Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые [math]BC[/math] и [math]O_1O_2[/math] не совпадают. Тогда [math]\bigtriangleup O_2AC[/math] и [math]\bigtriangleup O_1AB[/math] - равнобедренные и, следовательно, [math]\angle O_2AC=\angle O_2CA,\;[/math][math]\angle O_1AC=\angle O_1BC\;[/math], но [math]\angle O_2AC[/math] - общий, поэтому [math]\angle O_2AC=\angle O_1AC=\angle O_1BC=\angle O_2CA[/math] и [math]\bigtriangleup O_2AC\;\sim\;\bigtriangleup O_1AB[/math] по двум углам и [math]\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{BC}{AB}=\frac{AB-AC}{AB}=1-\frac{AC}{AB}\\\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1-AO_2}{AO_1}=1-\frac{AO_2}{AO_1}\end{array}[/math]

Значит, [math]\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}[/math] или [math]\frac{BC}{O_1O_2}=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

Рассмотрим случай, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]AB[/math] совпадают:

[math]\frac{AB}{AO_1}=2;[/math][math]BC=AB-AC=10-8=2[/math]; [math]O_1O_2=AO_1-AO_2=1[/math]; [math]\frac{BC}{O_1O_2}=2=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

б) Обозначим [math]x[/math] - искомая длина касательной, тогда [math]\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac15\\x=\frac{\sqrt5}5\end{array}[/math]

Ответ: [math]x=\frac{\sqrt5}5[/math]