sin22x2cos2x+2sin2x при x=π3

10
10

Период (в с) свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле T=2πmk, где m — масса груза (в кг), k — жесткость пружины в (Н/м), π=3. Груз какой массы (в кг) нужно закрепить на пружине жесткостью 400 H/м, чтобы период колебаний составил 0,9 с?

11
11

Коля и Миша вышли навстречу друг другу из посёлков, расстояние между которыми равно 16 км, и встретились через 2 часа. Если бы Коля собрался к Мише в гости, он преодолел бы расстояние между посёлками за 3 часа 12 минут. Найдите скорость Миши (в км/ч).

12
12

Найдите точку минимума функции f(x)=0,562x+36x1

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение log2cos2x(33sinx)=1.

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [13π2;8π].

Показать ответ

А) ОДЗ:

Вариант 6

Вариант 6

Преобразуем уравнение:

2cos2x=33sinx

22sin2x3+3sinx=0

Пусть sinx=t

2t23t+1=0

t1=1 t2=12

Обратная замена:

sinx=12

x=(1)nπ6+πn, nZ

sinx=1 - посторонний, т.к. противоречит ОДЗ

Б) Нанесем корни на числовую прямую и убедимся, какие корни входят в отрезок

Вариант 6

А) (1)kπ6+πk,kZ

Б) 41π6

14

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС и AD. Точка К - середина ребра ВВ1. Плоскость а проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой B1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, AD=25, АВ=15, ВВ1=8.

Показать ответ
Вариант 6

А) Пусть M - середина AB. Тогда α(ABB1)=MK

Проведем B1D;BD;KFB1D, тогда α(ABC)=MT, где FMT. Точка K-середина BB1, KFB1DF - середина BD и MF - средняя линия ABDMTADBC. Тогда MT(BCC1) и α(BCC1)=KLBC.

α(DCC1)=LT;MKTL=α - сечение.

Имеем KLBCMT;KL=BCMTMKLT - трапеция. А так как MBK=△TCL по двум катетам, то MK=TL и MKLT - равнобедренная трапеция.

Б) Vпризмы=SABCDAA1, BH - высота ABCD; AH=2572=9, тогда BH=12, SABCD=25+7212=192;Vпризмы=1928=1536

Плоскость α разбивает призму на две части, меньшая из которых многогранник MBKTCL. Плоскость MBL разбивает этот многогранник на две пирамиды LMBCT и MBKL, объемы которых обозначим V1 и V2 соответственно.

V1=13SMBCTCL;CL=4;MBCT - трапеция, высота которой h=BH2=6;MT=AD+BC2=16, тогда V1=137+16264=92

V2=13SBKLρ(M;(BKL));SBKL=12BKBC=1274=14

AD(BKL);HADρ(A;(BKL))=ρ(H;(BKL))=BH=12

M - середина AB, тогда ρ(M,(BKL))=ρ(A;(BKL))2=BH2=6 и V2=13146=28

V=Vпризмы(V1+V2)=1536(92+28)=1416

Ответ: 1416

15

Решите неравенство 8x322x+1+2x+3+14x32x+1+82x1.

Показать ответ

Преобразуем неравенство:

23x622x+82x+12x(22x62x+8)+22x62x+822x62x+80

1+22x62x+822x62x+80

Пусть 2x=t. Тогда

t26t+9t26t+80

(t3)2t26t+80

Нули числителя: t=3 - корень кратности 2

Нули знаменателя: D=3632=4

t1=6+22=4 t2=622=2

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Вариант 6

Обратная замена:

Вариант 6

Ответ: (;1){log23}(2;+)

16

Хорда АВ окружности параллельна касательной, проходящей через точку С, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.

А) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.

Б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что ∠APB = 150°.

Показать ответ
Вариант 6

А) Пусть a - касательная, данная по условию. aOC (по свойству касательной к окружности)aCP, CPAB=K

aCP;aABABCP

По свойству хорды, т.к. ABCP;AB - хорда AK=KB

т.к. AK=KB;AKB=PKB=90;CK - общий ⇒△ACK=△CKBAP=PB⇒△APB - равнобедренный, ч.т.д.

Б) PBC=90, т.к. вписанный и опирается на диаметр

Т.к. APK=△BPK, APK=BPK=1502=75

PCB=1807590=15

CKB: CK=KBctg15=KBctg(4530)=KB3+131

PKB: KP=KBctg75KBtg15=KB313+1

CKPK=(3+1)2(31)2=2+323

Ответ: CKPK=2+323

17

Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 300 млн. руб. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 84 млн. руб. в год, а дополнительные расходы, окажутся равными 5 млн. руб. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 5 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Какое минимальное количество видов новой продукции необходимо освоить, чтобы предприятие стало рентабельным? Какой наибольшей годовой прибыли может добиться предприятие за счёт увеличения ассортимента продукции?

Показать ответ

Из условия видно, что решение задачи связано с арифметической прогрессией, где a1=845=79, d=5,Sn300

Найдем Sn и запишем уравнение, когда сумма арифметической прогрессии равна 300 млн рублей,т.е полностью покрывает расходы.

Sn=2a1+d(n1)2n=163n5n22=300

5n2163n+600=0

D=163254600=14569

n14.13, n228.37

т.к. n - целое число и n- наименьшее, то n1=5

Предприятие будет иметь наибольшую годовую прибыль, если an>0, т. е 795(n1)>0

n<16.8 , значит n=16 - наибольшее количество видов новой продукции

Посчитаем сумму арифметической прогрессии для n=16

S16=(15875)8=664

Наибольшая годовая прибыль: 664300=364(млнруб)

Ответ: 5; 364 млн. руб.

18

Уравнение 2x3 + ax2 + Ьх + c = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй - косинусом, а третий - тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

Показать ответ

Зная корни уравнения, можно преобразовать уравнение в произведение:

2x3+ax2+bx+c=2(xsinα)(xcosα)(xtgα)

Причем x1=cosx0, т.к. тогда x3=0 ; x20, т.к тогда x3

После раскрытия скобок получаем: 2x3+2x2(cosαsinαtgα)+2x(sinαcosα+sinα+sinαtgα)+(2sin2α)=2x3+ax2+bx+c

Значит a=2(cosαsinαtgα);b=2(sinαcosα+sinα+sinαtgα);c=2sin2α

sin2α=c2, исходя из того что по условие коэффициенты- целые числа и sin2α0, получим три возможных варианта: c=2;1;0

1) c=2;sin2x=1cosx=0 - противоречит условию задачи.

2) c=1;sin2x=12 - удовлетворяет условию

3) c=0;sin2x=0 - не удовлетворяет условию

Значит c=1, т.е sinα=22;cosα=22;tgα=1 или sinα=22;cosα=22;tgα=1

Первый вариант - посторонний, т.к тогда a=2(22221) - не целое число, что противоречий условию

При втором варианте после подстановки значений: a=2;b=1;c=1

Ответ: 2x3+2x2-x-1=0

19

В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

Вариант 6

A) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?

B) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое-то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

Показать ответ

А) Да, можно. Мы знаем, что гораздо удобнее работать с такими числами,как 1,0,-1. Так мы увидим общую картину. Приведем таблицу к этим значениям:

Вариант 6

Заметим, что "-1" больше всех, соответственно к этому числу привести будет проще всего:

Вариант 6

Б) Представим, что перед нами шахматная доска

Вариант 6

Имеем, что в любом случае один цвет клетки выступает в роли основного, которое "доводится" до определенного значения, а второй цвет, соседняя клетка, в роли второстепенной. Общая сумма чисел на черных и белых клетках остается неизменной (инвариантной). Имеем изначальные данные: черные - 4+6+8+1+3=22, белые - 2+5+7+9=23, что противоречит условию. Следовательно, нельзя

В) Сделаем так, чтобы оказалось восемь нулей и обнаружим нужное нам N (Мы знаем, что гораздо удобнее работать с такими числами,как 1,0,-1. Так мы увидим общую картину)

Вариант 6

Вариант 6

Значит N=1;-1

А) да (все числа равны (-1)); Б) нет; В) -1 или 1

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 817
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?