Вариант 4
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Оля приобрела куртку за 1600 руб. Цена была указана со скидкой 60 %. Вычислите начальную стоимость товара (в руб.).
На диаграмме представлены данные мировых затрат на строительство в 2004 г. По горизонтали указаны страны, по вертикали — затраты (в млрд долл.).
Определите, какая страна занимает второе место на рынке строительных работ. В ответе укажите затраты данной страны (в млрд долл.).
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Найдите высоту (в см), проведенную к основанию.
Магазин проводит лотерею среди покупателей. На 100 билетов приходится 16 единиц бытовой техники, 25 предметов посуды, все остальные призы — сувениры с символикой. Какова вероятность того, что случайно зашедшему в этот день посетителю достанется сувенир?
На рисунке изображен график производной функции f(x). Определите количество целых точек, в которых касательная к графику f(x) будет иметь тангенс угла наклона, равный 1.
Алюминиевый шар радиусом 3 см переплавили в цилиндр, сохранив величину площади поверхности. Найдите высоту полученной фигуры (в см), если радиус основания цилиндра равен 3 см.
Для выполнения трюка мотоциклист движется по внутренней поверхности цилиндра по окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Необходимая минимальная скорость для движения по данной траектории вычисляется по формуле: vmin=√g(r−l)μ. Определите, при каком коэффициенте трения покрышек μ о поверхность цилиндра скорость мотоцикла будет равна vmin=7,8 м/с. Радиус цилиндра r = 11 м, расстояние от центра тяжести мотоцикла с человеком до поверхности цилиндра l = 0,86 м, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c2.
Для освещения магазина необходимо установить 286 светильников. Рабочие в первый день установили 10 шт. За сколько дней работа будет выполнена, если каждый следующий день они устанавливали на 2 светильника больше?
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
Дано уравнение sinx+sin3xcosx=1.
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [14;134].
А) Преобразуем левую часть уравнения и получим следующее:
2sin(2x)cosxcosx=1
ОДЗ: cosx≠0 , x≠π2+πn,n∈Z
2sin2x=1
sin2x=12
x1=π12+πk,k∈Z
x2=5π12+πn,n∈Z
Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие из них войдут в отрезок
Ответ: А) π12+πk,5π12+πn,k,n∈Z;
Б) π12;5π12
В правильной треугольной призме АВСА1B1C1 все ребра равны между собой. Точка К - середина ребра СС1.
А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6.
Решение:

Все ребра равны, правильная призма, C1K=CK
А) Доказать, что AB1⊥KB
Совершим параллельный перенос прямой КВ так, чтобы она проходила через точку B1, пересекает С1С в т. К1
△СВК=△С1В1К1 (по катет и острому углу):
С1В1=СВ, ∠С1В1К1=∠СВК⇒К1С1=КС
Имеем, что ∠(АВ1;КВ)=∠(АВ1;К1В1)
Пусть а - длина ребра
Из △С1К1В1, ∠С1=90∘, по теореме Пифагора : К1В1=√а2+а24=а√52
Из △АК1С1, ∠С=90∘, по теореме Пифагора : АК1=√а2+9а24=а√132
Из △АК1С1: ∠В=90∘ по теореме Пифагора: АВ1=√а2+а2=а√2
Проверим, является ли △АК1В1 прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора
АК21=АВ21+К1В21
а2⋅134=а2⋅2+а2⋅54 - верно
Следовательно,△АВ1К1=90∘⇒∠(АВ1;К1В1)=∠(АВ1;КВ)⇒АВ1⊥КВ
Б) Построим С1Н⊥А1В1, К1H′⊥(AA1B1)
C1H∥K1H′ , C1K1∥HH′⇒C1H=K1H′
Рассмотрим △С1В1H ∠H=90∘, C1H=√C1B21−HB21, по теореме Пифагора HB1=12a ( по свойству равнобедренного треугольника)
С1Н=√а2−а24=а√32=К1Н′
Рассмотрим пирамиду K1B1BA:
С одной стороны Vп=13К1Н′ * S△ABB1
С другой стороны Vп=13h * S△AK1B1
13К1Н′ * S△ABB1 = 13h∗S△AK1B1⇒h=K1H′∗S△ABB1S△AK1B1
S△ABB1=12a2, S△AK1B1=12⋅a√52⋅a√2
h=a√32⋅a2212⋅a√52⋅a√2=a√3√10=3√305
Ответ: 3√305
Решите неравенство √log2(x2−3)−√log2(x+9)log2(x2−6x+9)≥0.
ОДЗ:
Решение системы: x∈[−8;−2]∪[2;3)∪(3;+∞)
Найдем нули числителя:
√log2(x2−3)−√log2(x+9)=0
log2(x2−3)=log2(x+9)
x2−3=x+9
x2−x−12=0
x1=−3, x2=4
Нули знаменателя: log2(x2−6x+9)=0
x2−6x+9−1=0
(x−4)(x−2)=0
x1=4 – корень кратности 2
x2=2
Нанесем нули на числовую прямую и расставим знаки:
Учитывая ОДЗ, получим: x∈ [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)
Ответ: [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и Р соответственно.
А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.
Б) Прямая МР пересекает прямую CD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.
Решение:

A) P△AMP=AM+MP+AP
PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS
AM=AN-MN, AP=AS-PS
P△AMP=MN+S+AN−MN+AS−PS=AN+AS=2AN=AB (т.к. NB=AN)
Б) △ONE=△OLK ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, ∠LOK=∠NOE
Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD
△PAM∼△PDK (по двум углам) ∠DPK=∠APM как вертикальные , ∠A=∠D=90∘⇒DKAM=DPAP=BEAM
AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB
P△AMP=AP+14AB+√AP2+AB216=AB
34AB−AP=√AP2+AB216, 916AB2−32AB⋅AP+AP2=AP2+AB216⇒32AP=12AB, AP=13AB, PD=23AB
AM=13BM⇒BE13BM=23AB13AB, BEBM=23
Ответ: 2:3
В магазин поступил товар I и II сортов на общую сумму 4,5 млн. руб. Если весь товар продать по цене II сорта, то убытки составят 0,5 млн. руб., а если весь товар реализовать по цене I сорта, то будет полечена прибыль 0,3 млн. руб. На какую сумму был приобретен товар I и II сортов в отдельности?
Пусть x– цена первого сорта, y – цена второго сорта, a – количество первого сорта, b – количество второго сорта. Получим, что в магазин поступило xa+yb=4,5. В первом случае получим следующее уравнение: y(a+b)=4,5-0,5 , во втором случае: x(a+b)=4,5+0,3
В итоге получим систему из трех уравнений:
1) Из первого отнимем второе, и из первого отнимем третье.Получится система из двух новых уравнений
Разделим первое на второе: b=35a
2) Разделим в исхдной системе второе уравнение на первое:y=44.8x
3) Подставим найденные соотношения в первое уравнение:
xa+44.8x⋅35a=4.5
32xa=4.5
xa=45⋅210⋅3=3
4) xa+xb=4.5⇒xb=4.5−xa=4.5−3=1.5
Ответ: 3 млн. руб. и 1,5 млн. руб.
Найдите все а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Решение: преобразуем первое уравнение: (|x|−1)2+(|y|−1)2=2
Имеем окружность с радиусом R=√2 и центром О(1,1). Пример применим свойства модулей на графике и получим следующее:
Точка (0;0) тоже входит в график окружности. Чтобы получить гарантированно три решения, должна быть одна точка-фиксированная,т. е получим следующие варианты :
Уравнение прямой: y=ax+(3−3a)
1 сл: y=0, x=2. Тогда а=3
2 сл: x=0, y=2. Тогда а= 1/3
3 сл: y=0, x=0. тогда а=1
4 и 5 сл: прямая касается одного сектора и пересекает второй в двух точках. Найдем уравнение касательной: x2−2x+y2−2y=0
a4=−2;a5=−2;a6=0
Получаем уравнение касательной: (x0+−22)x+(−22+y0)y+(−2x0−2y02+0)=0
(x0+−1)x+(−1+y0)y+(−x0−y0)=0
Все прямые проходят через точку (3;3), то есть имеем уравнение 3(x0+−1)+3(−1+y0)+(−x0−y0)=0 и исходное уравнение −y0+ax0+(−3a+3)
Решим систему из этих двух уравнение и получим следующие значения:x0=3a1+a y0=3−3a1+a
Подставим в уравнение окружности первого сектора и получим квадратное уравнение: 3a2−12a+3=0
Решение уравнения: a1,2=2±√3
Ответ: 2−√3;13;1;3;2+√3
Назовем натуральное число интересным, если в его разложении на простые множители каждый множитель имеет нечетную степень (например, число 120=23⋅31⋅51 - интересное).
A) Может ли интересное число оканчиваться ровно четырьмя нулями?
Б) Существуют ли три последовательных натуральных числа, среди которых нет ни одного интересного?
B) Чему равно наибольшее количество последовательных натуральных интересных чисел?
А) Если число заканчивается четырьмя нулями, то мы его можем записать в виде 10000cdotx=104x=xcdot54cdot24
т.е. 2 и 5 имеют четные показатели. Чтобы эти показатели стали нечетными, то есть число стало интересным, необходимо иметь в делителях числа еще одну двойку и пятерку, то есть имеет делитель на 10, это значит число имеет 5 нулей, что противоречит условию. Следовательно такого быть не может
Б) Будем отталкиваться от чисел, которые точно являются неинтересными, это числа 4, 9, 25, 49 и т.д.( т.е произведение двух одинаковых простых чисел)
Рассмотрим соседей этих чисел и исследуем все возможные варианты:
3, 4, 5 – из них 3 и 5 – интересные. Следовательно 4 – не подходит.
8, 9, 10 – из них 8 и 10 – интересные. Следовательно 9 – не подходи
48, 49, 50 – 48,50- неинтересные числа. Подходит вариант.
В) Предположим, что таких чисел 8. Одно из них будет иметь остаток от деления на 8- 4- следовательно не будет интересным. Значит имеем максимально количество последовательно интересных чисел- 7. Произведем перебор. Неинтересные числа: 4, 9, 12, 16, 18, 20 , 25, 28, 36 и т.д. Видим, что числа 29-36-интересные и их 7. Задача решена
Ответ: А) нет; Б) да, например, 48, 49, 50; В) 7 (например, числа от 29 до 35)
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |