Вариант 2
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Площадь участка Незнайки 76,5 ар. Согласно системе мер, 1 ар=0,01 га. Вычислите площадь данного участка (в га).
На диаграмме представлена сравнительная динамика популярности поисковых запросов, таких как "ЕГЭ" и "ОГЭ" в течение всего 2015-2016-го учебного года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — популярность (в баллах).
Сравните наибольшие значения "ЕГЭ" и "ОГЭ", и разницу (в баллах) запишите в ответ.
В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Гипотенуза равна 12,6 см, катет CB равен 6,3 см. Найдите внешний угол (в градусах) при вершине B.
В приюте для бездомных животных "4 с хвостиком" — 84 собаки, из них 63 привиты. Семья Ивановых решила завести друга из приюта. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ими пёс окажется не привитый.
В ромбе ABCD бóльший угол равен 120°. Бóльшая его диагональ равна 14√3 см. Вычислите сторону ромба (в см).
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x)=sinx1−cosx+36,2 в точке x0=π3.
В четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S основанием является ромб, сторона которого равна 20 см, а диагональ — 32 см. Найдите объем пирамиды (в см3), если ее высота равна 13 см.
Человек массой m1 = 76 кг двигается со скоростью v1 = 4,5 м/с, догоняет тележку массой m2 (кг), которая едет со скоростью v2 = 3,8 м/c, и прыгает на нее. Скорость, с которой будет теперь двигаться тележка, вычисляется по формуле v=m1v1+m2v2m1+m2. Какова масса тележки (кг), если скорость, которую она приобрела после прыжка человека, равна 4,3 (м/c)?
Бегун из Кении и бегун из Австрии стартуют одновременно из диаметрально противоположных точек беговой дорожки, которая представляет собой трек овальной формы длиной 750 м. Скорость кенийца на 3 км/ч больше скорости австрийца. Через сколько минут кенийский бегун догонит австрийского бегуна в первый раз?
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
Дано уравнение sin 2x = 3(sin x + cos x - 1).
А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [1,5; 6].
A) Пусть sinx+cosx=t . Тогда t2=sin2x+2sinx⋅cosx+cos2x
t2−2sinx⋅cosx=1
Получаем:
t2−1=3(t−1)
t2−3t+2=0
Решим уравнение и получим: t1=1 ,t2=2
Выполним обратную подстановку:
sinx+cosx=1
√2(√22sinx+√22cosx)=1
(cosπ4sinx+sinπ4cosx)=1√2
sin(π4+x)=√22
π4+x=(−1)nπ4+2πn ;n∈Z
2πk,k∈Z;π2+2πn,n∈Z
Б) Нанесем корни на числовую прямую:
В нужный нам промежуток входит только один корень π2
Ответ:А) 2πk,k∈Z;π2+2πn,n∈Z
Б) π2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К лежит на ребре ВВ1 так, что КВ:КВ1=1:4. Плоскость α, проходящая через точки К и С1 параллельно прямой BD1, пересекает ребро АА1 в точке Р.
А) Докажите, что АР:А1Р=2:3.
Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка В1, если известно, что АВ=3, ВС=4, ВВ1=5.
Решение:

А) 1. Проведем KM||BD1, M∈(BB1D1) , M∈(A1B1C1)
Проведем CM∩A1D1=T
(BB1C)||(ADD1)⇒T∈AA1 TP||KC1
Имеем, что (PTK)-плоскость, PTC1K-сечение параллелепипеда плоскостью α
2. △B1MK и △B1D1B - подобны (∠B1-j,общий, KM||BD1⇒∠B1MK=∠B1D1B)⇒ D1MMB1=BKKB1=14
△C1MB1∼△TMD1 (все углы попарно равны)⇒D1TB1C1=D1MMB1=14
A1TB1C1=34
△PA1T∼△KB1C1 ⇒ A1PB1K=A1TB1C1=34
Получим, что A1P=35BB1. Тогда AP=25BB1
APAP1=23, чтд
Б) (TB1K) делит пирамиду B1TC1KPна две пирамиды. Найдем их объем:
VB1TC1K=13⋅SB1C1K⋅С1D1=13⋅12⋅4⋅4⋅3=8
VB1TPK=13⋅SB1PK⋅A1T=13⋅12⋅4⋅3⋅3=6
VB1TPKC1=8+6=14
Ответ: 14
Решите неравенство log2x(3x−1)−logx(3x−1)≥0.
ОДЗ: x>0, x≠1, 3x−1>0
Преобразуем левую часть неравенства:
logx(3x−1)(logx(3x−1)−1)≥0
ln(3x−1)lnx(ln(3x−1)−lnxlnx)≥0
ln(3x−1)ln2x(ln(3x−1)−lnx1)≥0
Нули числителя: ln(3x−1)=0
3x−1=1
x=23
ln(3x−1)=lnx
3x−1=x
2x=1
x=12
Нули знаменателя:
lnx=0
x=1 - корень кратности 2
Нанесем корни на числовую прямую, учитываю ОДЗ:
Получаем следующие промежутки: (13;12]∪[23;1)∪(1;+∞)
Ответ: (13;12]∪[23;1)∪(1;+∞)
В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.
А) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?
Б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ=17, ВС=7, АС= √177.
