Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 13

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Клиент взял в кредит 25 000 рублей на полгода под 20%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через полгода выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

2
2

На диаграмме 70 показана среднемесячная температура воздуха в городе Новолесенск за каждый месяц 1964 года. По горизонтали указываются месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1964 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3
3

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4
4

У Максима есть денежные монеты достоинством 1 рубль — 12 штук, 2 рубля — 5 штук, 5 рублей — 3 штуки, 10 рублей — 4 штуки. Наугад он достаёт одну монету и подбрасывает её. Какова вероятность того, что выпадет орёл пятирублёвой монеты?

5
5

Найдите корни уравнения [math]tg\frac{\mathrm\pi\left(2\mathrm x+1\right)}4=-1[/math], в ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, высота СН равна 6, ВН = 12√6. Найдите cos А.

7
7

На рисунке изображён график функции у = F(x) — одной из первообразной некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 9). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-3; 6].

8
8

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и объём равен 12√3.

9
9

Найдите значение выражения [math]y=2x+\sqrt{4x^2-24x+36}[/math] при [math]x=3[/math].

10
10

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. ( состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 5 кг и радиуса R = 8 см и двух боковых с массами М = 2 кг и радиусами R + h, где h - добавочная высота цилиндра. При этом момент инерции катушки относительно вращения, выражаемый в кг • см2, задаётся формулой [math]I=\frac{\left(m+2M\right)R^2}2+M\left(2Rh+h^2\right)[/math]. При каком максимальном значении добавочной высоты h момент инерции катушки не превышает предельного значения 402 кг • с. Ответ выразите в сантиметрах.

11
11

Смешали 5 л 27%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 л 40%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация-получившегося раствора?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = (х2 + 5х - 5)е7-х на отрезке [7; 15].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin\left(3\pi-2x\right)+1=\cos\left(\frac\pi2-x\right)-\cos\left(\pi-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π/2 ; 2π).

Показать ответ

Решение:

[math]\sin2x+1=\sin x+\cos x;[/math] [math]2s\mathrm{in}x\cos x+\cos^2x+\sin^2x=\sin x+\cos x;[/math][math](\sin x+\cos x)^2=\sin x+\cos x;[/math][math](\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0;[/math]

[math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0\\\sin x+\cos x=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=0\\\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=\frac{\sqrt2}2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\sin(x+\frac{\mathrm\pi}4)=0\\\sin(x+\frac{\mathrm\pi}4)=\frac{\sqrt2}2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\x=-\frac{\mathrm\pi}4+(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие промежутку [math]\lbrack\frac{\mathrm\pi}2;2\mathrm\pi)[/math]

[math]\begin{array}{l}n=1,\;x=\frac{3\mathrm\pi}4\\n=2,\;x=\frac{7\mathrm\pi}4\\k=1,\;x=\frac{\mathrm\pi}2\end{array}[/math]

Ответ: а) [math]-\frac\pi4+\pi\kappa,\;-\frac{\mathrm\pi}4+(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac\pi2;\;\frac34\pi;\;\frac74\pi[/math]

14

Дана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 18, а высота равна 24.

а) Постройте сечение, проходящее через две противоположные вершины основания и перпендикулярное одному из боковых рёбер.

б) Найдите косинус угла между смежными боковыми гранями.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду [math]\mathrm{EABCD}[/math] и построим сечение, проходящее через вершины [math]\mathrm B[/math] и [math]\mathrm D[/math], перпендикулярное ребру [math]\mathrm{AE}[/math]. Проведем [math]\mathrm{BK}\perp\mathrm{AE}[/math] и докажем, что [math]DK\perp AE[/math] (см. рисунок (а) )

В треугольниках [math]AKB[/math] и [math]AKD[/math] сторона [math]AK[/math] - общая, [math]AB=AD[/math] и [math]\angle BAK=\angle DAK[/math]. Следовательно [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math] по первому признаку равенства треугольников. Поэтому [math]\angle AKB=\angle AKD=90^\circ[/math]. Значит, [math]AE\perp DK[/math] и [math]AE\perp[/math] плоскости [math]BKD[/math]. Таким образом, [math]BKD[/math] - искомое сечение.

б) Пусть [math]EH[/math] - высота пирамиды [math]EABCD[/math].

[math]AC=BD=AB\sqrt2=18\sqrt2[/math], [math]AH=\frac12AC=9\sqrt2[/math] [math]AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{(9\sqrt2)^2+24^2}=\sqrt{738}[/math]

Рассмотрим равнобедренный треугольник [math]ABE[/math] (см. рисунок (б)). Апофему [math]EM[/math] найдем из [math]\bigtriangleup MBE[/math], учитывая, что [math]MB=\frac12AB=9[/math].

[math]EM=\sqrt{BE^2-MB^2}=\sqrt{738-81}=\sqrt{657}[/math]

найдем высоту [math]BK[/math] из формулы площади [math]\bigtriangleup AEB[/math].

[math]S_{AEB}=\frac12EM\times AB=\frac12EA\times BK[/math]

Отсюда [math]BK=\frac{EM\times AB}{EA}=18\frac{\sqrt{657}}{\sqrt{738}}[/math]

Так как [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math], то [math]DK=BK[/math]. По теореме косинусов для [math]\bigtriangleup BKD:[/math] [math]BD^2=DK^2+BK^2-2DK\times BK\times\cos\alpha[/math], где [math]\alpha=\angle BKD[/math] - угол между смежными боковыми гранями.

[math]\begin{array}{l}\left(18\sqrt2\right)^2=\frac{657\times18^2}{738}\times2\times(1-\cos\alpha)\\\cos\alpha=-\frac9{73}\end{array}[/math]

Ответ: [math]-\frac9{73}[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}\left(4\times4^x-5\times2^x+1\right)\times\log_{x+2,5}\vert x+0,5\vert\geq0,\\4^{x+1}+\log_{x+2,5}\vert x+0,5\vert+1\leq5\times2^x.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Для удобства обозначим [math]4\times4^x-5\times2^x+1=a, log_{x+2,5}\left|x+0,5\right|=b [/math], тогда система неравенств примет вид: [math]\left\{\begin{array}{l}a\times b\geq0\\a+b\leq0\end{array}\right.[/math]. Полученная система с переменными [math]a[/math] и [math]b[/math] равносильна системе [math]\left\{\begin{array}{l}a\leq0\\b\leq0\end{array}\right.[/math]. Значит, данная система неравенств равносильна системе [math]\left\{\begin{array}{l}4\times4^x-5\times2^x+1\leq0\\\log_{x+2,5}\left|x+0,5\right|\leq0\end{array}\right.[/math]

Решим первое неравенство. Пусть [math]2^x=t[/math], тогда получим квадратное неравенство [math]4t^2-5t+1\leq0[/math], имеющее решения [math]\frac14\leq t\leq1[/math]. Отсюда из двойного неравенства [math]\frac14\leq2^x\leq1[/math] имеем [math]-2\leq x\leq0[/math]

2) Найдем область определения второго неравенства последней системы:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2,5>0\\x+2,5\neq1\end{array}\\\left|x+0,5\right|>0\end{array}\right.\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>-2,5\\x\neq-1,5\end{array}\\x\neq-0,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2,5<x<-1,5\\\begin{array}{c}-1,5<x<-0,5\;и\;x>-0,5\end{array}\end{array}\right.[/math]

используя рационализацию второго неравенства на области его определения, получаем:

[math]\begin{array}{l}(x+2,5-1)(\left|x+0,5\right|-1)\leq0;\\(x+1,5)(\left(x+0,5\right)^2-1)\leq0;\\(x+1,5)(x+1,5)(x-0,5)\leq0;\\(x+1,5)^2(x-0,5)\leq0;\end{array}[/math]

Для решения последнего неравенства применяем метод интервалов. Получаем, что [math]x\in(-\infty;0,5\rbrack[/math]

Учитывая ОДЗ переменной второго неравенства системы, получаем значения:

[math]x\in(-2,5;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0,5\rbrack[/math]

3) Найдем общую часть полученных решений неравенств системы:

[math]x\in\lbrack-2;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0\rbrack[/math]

Ответ: [math]x\in\lbrack-2;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0\rbrack[/math]

16

Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внутренним образом в точке А, равны 5 и 4 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что [math]\frac{AB}{AO_1}=\frac{BC}{O_1O_2}[/math].

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 1.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые [math]BC[/math] и [math]O_1O_2[/math] не совпадают. Тогда [math]\bigtriangleup O_2AC[/math] и [math]\bigtriangleup O_1AB[/math] - равнобедренные и, следовательно, [math]\angle O_2AC=\angle O_2CA,\;[/math][math]\angle O_1AC=\angle O_1BC\;[/math], но [math]\angle O_2AC[/math] - общий, поэтому [math]\angle O_2AC=\angle O_1AC=\angle O_1BC=\angle O_2CA[/math] и [math]\bigtriangleup O_2AC\;\sim\;\bigtriangleup O_1AB[/math] по двум углам и [math]\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{BC}{AB}=\frac{AB-AC}{AB}=1-\frac{AC}{AB}\\\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1-AO_2}{AO_1}=1-\frac{AO_2}{AO_1}\end{array}[/math]

Значит, [math]\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}[/math] или [math]\frac{BC}{O_1O_2}=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

Рассмотрим случай, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]AB[/math] совпадают:

[math]\frac{AB}{AO_1}=2;[/math][math]BC=AB-AC=10-8=2[/math]; [math]O_1O_2=AO_1-AO_2=1[/math]; [math]\frac{BC}{O_1O_2}=2=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

б) Обозначим [math]x[/math] - искомая длина касательной, тогда [math]\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac15\\x=\frac{\sqrt5}5\end{array}[/math]

Ответ: [math]x=\frac{\sqrt5}5[/math]

17

В течение года цена дивана два раза увеличивалась на один и тот же процент. Первоначальная цена составляла 10000 рублей. После второго повышения она составила 12 100 рублей. На сколько процентов повысилась цена оба раза?

Показать ответ

Решение:

Пусть на [math]x\%[/math] повышалась цена дивана ежегодно, тогда [math]10000\left(1+\frac x{100}\right)^2[/math] рублей цена дивана после второго повышения. По условию новая цена дивана составила 12100 рублей. Составим и решим уравнение

[math]10000\left(1+\frac x{100}\right)^2=12100,\;x>0[/math]

x=10

Цена дивана повысилась на 10%

Ответ: 10

18

При каких значениях параметра а система [math]\left\{\begin{array}{l}y=x^2+2x-5,\\y=3a-2x\end{array}\right.[/math] имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-3;2]?

Показать ответ

Решение:

Схематически изобразим график функции [math]y_1=x^2+2x-5[/math] при [math]x\in\lbrack-3;2\rbrack[/math]. Это фрагмент параболы с вершиной (-1;-6). При этом [math]y_2=3a-2x[/math] - это семейство параллельных прямых. Очевидно, что искомые значения параметра принадлежат [math](a_1;a_2\rbrack\cup\left\{a_3\right\}[/math], если точка касания, соответствующая [math]a_3[/math], принадлежит отрезку [math]\lbrack-3;2\rbrack[/math] и [math]a\in(a_1;a_2\rbrack[/math] в противном случае. Учитывая, что [math]y_1(-3)=-2;\;y_1(2)=3,\;[/math] определим координаты точек [math]A[/math] и [math]B[/math]: [math]A(-3;-2),\;B(2;3)[/math]

[math]a_1:\;-2=3a-2(-3);\;a=-\frac83[/math]

[math]a_2:\;3=3a-2\times2;\;a=\frac73[/math]

Определим [math]a_3[/math]: уравнение [math]x^2+2x-5=3a-2x[/math] должно иметь единственное решение. Это будет в случае, когда дискриминант равен нулю. [math]D=36+12a=0;\;a=-3[/math]. В этом случае решением уравнения будет [math]x=-2\;\in\left[-3;2\right][/math]

Ответ: {-3}⋃(-8/3; 7/3]

19

На доске выписана последовательность a1, a2, ... a1010, при этом а1 = 3.

В каждом из следующих случаев определите а1000

а) Для любого натурального к среднее арифметическое первых к членов последовательности равно 3.

б) Для любого натурального к ≥ 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше среднего арифметического первых (к — 1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых k членов последовательности равны между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2m членов последовательность для любого натурального m.

Показать ответ

Решение: а) Покажем, что все [math]a_k=3.[/math] Действительно: [math]\frac{a_1+a_2}2=3;[/math] [math]a_2=2\times3-a_1=3;[/math] [math]\frac{a_1+a_2+a_3}3=3[/math]; [math]a_3=3\times3-a_1-a_2=3;\;...[/math]

Если [math]a_1=a_2=...=a_n=3[/math] и [math]\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n+1}}{n+1}=3[/math], то [math]a_{n+1}=3(n+1)-a_1-a_2-...-a_n=3(n+1)-3n=3[/math]. Значит, [math]a_{1000}=3[/math].

б) Пусть среднее арифметическое первых n чисел равно [math]x_n[/math]. Тогда сумма первых n чисел равна [math]nx_n[/math], откуда [math]x_{n+1}=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}.[/math] С другой стороны, по условию [math]x_{n+1}=x_n+1[/math], откуда [math]x_n+1=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}[/math] и [math]a_{n+1}=n+x_n+1[/math].

Учитывая, что [math]x_n[/math] образуют арифметическую прогрессию с разностью 1, получим [math]x_n=3+(n-1)=n+2[/math] и [math]a_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1[/math], значит, [math]a_n=2n+1[/math] и [math]a_{1000}=2001; [/math]

в) Для любого нечетного [math]k[/math] среднее арифметическое первых [math]k[/math] чисел равно 3, так как при [math]k=1[/math] среднее арифметическое равно 3. Для четных [math]k[/math] среднее арифметическое равно 4. Тогда для четных [math]k[/math] [math]\frac{3(k-1)+a_k}k=4[/math]. [math]a_k=k+3;\;a_{1000}=1003[/math]

Ответ: а) 3 б) 2001 в) 1003

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 881 051
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?