Область определения функции: $x>0$

Найдем производную функции

$y'=\left(\frac{x^2+3}{\sqrt x}\right)^,=\frac{2x\cdot\sqrt x-\frac1{2\sqrt x}\cdot(x^2+3)}x=\frac{3(x^2-1)}{x\sqrt x}$

x=1 - единственный экстремум, удовлетворяющий области определения, при переходе через который производная меняет свой знак с отрицательного на положительный.