Вариант 7

[math]\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}[/math]

ОДЗ: x≠1

[math]\left(x^{17}-1\right)\left(x^{13}-1\right)=\left(1-x^{15}\right)^2[/math]

[math]x^{30}-x^{17}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}[/math]

[math]x^{17}-2x^{15}+x^{13}=0[/math]

[math]x^{13}\left(x^4-2x^2+1\right)=0[/math]

[math]x^{13}\left(x^2-1\right)^2=0[/math]

x₁=0 ; x₂=-1

Ответ: -1 ; 0

Пусть Х часов роет котлован первый экскаватор работая в одиночку, тогда второй в одиночку выроет котлован за Х-4 часов. Производительность первого экскаватора 1/Х, а второго 1/(Х-4). После того, как первый проработал два часа, он выполнил 2•1/Х работы, а второй после трех часов работы - 3•1/(Х-4), в результате работа была закончена. Составим и решим уравнение:

[math]2\cdot\frac1х+3\cdot\frac1{х-4}=1[/math]

[math]\frac{2х-8+3х}{х(х-4)}=1[/math]

[math]5х-8=х(х-4)[/math]

[math]х^2-9х+8=0[/math]

[math]D=\left(-9\right)^2-4\cdot1\cdot8=49[/math]

[math]х_1=\frac{9-\sqrt{49}}2=1[/math] - не удовлетворяет условию задачи

[math]х_2=\frac{9+\sqrt{49}}2=8[/math] - часов потребуется первому экскаватору для рытья котлована в одиночку

8-4=4 часов потребуется второму экскаватору для рытья котлована в одиночку

Производительность первого - 1/8, а второго - 1/4. Работая вместе производительность составит - 1/8 + 1/4 = 3/8. Работа будет сделана за [math]\frac1{\frac38}=\frac83[/math] часа, т.е. за 2 часа 40 минут.

Ответ: 2 ч 40 м

y=|x²-2|x||-3

1) Сначала построим график функции y=x²-2x - парабола

Преобразуем уравнение параболы:

y=x²-2x=x²-2x+1-1=(x-1)²-1

y=(x-1)²-1 - парабола без растяжение и сжатий, ветви верх, вершина в точке (1;-1)

2) Построим график функции y=x²-2|x|=|x|²-2|x| вида y=f(|x|)

Для этого график y=x²-2x при x<0 удаляется, а при x≥0 отображается симметрично относительно оси ОУ в левую полуплоскость.

3) Строим график функции y=|x²-2|x|| вида y=|f(|x|)|

Для этого график y=x²-2|x| при y<0 симметрично отображается относительно оси ОХ в верхнюю полуплоскость.

4) y=|x²-2|x||-3 опускаем график y=|x²-2|x|| на 3 единицы вниз

Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересекать график y=|x²-2|x||-3 в двух, четырех, шести, трех и не в одной точке.

Ответ: 6

Если диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. то ∠ACB=∠ACD.

∠ABC=∠DAC - как накрест лежащие. Значит ∠ACB=∠ACD=∠DAC, следовательно △DAC - равнобедренный → AD=CD=AB=Х так как трапеция равнобедренная.

DH=(BC-AD)/2=(3-Х)/2

По теореме Пифагора в треугольнике △DCH:

CH²=CD²-DH²

[math]CH=\sqrt{X^2-\left(\frac{3-X}2\right)^2}=\sqrt{X^2-\frac94+\frac{3X}2-\frac{X^2}4}=\sqrt{\frac34X^2+\frac32X-\frac94}=\frac12\sqrt{3X^2+6X-9}[/math]

Площадь трапеции:

[math]S=\frac{BC+AD}2CH=\frac{3+X}2\cdot\frac12\sqrt{3X^2+6X-9}=96[/math]

Получаем уравнение:

[math]\frac{3+X}4\sqrt{3X^2+6X-9}=96[/math]

[math]\sqrt{3X^2+6X-9}=\frac{384}{3+X}[/math]

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе положительные:

[math]\left(\sqrt{3X^2+6X-9}\right)^2=\left(\frac{384}{3+X}\right)^2[/math]

[math]3X^2+6X-9=\frac{147556}{9+6X+X^2}[/math]

[math]\left(3X^2+6X-9\right)\left(X^2+6X+9\right)=147556[/math]

[math]3X^4+24X^3+54X^2-147537=0[/math]

X⁴+8X³+18X²-49179=0

Корни данного уравнения находятся среди множителей числа 49179=13•13•9•97

Разделим многочлен (X⁴+8X³+18X²-49179) на (X-13)

[math]\frac{X^4+8X^3+18X^2-49179}{X-13}=X^3+21X^2+291X+3783[/math]

Значит X=13 один из корней уравнения X⁴+8X³+18X²-49179=0

Решения уравнения X³+21X²+291X+3783=0 являются отрицательными или комплексными числами, которые условию задачи не удовлетворяют.

AD=CD=AB=Х=13

P=AD+CD+AB+BC=13+13+13+3=42

Ответ: 42

Обозначим медианы ma=AA₁, mb=BB₁, mc=CC₁. Достроим △ABC до параллелограмма ABCE. В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит BE продолжение медианы BB₁.

Рассмотрим △ABE: BE=2⋅BB₁=2⋅mb

Используем неравенство треугольника: BE<AB+AE или BE<AB+BC (AE=BC - в параллелограмме)

2⋅mb<AB+BC

mb<(AB+BC)/2

Аналогично получаются неравенства: ma<(AB+AC)/2 и mc<(BC+AC)/2

Складываем три неравенства:

ma+mb+mc<(AB+AC)/2 + (AB+BC)/2 + (BC+AC)/2

ma+mb+mc<(2AB++2BC+2AC)/2

ma+mb+mc<P

Величина одного из углов треугольника равна разности величин двух других его углов:

∠1=∠2-∠3

Сумма углов в треугольнике равна 180° : ∠1+∠2+∠3=180°

∠2-∠3+∠2+∠3=180°

2•∠2=180°→∠2=90°→ треугольник прямоугольный.

Площади квадратов АА₁В₁В и АА₂С₂С равны c² и b² соответственно.

Площадь описанного круга πR²=π(с/2)²

Сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного круга:

[math]\frac{b^2+c^2}2=\pi\left(\frac c2\right)^2[/math]

По теореме Пифагора: b²=c²-a²=c²-1

[math]\frac{2c^2-1}2=\pi\frac{c^2}4[/math]

[math]2c^2-\frac\pi2c^2=1[/math]

[math]\left(\frac{4-\pi}2\right)c^2=1[/math]

[math]c=\sqrt{\frac2{4-\pi}}[/math]

Ответ: √(2/(4-π)