Задание № 7890

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.


Решать другие задания по теме: Экономические задачи

Показать ответ
Комментарий:

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD [math]\perp[/math] AB. Аналогично, получаем, что BC [math]\perp[/math] AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1. Треугольники BKC и AKD подобны, [math]\frac{AD}{BC}=4[/math]. Пусть SBKC = S, тогда SAKD = 16S. SAKB = SDKC = 4S, так как 4KB = AK и 4KC = KD

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

[math]O_2H=\sqrt{O_1O_2^2-O_1H^2}=4[/math]

Тогда

[math]S_{ABCD}=\frac{AD+BC}2\times AB=20[/math]

Следовательно, 25S=20, откуда S=0,8 и SAKB = 4S = 3,2

Ответ: 3,2

 Ответ:

Нашли ошибку в задании? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.