Задание № 26414
В четырехугольнике две стороны параллельны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что если в данный четырехугольник можно вписать окружность, то две другие стороны четырёхугольника равны между собой.
[topic]
Решать другие задания по теме: {topic-name}
[topic]
Показать ответ
Комментарий:
Так как стороны AB и DC параллельны, то углы ∠DBA=∠BDC и ∠BAC=∠DCA. Треугольники △MAB и △MDC прямоугольные, так как диагонали перпендикулярны, △MAB и △MDC - подобны по двум равным углам.
Значит [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}=k[/math]
Для подобия прямоугольных треугольников △DMA и △CMA необходимо выполнения условия [math]\frac{MD}{MC}=\frac{MA}{MB}[/math] - что противоречит соотношениям [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=k[/math].
Поэтому рассмотрим прямоугольные треугольники △DMA , △AMB , △BMC , △CMD
△DMA:
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}[/math] - высота прямоугольного треугольника
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]
△AMB:
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MB=\frac{AB\cdot MD}{CD}[/math] и [math]MA=\frac{AB\cdot MC}{CD}[/math]
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]
△BMC:
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]
△CMD:
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MD=\frac{MB\cdot CD}{AB}[/math] и [math]MC=\frac{MA\cdot CD}{AB}[/math]
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]
——————————————————————
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]
Почленным деление правых и левых частей выражений получаем следующие соотношения:
[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math]
[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math]
[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math]
[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math]
Так как окружность вписана в четырехугольник, то AB+CD=AD+BC :
[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math] → [math]CD=BC\frac{MS}{MH}[/math]
[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math] → [math]AB=AD\frac{MQ}{MK}[/math]
[math]AD\frac{MQ}{MK}+BC\frac{MS}{MH}=AD+BC[/math] → [math]\frac{MQ}{MK}=1[/math] и [math]\frac{MS}{MH}=1[/math]
[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math] → [math]AD=CD\frac{MH}{MQ}[/math]
[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math] → [math]BC=AB\frac{MK}{MS}[/math]
[math]AB+CD=CD\frac{MH}{MQ}+AB\frac{MK}{MS}[/math] → [math]\frac{MH}{MQ}=1[/math] и [math]\frac{MK}{MS}=1[/math]
MQ=MK ; MS=MH ; MH=MQ ; MK=MS → MQ=MK=MS=MH=R - радиус окружности
[math]\frac{MH}{MK}=k=1[/math] → △DMA , △AMB , △BMC , △CMD равны между собой, а значит ABCD ромб и AD=BC.
Ответ:
Так как стороны AB и DC параллельны, то углы ∠DBA=∠BDC и ∠BAC=∠DCA. Треугольники △MAB и △MDC прямоугольные, так как диагонали перпендикулярны, △MAB и △MDC - подобны по двум равным углам.
Значит [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}=k[/math]
Для подобия прямоугольных треугольников △DMA и △CMA необходимо выполнения условия [math]\frac{MD}{MC}=\frac{MA}{MB}[/math] - что противоречит соотношениям [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=k[/math].
Поэтому рассмотрим прямоугольные треугольники △DMA , △AMB , △BMC , △CMD
△DMA:
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}[/math] - высота прямоугольного треугольника
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]
△AMB:
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MB=\frac{AB\cdot MD}{CD}[/math] и [math]MA=\frac{AB\cdot MC}{CD}[/math]
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]
△BMC:
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]
△CMD:
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}[/math]
[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MD=\frac{MB\cdot CD}{AB}[/math] и [math]MC=\frac{MA\cdot CD}{AB}[/math]
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]
——————————————————————
[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]
[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]
[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]
[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]
Почленным деление правых и левых частей выражений получаем следующие соотношения:
[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math]
[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math]
[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math]
[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math]
Так как окружность вписана в четырехугольник, то AB+CD=AD+BC :
[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math] → [math]CD=BC\frac{MS}{MH}[/math]
[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math] → [math]AB=AD\frac{MQ}{MK}[/math]
[math]AD\frac{MQ}{MK}+BC\frac{MS}{MH}=AD+BC[/math] → [math]\frac{MQ}{MK}=1[/math] и [math]\frac{MS}{MH}=1[/math]
[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math] → [math]AD=CD\frac{MH}{MQ}[/math]
[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math] → [math]BC=AB\frac{MK}{MS}[/math]
[math]AB+CD=CD\frac{MH}{MQ}+AB\frac{MK}{MS}[/math] → [math]\frac{MH}{MQ}=1[/math] и [math]\frac{MK}{MS}=1[/math]
MQ=MK ; MS=MH ; MH=MQ ; MK=MS → MQ=MK=MS=MH=R - радиус окружности
[math]\frac{MH}{MK}=k=1[/math] → △DMA , △AMB , △BMC , △CMD равны между собой, а значит ABCD ромб и AD=BC.
Ответ: Нашли ошибку в задании? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.