Решение:

А)Найдем радиус вписанной окружности через следующую формулу: S=pr, где p=fracP2
Отсюда r=frac2SP
Радиус вписанной окружности в треугольник ABM: rABM=frac2SABMAB+BM+AM
Радиус вписанной окружности в треугольник ABC: rABC=frac2SABCAB+BC+AC
Пусть rABM=frac12rABC. Тогда
frac2SABMAB+BM+AM=frac2SABCAB+BC+AC
SABC=2SABM , т.к. BM-медиана
Следовательно, знаменатели равны, т.е BM+AM=BC+2AMBC+AM=BM
Б) Исходя из свойства о том,что прямые, выходящие из одной точки и касающиеся окружности, образуют два равных по величине отрезка, получим следующие выражения MP=pABM−AB=fracBM+AM2−8.5=fracBM+MC2−8.5
MК=pСBM−BC=fracBM+CM2−3.5
Получим, что PK=MK−MP=−3.5+8=5
Ответ: А) нет; Б) 5
Из сосуда, наполненного чистым глицерином, отлили 1 л, после этого в сосуд добавили 1 л воды. Затем отлили 1 л смеси и вновь долили 1 л воды. То же самое проделали в третий раз, в результате чего воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина. Найдите объем сосуда. В каком отношении находились объемы глицерина и воды после второго доливания воды в сосуд?
Пусть xл - количество глицерина в сосуде изначально. После первого переливания получим глицерина (x−1)л. т.е доля глицерина в сосуде равна x−1x. После второго переливания доля глицерина в сосуде составила x−1xx−11=(x−1x)2
Аналогично после третьего переливания: x−1x(x−11)2=(x−1x)3
По условию задачи воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина,т.е глицерина в сосуде составило 1 долю, а вода – 7 долей, т.е глицерина в сосуде 1/8
Получаем следующее уравнение:
(x−1x)3=18
x−1x=12
x=2
Таким образом, объем сосуда( первоначальное количество глицерина в сосуде)-2л
Количество глицерина в частях после второго переливания: (2−12)2=14, а воды- 1−14=34
Ответ: 2 л; 1:3
Найдите все а, при каждом из которых уравнение logx−1(4x−1−3⋅2x−a)=0 имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству |x - 2|≤ 1.
Решение:
ОДЗ:
x-1>0 → x>1
x-1≠1 → x≠2
4x-1-3⋅2x-a>0
Введем замену 2x=t , тогда
1/4t2-3⋅t-a>0
Нули: t1=6-2√(9+а) , t2=6+2√(9+а)
t<6-2√(9+а) или t>6+2√(9+а)
1/4t2-3⋅t-a - парабола, ветви которой направленны вверх, так что неравенство 1/4t2-3⋅t-a>0 будет верным и при 9+а<0. Значит, согласно данному условию, a - любое.
x>1 → t>2
x≠2 → t≠4
Преобразуем неравенство: |x - 2|≤ 1
−1≤x−2≤1
1≤x≤3
2≤t≤8
Итого: t≠4, 2<t⩽8
Преобразуем: logx−1(4x−1−3⋅2x−a)=0
14t2−3t−a=1
График функции 14t2−3t−a−1=y(t) имеет экстремум в точке t=6 и нули в точках t1=6-2√(10+а) , t2=6+2√(10+а).
1) При t1=t2=6 - уравнение имеет одно решение в точке касания графика и оси ОХ: а=-10
2) При 2<t⩽8
Корни t1=6-2√(10+а)>2 расположены слева от экстремума t=6, при этом корни, расположенные справа от экстремума, должны выходить из промежутка t2=6+2√(10+а)⩾8. Так будет обеспечено наличие одного корня, удовлетворяющего неравенству |x - 2|≤ 1
6-2√(10+а) > 2
а < -6
6+2√(10+а) ⩾ 8
a ⩾ -9
При a=9 имеем два корня t2=8 и t1=4, последний не удовлетворяет ОДЗ, поэтому a=9 удовлетворяет условию о наличии одного корня.
Ответ: a=−10,−9≤a<−6
На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22.
A) Из этих карточек взяли две (с числами а и b) и составили неправильную дробь ab. Какое наименьшее число могло получиться?
Б) Из этих карточек составили 11 дробей. Могла ли их сумма иметь целое значение?
B) Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могли иметь целое значение?
Решение:
A) Чтобы получить наименьшую неправильную дробь, необходимо выполнить два условия: 1) (a-b)=1 2) b-максимальное число из возможных, так как чем больше знаменатель, тем меньше число. Под эти два условия подходит следующий набор чисел: a=22, b=21
Б) Мы имеем набор чисел таких, что составляя дроби, из одной получится точно целое число (так как любое целое число, разделив на 1, остается целым), и остальные пары чисел, такие как 2 и 14, 4 и 20, 5 и 15, 6 и 12, 7 и 21, 8 и 16, 9 и 18, 11 и 22 дают при деление второго на первое целое число. Остаются только числа 1, 3,10, 13,17,19,6,12.Чтобы остальные числа давали в итоге целое число, необходимо,чтобы дроби после приведения к общему знаменателю давали число,делящееся на знаменатель. т.е. имеем знаменатели 3, 6,12. Перебрав варианты,получим,что подходит вариант:133 176 1012 191
Таким образом получим: 133+176+1012+2211+217+204+191+189+168+155+142=51
В) Мы имеем набор чисел таких, что составляя дроби, из одной получится точно целое число (так как любое целое число, разделив на 1, остается целым), и остальные пары чисел, такие как 2 и 14, 3 и 15, 4 и 20, 5 и 10, 6 и 12, 7 и 21, 8 и 16, 9 и 18, 11 и 22, дают при деление второго на первое целое число. И еще составим одну любую дробь из оставшихся чисел со знаменателем 1, например 19 и 1. Получим 10 дробей
Ответ: A) 2221
Б) да, например, 133+176+1012+2211+217+204+191+189+168+155+142=51
В) 10
№ | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
---|---|---|---|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |