Решение:

Нельзя. С помощью первых семи нарульных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. С помощью первых двенадцати натуральных чисел в сумме можно получить три точных квадрата 4,9,16. Сумма числа 12 и числа, записанного под ним, заключена между 13 и 24. На этом отрезке имеется только один точный квадрат 16. Запишем под числом 12 число 4, аналогично под числом 4 - число 12. Также проверяем, что под числами 9,10,11,5,6,7 должны быть записаны числа 7,6,5,11,10,9 соответственно. Далее под оставшимися числами 1,2,3,8 записываем числа 3,2,1,8 соответственно.

[math]\begin{array}{cccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\3&2&1&12&11&10&9&8&7&6&5&4\end{array}[/math]

в) Можно. Под каждым из чисел 101,102,.....,2014,2015 запишем числа 2015,2014,...,102,101 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 101го, равна [math]2116=46^2[/math]. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100 запишем числа 100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 100й равна [math]121=11^2[/math]. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна [math]36=6^2[/math]. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна [math]16=4^2[/math]

Ответ: а) нельзя б) можно в) можно