Вариант 4

А) Преобразуем левую часть уравнения и получим следующее:

$\frac{2sin(2x)cosx}{cosx}=1$

ОДЗ: $cosx\neq0$ , $x\neq\frac\pi2+\pi n,n\in Z$

$2sin2x=1$

$sin2x=\frac12$

$x_1=\frac\pi{12}+\pi k,\;k\in Z$

$x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;n\in Z$

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие из них войдут в отрезок

Ответ: А) $\frac\pi{12}+\pi k,\;\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;k,n\in Z;$

Б) $\frac\pi{12};\;\frac{5\pi}{12}$

Решение:

Все ребра равны, правильная призма, $C_1K=CK$

А) Доказать, что $AB_1\perp KB$

Совершим параллельный перенос прямой КВ так, чтобы она проходила через точку $B_1$, пересекает $С_1С$ в т. $К_1$

$\bigtriangleup СВК=\bigtriangleup С_1В_1К_1$ (по катет и острому углу):

$С_1В_1=СВ$, $\angle С_1В_1К_1=\angle СВК\Rightarrow К_1С_1=КС$

Имеем, что $\angle(АВ_1;КВ)=\angle(АВ_1;К_1В_1)$

Пусть а - длина ребра

Из $\bigtriangleup С_1К_1В_1$, $\angle С_1=90^\circ$, по теореме Пифагора : $К_1В_1=\sqrt{а^2+\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt5}2$

Из $\bigtriangleup АК_1С_1$, $\angle С=90^\circ$, по теореме Пифагора : $АК_1=\sqrt{а^2+\frac{9а^2}4}=\frac{а\sqrt13}2$

Из $\bigtriangleup АК_1С_1$: $\angle В=90^\circ$ по теореме Пифагора: $АВ_1=\sqrt{а^2+а^2}=а\sqrt2$

Проверим, является ли $\bigtriangleup АК_1В_1$ прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора

$АК_1^2=АВ_1^2+К_1В_1^2$

$\frac{а^2\cdot13}4=а^2\cdot2+\frac{а^2\cdot5}4$ - верно

Следовательно,$\bigtriangleup АВ_1К_1=90^\circ\Rightarrow\angle(АВ_1;К_1В_1)=\angle(АВ_1;КВ)\Rightarrow АВ_1\perp КВ$

Б) Построим $С_1Н\perp А_1В_1$, $К_1H'\perp(AA_1B_1)$

$C_1H\parallel K_1H'$ , $C_1K_1\parallel HH'\Rightarrow C_1H=K_1H'$

Рассмотрим $\bigtriangleup С_1В_1H$ $\angle H=90^\circ$, $C_1H=\sqrt{C_1B_1^2-HB_1^2}$, по теореме Пифагора $HB_1=\frac12a$ ( по свойству равнобедренного треугольника)

$С_1Н=\sqrt{а^2-\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt3}2=К_1Н'$

Рассмотрим пирамиду $K_1B_1BA$:

С одной стороны $V_п=\frac13К_1Н'$ * $S_{\bigtriangleup ABB_1}$

С другой стороны $V_п=\frac13h$ * $S_{\bigtriangleup AK_1B_1}$

$\frac13К_1Н'$ * $S_{\bigtriangleup ABB_1}$ = $\frac13h\ast S_{\bigtriangleup AK_1B_1}\Rightarrow h=\frac{K_1H'\ast S_{\bigtriangleup ABB_1}}{S_{\bigtriangleup AK_1B_1}}$

$S_{\bigtriangleup ABB_1}=\frac12a^2$, $S_{\bigtriangleup AK_1B_1}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2$

$h=\frac{\frac{a\sqrt3}2\cdot\frac{a^2}2}{\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2}=a\frac{\sqrt3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}5$

Ответ: $\frac{3\sqrt{30}}5$

ОДЗ:

Решение системы: $x\in\left[-8;-2\right]\cup\lbrack2;3)\cup(3;+\infty)$

Найдем нули числителя:

$\sqrt{log_2(x^2-3)}-\sqrt{log_2(x+9)}=0$

$log_2(x^2-3)=log_2(x+9)$

$x^2-3=x+9$

$x^2-x-12=0$

$x_1=-3$, $x_2=4$

Нули знаменателя: $log_2(x^2-6x+9)=0$

$x^2-6x+9-1=0$

$(x-4)(x-2)=0$

$x_1=4$ – корень кратности 2

$x_2=2$

Нанесем нули на числовую прямую и расставим знаки:

Учитывая ОДЗ, получим: $x\in$ [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Ответ: [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Решение:

A) $P_{\bigtriangleup AMP}=AM+MP+AP$

PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS

AM=AN-MN, AP=AS-PS

$P_{\bigtriangleup AMP}=MN+S+AN-MN+AS-PS=AN+AS=2AN=AB$ (т.к. NB=AN)

Б) $\bigtriangleup ONE=\bigtriangleup OLK$ ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, $\angle LOK=\angle NOE$

Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD

$\bigtriangleup PAM\sim\bigtriangleup PDK$ (по двум углам) $\angle DPK=\angle APM$ как вертикальные , $\angle A=\angle D=90^\circ\Rightarrow\frac{DK}{AM}=\frac{DP}{AP}=\frac{BE}{AM}$

AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB

$P_{\bigtriangleup AMP}=AP+\frac14AB+\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}=AB$

$\frac34AB-AP=\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}$, $\frac9{16}AB^2-\frac32AB\cdot AP+AP^2=AP^2+\frac{AB^2}{16}\Rightarrow\frac32AP=\frac12AB$, $AP=\frac13AB$, $PD=\frac23AB$

$AM=\frac13BM\Rightarrow\frac{BE}{\frac13BM}=\frac{\frac23AB}{\frac13AB}$, $\frac{BE}{BM}=\frac23$

Ответ: 2:3

Пусть x– цена первого сорта, y – цена второго сорта, a – количество первого сорта, b – количество второго сорта. Получим, что в магазин поступило xa+yb=4,5. В первом случае получим следующее уравнение: y(a+b)=4,5-0,5 , во втором случае: x(a+b)=4,5+0,3

В итоге получим систему из трех уравнений:

1) Из первого отнимем второе, и из первого отнимем третье.Получится система из двух новых уравнений

Разделим первое на второе: $b=\frac35a$

2) Разделим в исхдной системе второе уравнение на первое:$y=\frac4{4.8}x$

3) Подставим найденные соотношения в первое уравнение:

$xa+\frac4{4.8}x\cdot\frac35a=4.5$

$\frac32xa=4.5$

$xa=\frac{45\cdot2}{10\cdot3}=3$

4) $xa+xb=4.5\Rightarrow xb=4.5-xa=4.5-3=1.5$

Ответ: 3 млн. руб. и 1,5 млн. руб.

Решение: преобразуем первое уравнение: $(\left|x\right|-1)^2+(\left|y\right|-1)^2=2$

Имеем окружность с радиусом $R=\sqrt2$ и центром О(1,1). Пример применим свойства модулей на графике и получим следующее:

Точка (0;0) тоже входит в график окружности. Чтобы получить гарантированно три решения, должна быть одна точка-фиксированная,т. е получим следующие варианты :

Уравнение прямой: $y=ax+(3-3a)$

1 сл: y=0, x=2. Тогда а=3

2 сл: x=0, y=2. Тогда а= 1/3

3 сл: y=0, x=0. тогда а=1

4 и 5 сл: прямая касается одного сектора и пересекает второй в двух точках. Найдем уравнение касательной: $x^2-2x+y^2-2y=0$

$a_4=-2;a_5=-2;a_6=0$

Получаем уравнение касательной: $(x_0+\frac{-2}2)x+(\frac{-2}2+y_0)y+(\frac{-2x_0-2y_0}2+0)=0$

$(x_0+-1)x+(-1+y_0)y+(-x_0-y_0)=0$

Все прямые проходят через точку (3;3), то есть имеем уравнение $3(x_0+-1)+3(-1+y_0)+(-x_0-y_0)=0$ и исходное уравнение $-y_0+ax_0+(-3a+3)$

Решим систему из этих двух уравнение и получим следующие значения:$x_0=\frac{3a}{1+a}$ $y_0=3-\frac{3a}{1+a}$

Подставим в уравнение окружности первого сектора и получим квадратное уравнение: $3a^2-12a+3=0$

Решение уравнения: $a_{1,2}=2\pm\sqrt3$

Ответ: $2-\sqrt3;\;\frac13;\;1;\;3;\;2+\sqrt3$

А) Если число заканчивается четырьмя нулями, то мы его можем записать в виде $10000\\\\cdot x=10^4x=x\\\\cdot5^4\\\\cdot2^4$

т.е. 2 и 5 имеют четные показатели. Чтобы эти показатели стали нечетными, то есть число стало интересным, необходимо иметь в делителях числа еще одну двойку и пятерку, то есть имеет делитель на 10, это значит число имеет 5 нулей, что противоречит условию. Следовательно такого быть не может

Б) Будем отталкиваться от чисел, которые точно являются неинтересными, это числа 4, 9, 25, 49 и т.д.( т.е произведение двух одинаковых простых чисел)

Рассмотрим соседей этих чисел и исследуем все возможные варианты:

3, 4, 5 – из них 3 и 5 – интересные. Следовательно 4 – не подходит.

8, 9, 10 – из них 8 и 10 – интересные. Следовательно 9 – не подходи

48, 49, 50 – 48,50- неинтересные числа. Подходит вариант.

В) Предположим, что таких чисел 8. Одно из них будет иметь остаток от деления на 8- 4- следовательно не будет интересным. Значит имеем максимально количество последовательно интересных чисел- 7. Произведем перебор. Неинтересные числа: 4, 9, 12, 16, 18, 20 , 25, 28, 36 и т.д. Видим, что числа 29-36-интересные и их 7. Задача решена

Ответ: А) нет; Б) да, например, 48, 49, 50; В) 7 (например, числа от 29 до 35)