Решение:

Данное уравнение приведем к виду: [math]\frac1{ctg^2x}-\frac1{\cos x}=1[/math]. Уравнение определено при условии [math]\sin x\neq0[/math] и [math]\cos x\neq0[/math]. Преобразуем уравнение: [math]tg^2x-\frac1{\cos^2x}=1[/math] => [math]\frac1{\cos^2x}-1-\frac1{\cos x}=1[/math]. Пусть [math]\frac1{\cos x}=t[/math], тогда получаем квадратное уравнение [math]t^2-t-2=0[/math] с корнями [math]t_1=-1;\;t_2=2[/math]. Имеем два уравнения [math]\frac1{\cos x}=-1;\;\frac1{\cos x}=2[/math] или [math]\cos x=-1;\;\cos x=\frac12.[/math] Решения первого уравнения не удовлетворяют условию [math]\sin x\neq0[/math]. Второе уравнение имеет решения: [math]x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

б) Найдем корни в промежутке [math]\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right][/math].

[math]\begin{array}{l}n=2,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{11\mathrm\pi}3\\\mathrm n=2,\;\mathrm x=\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{13\mathrm\pi}3\end{array}[/math]

Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{11\mathrm\pi}3,\;\frac{13\mathrm\pi}3[/math]