Решение:

а) Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду [math]\mathrm{EABCD}[/math] и построим сечение, проходящее через вершины [math]\mathrm B[/math] и [math]\mathrm D[/math], перпендикулярное ребру [math]\mathrm{AE}[/math]. Проведем [math]\mathrm{BK}\perp\mathrm{AE}[/math] и докажем, что [math]DK\perp AE[/math] (см. рисунок (а) )

В треугольниках [math]AKB[/math] и [math]AKD[/math] сторона [math]AK[/math] - общая, [math]AB=AD[/math] и [math]\angle BAK=\angle DAK[/math]. Следовательно [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math] по первому признаку равенства треугольников. Поэтому [math]\angle AKB=\angle AKD=90^\circ[/math]. Значит, [math]AE\perp DK[/math] и [math]AE\perp[/math] плоскости [math]BKD[/math]. Таким образом, [math]BKD[/math] - искомое сечение.

б) Пусть [math]EH[/math] - высота пирамиды [math]EABCD[/math].

[math]AC=BD=AB\sqrt2=18\sqrt2[/math], [math]AH=\frac12AC=9\sqrt2[/math] [math]AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{(9\sqrt2)^2+24^2}=\sqrt{738}[/math]

Рассмотрим равнобедренный треугольник [math]ABE[/math] (см. рисунок (б)). Апофему [math]EM[/math] найдем из [math]\bigtriangleup MBE[/math], учитывая, что [math]MB=\frac12AB=9[/math].

[math]EM=\sqrt{BE^2-MB^2}=\sqrt{738-81}=\sqrt{657}[/math]

найдем высоту [math]BK[/math] из формулы площади [math]\bigtriangleup AEB[/math].

[math]S_{AEB}=\frac12EM\times AB=\frac12EA\times BK[/math]

Отсюда [math]BK=\frac{EM\times AB}{EA}=18\frac{\sqrt{657}}{\sqrt{738}}[/math]

Так как [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math], то [math]DK=BK[/math]. По теореме косинусов для [math]\bigtriangleup BKD:[/math] [math]BD^2=DK^2+BK^2-2DK\times BK\times\cos\alpha[/math], где [math]\alpha=\angle BKD[/math] - угол между смежными боковыми гранями.

[math]\begin{array}{l}\left(18\sqrt2\right)^2=\frac{657\times18^2}{738}\times2\times(1-\cos\alpha)\\\cos\alpha=-\frac9{73}\end{array}[/math]

Ответ: [math]-\frac9{73}[/math]