Пусть x, y, z-три натуральных числа

А) По условию имеется, что [math]x^2-y^2=z^3[/math]

Преобразуем: [math](x-y)(x+y)=z^3[/math]. Можно сделать вывод, что слева мы имеем два множителя, произведение которых дает куб другого числа. Это значит что существует вариант для рассмотрения:[math]z[/math]- первый множитель [math]z^2[/math] - второй множитель

В ходе подбора мы можем предположить, что [math]z=4[/math], тогда первый множитель равен 4, а второй 16, то есть несложно догадаться, что [math]x=10[/math], [math]y=6[/math]. Таких вариантов может быть много

Б) По условию дано, что [math]x^3-y^3=z^2[/math]

Преобразуем: [math](x-y)(x^2+xy+y^2)=z^2[/math]

Это значит есть несколько вариантов: первый множитель равен 1, второй - [math]z^2[/math] , первый множитель равен второму и они равны [math]z[/math], третий: [math]z[/math]- это квадрат некоторого числа,значит первый множитель- это некоторое число, а второй множитель- куд этого некоторого числа

В ходе несложной проверки первых двух случаев путем решения систем уравнений выясняется что единственно возможный вариант-третий. Методом подбора приходим к решению [math]7\cdot7^3=49^2[/math], т .е 14³-7³=49²

В) [math]x^3-y^3=z[/math]

[math](x-y)(x^2+xy+y^2)=z[/math]

Чтобы получить простое число, необходимо, чтобы [math]x-y=1\Rightarrow x=y+1[/math]. Т.к. x , y - простые, то единственный вариант: [math]x=3[/math] [math]y=2[/math]

[math]3^3-2^3=19[/math]

Ответ: А) да, например, 10²-6²=4³; Б) да, например, 14³-7³=49²; В) 19 (19=3³-2³)