Если диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. то ∠ACB=∠ACD.

∠ABC=∠DAC - как накрест лежащие. Значит ∠ACB=∠ACD=∠DAC, следовательно △DAC - равнобедренный → AD=CD=AB=Х так как трапеция равнобедренная.

DH=(BC-AD)/2=(3-Х)/2

По теореме Пифагора в треугольнике △DCH:

CH²=CD²-DH²

[math]CH=\sqrt{X^2-\left(\frac{3-X}2\right)^2}=\sqrt{X^2-\frac94+\frac{3X}2-\frac{X^2}4}=\sqrt{\frac34X^2+\frac32X-\frac94}=\frac12\sqrt{3X^2+6X-9}[/math]

Площадь трапеции:

[math]S=\frac{BC+AD}2CH=\frac{3+X}2\cdot\frac12\sqrt{3X^2+6X-9}=96[/math]

Получаем уравнение:

[math]\frac{3+X}4\sqrt{3X^2+6X-9}=96[/math]

[math]\sqrt{3X^2+6X-9}=\frac{384}{3+X}[/math]

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе положительные:

[math]\left(\sqrt{3X^2+6X-9}\right)^2=\left(\frac{384}{3+X}\right)^2[/math]

[math]3X^2+6X-9=\frac{147556}{9+6X+X^2}[/math]

[math]\left(3X^2+6X-9\right)\left(X^2+6X+9\right)=147556[/math]

[math]3X^4+24X^3+54X^2-147537=0[/math]

X⁴+8X³+18X²-49179=0

Корни данного уравнения находятся среди множителей числа 49179=13•13•9•97

Разделим многочлен (X⁴+8X³+18X²-49179) на (X-13)

[math]\frac{X^4+8X^3+18X^2-49179}{X-13}=X^3+21X^2+291X+3783[/math]

Значит X=13 один из корней уравнения X⁴+8X³+18X²-49179=0

Решения уравнения X³+21X²+291X+3783=0 являются отрицательными или комплексными числами, которые условию задачи не удовлетворяют.

AD=CD=AB=Х=13

P=AD+CD+AB+BC=13+13+13+3=42