Вариант 3

(x+2)²≥4(x+2)

(x+2)²-4(x+2)≥0

x²+4x+4-4x-8≥0

x²-4≥0

x²≥4

x≤-2 или x≥2

Ответ: (-∞;-2], [2;∞)

Пусть Х дней надо одному мастеру для выполнения работы, а другому Х+15 дней. Работоспособность первого 1/Х, а второго - 1/(Х+15). После того, как первый проработал 10 дней было сделано 10/Х работы и, затем, еще 30/(Х+15) работы вторым за 30 дней. В результате работа была выполнена.

[math]\frac{10}x+\frac{30}{x+15}=1[/math]

[math]\frac{10x+150+30x}{x(x+15)}=1[/math]

[math]40x+150=x^2+15x[/math]

[math]x^2-25x-150=0[/math]

x₁=30 - дней надо одному мастеру для выполнения задания

x₂=-5 - лишний корень

30+15=45 дней необходимо другому мастеру

Работоспособность обоих мастеров 1/30 + 1/45 = 1/18. Значит необходимо 18 часов для совместного выполнения задания.

Ответ: 18

Раскроем знак модуля:

при x<0

у=(x²+x)•(-x)/(x+1) - упростим выражение при x≠-1, так как при x=-1 - разрыв функции типа дырка.

у=-x² - парабола, ветви вниз, без растяжений и сжатий.

при x≥0

у=(x²+x)•x/(x+1)

у=x² - парабола, ветви вверх, без растяжений и сжатий.

Объединяем полученные графики и получаем график функции [math]\frac{\left(x^2+x\right)\cdot\vert x\vert}{x+1}[/math]

Прямая y = а не имеет с графиком ни одной общей точки, только в точке разрыва a=-1.

Ответ: -1

OB=OC=17 - радиусы, значит они перпендикулярны соответствующим касательным BA и CA. Прямоугольные треугольники ABO и ACO равны между собой по катету и общей гипотенузе, поэтому AB=AC, треугольник ABC - равнобедренный и AD - биссектриса ∠BAC. Таким образом, AD - еще и высота, и медиана равнобедренного треугольника, и искомое расстояние от точки А до хорды.

В прямоугольном △OBD : OB=17, BD=30/2=15. По теореме Пифагора OD=√(OB²-BD²)=8

По теореме о пропорциональных отрезках: BD²=OD•AD

AD=BD²/OD=15²/8=28,125

Ответ: 28,125

Так как стороны AB и DC параллельны, то углы ∠DBA=∠BDC и ∠BAC=∠DCA. Треугольники △MAB и △MDC прямоугольные, так как диагонали перпендикулярны, △MAB и △MDC - подобны по двум равным углам.

Значит [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}=k[/math]

Для подобия прямоугольных треугольников △DMA и △CMA необходимо выполнения условия [math]\frac{MD}{MC}=\frac{MA}{MB}[/math] - что противоречит соотношениям [math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=k[/math].

Поэтому рассмотрим прямоугольные треугольники △DMA , △AMB , △BMC , △CMD

△DMA:

[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}[/math] - высота прямоугольного треугольника

[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]

[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]

△AMB:

[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}[/math]

[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MB=\frac{AB\cdot MD}{CD}[/math] и [math]MA=\frac{AB\cdot MC}{CD}[/math]

[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]

△BMC:

[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}[/math]

[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}[/math] → [math]MA\cdot MD=MC\cdot MB[/math]

[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]

△CMD:

[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}[/math]

[math]\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}[/math] → [math]MD=\frac{MB\cdot CD}{AB}[/math] и [math]MC=\frac{MA\cdot CD}{AB}[/math]

[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]

——————————————————————

[math]MQ=\frac{MA\cdot MD}{AD}=\frac{MC\cdot MB}{AD}[/math]

[math]MH=\frac{MB\cdot MA}{BC}=\frac{MD\cdot MA}{CD}=\frac{MB\cdot MC}{CD}[/math]

[math]MS=\frac{MC\cdot MB}{BC}=\frac{MA\cdot MD}{BC}[/math]

[math]MK=\frac{MC\cdot MD}{CD}=\frac{MA\cdot MD}{AB}=\frac{MC\cdot MB}{AB}[/math]

Почленным деление правых и левых частей выражений получаем следующие соотношения:

[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math]

[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math]

[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math]

[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math]

Так как окружность вписана в четырехугольник, то AB+CD=AD+BC :

[math]\frac{MH}{MS}=\frac{BC}{CD}[/math] → [math]CD=BC\frac{MS}{MH}[/math]

[math]\frac{MK}{MQ}=\frac{AD}{AB}[/math] → [math]AB=AD\frac{MQ}{MK}[/math]

[math]AD\frac{MQ}{MK}+BC\frac{MS}{MH}=AD+BC[/math] → [math]\frac{MQ}{MK}=1[/math] и [math]\frac{MS}{MH}=1[/math]

[math]\frac{MH}{MQ}=\frac{AD}{CD}[/math] → [math]AD=CD\frac{MH}{MQ}[/math]

[math]\frac{MK}{MS}=\frac{BC}{AB}[/math] → [math]BC=AB\frac{MK}{MS}[/math]

[math]AB+CD=CD\frac{MH}{MQ}+AB\frac{MK}{MS}[/math] → [math]\frac{MH}{MQ}=1[/math] и [math]\frac{MK}{MS}=1[/math]

MQ=MK ; MS=MH ; MH=MQ ; MK=MS → MQ=MK=MS=MH=R - радиус окружности

[math]\frac{MH}{MK}=k=1[/math] → △DMA , △AMB , △BMC , △CMD равны между собой, а значит ABCD ромб и AD=BC.

PA и OC - радиусы окружностей равные 2 и 3 соответственно и перпендикулярные касательной AC.

Вписанный угол MBA равен 30° и опирается на дугу ⌒МА, величина которой в два раза больше - 60°. Центральный угол ∠МРА опирается на ту же дугу, и так же равен 60°. Значит △МРА равносторонний, так как ∠МРА=60° и РА,РМ - радиусы, т.е. все углы в △МРА по 60°.

∠МАС=180°-90°-∠РАМ=180°-90°-60°=30°

Аналогично, дуга ⌒СN равна 60° и угол ∠МРА=60°, треугольник △NOC - равносторонний.

∠NCA=180°-90°-∠OCN=180°-90°-60°=30°

△ABC и △ACN: ∠ВАС - общий, ∠ABC=∠NCA=30­­° → △ABC~△ACN - подобны → ∠ACB=∠ANC

△ABC и △ACM: ∠ВСА - общий, ∠ABC=∠МАС=30­­° → △ABC~△ACM - подобны → ∠ACB=∠AMC

∠ACB=∠ANC=∠AMC и ∠NCA=∠МАС=30­­° → △ACN~△CAM - подобны → [math]\frac{AC}{AM}=\frac{CN}{AC}[/math]

AC=√AM⋅CN=√РА⋅ОС=√2⋅3=√6

Ответ: √6