Вариант 8
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Незнайка летит из Москвы в Нью-Йорк с пересадкой в Париже. Время перелета по маршруту Москва — Париж составляет 4 часа, а по маршруту Париж — Нью-Йорк —7,5 часов. Определите, сколько времени длилась пересадка, если весь путь из Москвы в Нью-Йорк занял 13 часов. Ответ дайте в часах.
На диаграмме представлена глубина заложения некоторых станций Московского метрополитена. По горизонтали указаны названия станций, по вертикали — глубина заложения (в м).
Определите, сколько из представленных ниже восьми станций находятся на глубине более 8 метров?
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см × 1 см изображен параллелограмм. Найдите площадь четырехугольника (в см2), вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

В большом ящике находится 900 карточек с записанными на них натуральными числами от 1 до 900. Наугад из ящика достают одну карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет написано двузначное число.
KM — средняя линия равнобедренной трапеции ABCD. Нижнее основание DC равно 20 см, верхнее основание в 2 раза меньше нижнего основания. Найдите площадь четырехугольника ABMK (в см2), если площадь трапеции ABCD равна 120 см2.
На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x) на отрезке от [−7; 6]. Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции y=f(x), принадлежащих отрезку [−4; 4].
Площадь поверхности сферы равна 48π см2 . Найдите сторону куба (в см), вписанного в данную сферу.
Потенциальная энергия Ep (в Дж) сжатой пружины может быть вычислена по формуле Ep=k(x0−x1)22, где k — коэффициент жесткости пружины (в H/m), x0 и x1 — длина пружины до и после сжатия соответственно (в м). Известно, что при сжатии пружины жесткостью 5 Н/м до 1 м ее потенциальная энергия составила 10 Дж. Определите длину пружины (в м) до сжатия.
Велогонщику предстоит преодолеть несколько участков пути по 30 км каждый. Известно, что на каждом следующем участке пути скорость гонщика уменьшается на одно и то же значение по сравнению с предыдущими 30 км. Определите, сколько времени (в часах) займет у велосипедиста преодоление шестого участка, если известно, что первый участок он проехал за 1 час 12 минут, а скорость на 4 участке составляла 22 км/ч.
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
Дано уравнение (25sinx)cos2x=5sin(π−x).
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π4;−π4].
А) Преобразуем уравнение:
(25sinx)cos2x=5sin(π−x)
(25sinx)1−2sin2x=5sinx
52(sinx−2sin3x)=5sinx
снования равны, значит и показатели равны
2(sinx−2sin3x)=sinx
sinx(1−4sin2x)=0
sinx=0
x=πn, n∈Z
1−4sin2x=0
1−4(1−cos2x)=0
cos2x=34
cosx=±√32
x=±π6+πn
Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим попадание в отрезок:
Ответ: А) ±π6+πn,πk;n,k∈Z
Б) −π;−5π6;−7π6
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.
А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.

А) K∈(AEM)⇒AK∈(AEM), EL∥AK⇒EL∈(AEM) (т.к. (AA1B1)∥(EE1D1))
Получим AKMLE - сечение призмы
Продолжим KM иAE до пересечения в т.Z
Z∈BC, т.к. BC - проекция KM на (ABC)
△ZKB∼△ZMC (по двум углам):
∠Z - общий, ∠KBZ=∠MCZ=90∘
⇒KBMC=ZBZC, ZC=ZB+a, где a=BC - длины стороны основания KA⊥ZE (по теореме о трех перпендикулярах) ⇒ZA⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах)
Рассмотрим △ABZ, ∠BAZ=90∘, AB=a, ∠ZBA=180∘−∠ABC=60∘ (как смежный с ∠ABC)
⇒ZB=ABcos(∠ZBA)=acos60∘=2a
⇒KBMC=2a2a+a=23;BK=23MC=23⋅14CC1=16CC1=16BB1
BK=16(BK+B1K);56BK=16B1K⇒BKB1K=15
Б) SAKMLE−?
SAKMLE=SAKLE+SKML, AKLE - прямоугольник
SAKLE=AK⋅AE
Из △AFE по теореме косинусов: AE=√9+9+2⋅9⋅0.5=3√3
Из △ABK по теореме Пифагора: AK=√9+(16⋅8)2=13⋅√97
SAKLE=3√3⋅13√97=√291 SKML=12MH⋅KL=3√32MH, где MH⊥KL
Из K опустим перпендикуляр KT на CC1⇒KT=BC=3;KB=TC=16⋅8=43
Из △KTM по теореме Пифагора: KM=√KT2+TM2;TM=14CC1−TC=14⋅8−43=23
KM=√9+49=13√85
Аналогично ML=13√85⇒△KML - равнобедренный и KH=HL=3√32
Из △KMH по теореме Пифагора: MH=√KM2−KH2=√859−274=√340−2436=√976
⇒SKML=3√32⋅⋅√976=14√291
Итого, SAKMLE=√291+14√291=54√291
Ответ: 5√2914
Решите неравенство 93+log3x⋅log39x≤log23x−log3x227.
ОДЗ: x>0
93+log3x(2−log3x)≤(log3x)2−2log3x+3
93−(log3x)2+2log3x≤(log3x)2−2log3x+3
−9−((log3x)2−2log3x+3)((log3x)2+2log3x−3)(log3x)2+2log3x−3≤0
−9−(((log3x)2+2log3x)2−9)(log3x)2+2log3x−3≤0
−(log3x)4+4(log3x)3−4(log3x)2(log3x)2+2log3x−3≤0
(log3x)2((log3x)2−4log3x+4)(log3x)2+2log3x−3≥0
(log3x)2(log3x−2)2(log3x)2+2log3x−3≥0
Нули числителя: log3x=0
x=1 - корень кратности 2
(log3x−2)=0
log3x=2
x=9 - корень кратности 2
Нули знаменателя: log3x=−1 x=13
log3x=3 x=27
Нанесем нули на числовую прямую и, учитывая ОДЗ, определим знаки и промежутки:
Ответ: (0;13)∪{1;9}∪(27;+∞)
На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки Е и Р, причем АЕ:ЕР:РС=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.
А) Докажите, что КМ || АС.
Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.

А) △AKE∼△DCE (по двум углам): ∠KEA=∠DEC - вертикальные, ∠KАЕ=∠DСЕ - накрест лежащие при AB∥CD
⇒AKCD=AEEC=13, AKAB=13
BA−BKAB=13⇒BKAB=23
△CMP∼△ADP ( по двум углам): ∠MPC=∠DPA - вертикальные, ∠MCP=∠DAP - накрест лежащие при BC∥AD
⇒MCAD=CPAP=13, MCBC=13 ⇒BMBC=23
BKAB=23, BMBC=23, ∠B - общий⇒△KBM∼△ABC (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)⇒∠BMK=∠BCA, ∠BKM=∠BAC⇒KM∥AC, ч.т.д.
Б) SABCD=2(SAKEPM+SAEK+SCPM)
Из точки D опустим перпендикуляр DH на AC
S△ACD=12SABCD=12AC⋅DH, S△ECD=12EC⋅DH=34S△ACD=38SABCD, S△APD=12AP⋅DH=34S△ACD=38SABCD
⇒ (смотрите п.А) S△AKE=19S△ECD=372SABCD, S△CMP=19S△APD=372SABCD
Тогда SABCD=2SBKEPM+672SABCD+672SABCD⇒SABCD=72
Ответ: 72
1 марта 2016 года Валерий положил в банк 100 тыс. руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Через два года он планирует снять со своего счета n тыс. руб. (n - целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету оказалось не менее 130 тыс. руб. Какую наибольшую сумму n может снять со своего счёта Валерий 1 марта 2018 года?
Решение:
Посчитаем итоговую сумму за 2016 год: 100*1,1=110 (тыс руб)
За два года (2016-2017): 110*1,1=121 (тыс руб)
Пусть Валерий снимет n тыс рублей 1 марта 2018 года. Тогда сумма вклада составит за третий год хранения: (121-n)*1,1
За четвертый год хранения: 1,1*((121-n)*1.1)
По условию:1.21∗(121−n)≤130
Решим неравенство: n≤13.5619⇒n=13
Ответ: 13
Найдите все а, при каждом из которых уравнение
4sin2x - 4a sin x + a3 - a2 = 0
имеет ровно один корень на промежутке [−π2;2π].
т.к. sinx - функция периодическая с периодом 2π, то на промежутке [−π2;2π] уравнение будет иметь один или два корня.
Имеем три случая: 1) в ходе преобразования получим полный квадрат, имеем два одинаковых корня; 2 и 3) в ходе нахождения корней квадратного уравнения относительно sinx получим |sinx|>1, а второй 1
1 сл: 4(sin2x−asinx+a3−a24)=0
Тогда a=2b;a3−a24=b2⇒b=1⇒a=2
Для двух остальных случаев найдем решение квадратного уравнения:
D=16a2−16(a3−a2)=32a2−16a3
x1,2=4a±√32a2−16a38=a(1±√2−a)2
2 сл: |a(1+√2−a)2|>1;a(1−√2−a)2=1
Решим уравнение и получим a=±2, при том a=2 не удовлетворяет условию |a(1+√2−a)2|>1
3 сл: |a(1−√2−a)2|>1;a(1+√2−a)2=1
Решим уравнение и получим a=1;a=2, при том оба корня не удовлетворяет условию |a(1+√2−a)2|>1
Ответ: -2; 2
А) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?
Б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
В) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.
Пусть x, y, z-три натуральных числа
А) По условию имеется, что x2−y2=z3
Преобразуем: (x−y)(x+y)=z3. Можно сделать вывод, что слева мы имеем два множителя, произведение которых дает куб другого числа. Это значит что существует вариант для рассмотрения:z- первый множитель z2 - второй множитель
В ходе подбора мы можем предположить, что z=4, тогда первый множитель равен 4, а второй 16, то есть несложно догадаться, что x=10, y=6. Таких вариантов может быть много
Б) По условию дано, что x3−y3=z2
Преобразуем: (x−y)(x2+xy+y2)=z2
Это значит есть несколько вариантов: первый множитель равен 1, второй - z2 , первый множитель равен второму и они равны z, третий: z- это квадрат некоторого числа,значит первый множитель- это некоторое число, а второй множитель- куд этого некоторого числа
В ходе несложной проверки первых двух случаев путем решения систем уравнений выясняется что единственно возможный вариант-третий. Методом подбора приходим к решению 7⋅73=492, т .е 143-73=492
В) x3−y3=z
(x−y)(x2+xy+y2)=z
Чтобы получить простое число, необходимо, чтобы x−y=1⇒x=y+1. Т.к. x , y - простые, то единственный вариант: x=3 y=2
33−23=19
Ответ: А) да, например, 102-62=43; Б) да, например, 143-73=492; В) 19 (19=33-23)
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |