Вариант 9

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}\cos3x=\cos(2x+x)=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=\\=(\cos^2x-\sin^2x)\cos x-2\sin^2\cos x=\\=(2\cos^2x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3-3\cos x\end{array}[/math]

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению

[math]\begin{array}{l}4\cos^3-3\cos x=-2\cos x\\\cos x(4\cos^2x-1)=0\\\cos x=0;\;\;x=\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{cosx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Ответ: а) [math]\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{4\mathrm\pi}3,\;-\frac{2\mathrm\pi}3,\;-\frac{\mathrm\pi}2,\;-\frac{\mathrm\pi}3[/math]

Решение:

а) В треугольнике [math]ABC\;AH\perp BC[/math], через точку [math]K[/math] проводим [math]KM\parallel AH[/math], отсюда [math]KM\perp BC[/math]

[math]С_1С\perp(ABC)[/math], как высота прямой призмы, тогда [math]С_1С\perp KM[/math], поскольку [math]KM[/math] лежит в плоскости [math](ABC)[/math], [math]KM\perp(BB_1C_1)[/math] по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно по признаку перпендикулярности плоскостей следует, что [math](C_1MK)\perp(BB_1C_1)[/math], так как [math](C_1MK)[/math] содержит прямую [math]KM[/math]. Значит [math](KC_1M)[/math] - искомое сечение.

б) Проекция [math]C_1K[/math] на плоскость [math]BB_1C_1C[/math]: [math]MK\perp BC,\;C_1M[/math] - проекция [math]C_1K[/math]. [math]\angle KC_1M[/math] - искомый угол.

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{C_1M^2+C_1K^2-MK^2}{2C_1M\times C_1K}[/math]

[math]\begin{array}{l}С_1M=\sqrt{C_1C^2+MC^2}=\sqrt{6+1}=\sqrt7\\C_1K=\sqrt{CC_1^2+CK^2}=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}\\MK=KC\times\sin60^\circ=2\times\frac{\sqrt3}2=\sqrt3\end{array}[/math]

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{7+10-3}{2\times\sqrt{70}}=\frac{14}{2\sqrt{70}}=\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

решим первое неравенство системы.

1. [math]\left(\frac14\right)^\frac{10-x^2}2\geq8^x;\;\;\;\;2^{x^2-10}\geq2^{3x};\;\;\;x^2-10\geq3x;[/math]

[math]\begin{array}{l}\;\;x^2-3x-10\geq0;\;(x+2)(x-5)\geq0;\\x\in(-\infty;-2\rbrack\cup\lbrack5;+\infty)\end{array}[/math]

2. Решим второе неравенство системы

[math]\log_{2x+5}(x^2-28x-7)>0[/math]

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x^2-28x-7>0;\\2x+5>0;\end{array}\\\;\;\;\;\;\;2x+5\neq1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>14+\sqrt{203}\;или\;x<14-\sqrt{203}\\x>-2,5\end{array}\\\;\;\;\;\;\;x\neq-2\end{array}\right.[/math]

[math]\begin{array}{l}x\in(-2,5-2)\cup(-2;14-\sqrt{203})\cup(14+\sqrt{203};+\infty)\\(2x+5-1)(x^2-28x-7-1)>0\\(x+2)(x^2-28x-8)>0\\(x+2)(x-(14-2\sqrt{51}))(x-(14+2\sqrt{51}))>0\end{array}[/math]

Учитывая множество решений первого неравенства, получим, что [math]x\in(14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

Ответ [math](14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

Решение:

а) Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по одну сторону от прямой [math]BC[/math] (см. рисунок), то есть [math]\angle B+\angle C=180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внутренних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] соответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично по свойству биссектрисы [math]CE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от всех сторон треугольника [math]BCO[/math] и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим другой случай. Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по разные стороны от прямой [math]BC[/math](см. рисунок ниже), то есть [math]\angle B+\angle C>180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внешних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] cсоответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от стороны [math]BC[/math] и продолжений сторон [math]BO[/math] и [math]OC[/math] треугольника [math]BCO[/math] и является центром вневписанной окружности этого треугольника. [math]EG,EF,EH\;-\;[/math] радиусы этой окружности.

б) Сумма углов выпуклого пятиугольника равна [math]540^\circ[/math]. По условию задачи [math]\angle A=37^\circ,[/math][math]\angle D=143^\circ,[/math][math]\angle A+\angle D=180^\circ[/math]. Если [math]\angle B+\angle C=180^\circ,[/math], что противоречит условию выпуклости прямоугольника. Значит [math]\angle B+\angle C>180^\circ,[/math], поэтому: [math]\bigtriangleup AGE=\bigtriangleup DHE[/math] по катету и острому углу. Аналогично [math]\bigtriangleup EHC=\bigtriangleup EFC.\;[/math] Последовательно имеем:

[math]S_{ABE}+S_{CDE}=S_{AGE}+S_{GBE}+S_{CHE}-S_{DHE}=S_{GBE\;}+\;S_{CHE}=[/math][math]=S_{BFE}+S_{FCE}=S_{BCE}=13[/math]

[math]S_{ABCDE}=S_{ABE}+S_{CDE}+S_{BCE}=13+13=26[/math]

Ответ: 26

Решение:

Посчитаем площадь участка [math]S=9,5\times3,5km^2=3325[/math]га.

Стоимость аренды трактора [math]600\times S[/math] рублей, стоимость солярки [math]32\times15\times S[/math] рублей. Обозначим оплату тракториста за обработку 1га за [math]x[/math] рублей. Тогда его зарплата будет составлять [math]S\times x[/math] рублей, а техническое обслуживание трактора 5% от [math]S\times x[/math]. По условию [math]600S+32\times15S+Sx+0,05Sx\leq4009950[/math]

[math]x\leq120[/math]

За 1га наибольшая оплата тракториста 120 рублей, за норму 75га наибольшая оплата [math]75\times120=9000[/math] рублей.

Ответ: 9000 рублей.

Решение:

Сделаем замену [math]tgx+2=t[/math], тогда уравнение пример вид

[math]t^2-(3a^2+2a-4)t+(3a^2-5)(2a+1)=0.[/math]

Пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни этого уравнения [math]t_1=2a+1,\;t_2=3a^2-5[/math], откуда:

[math]\left\{\begin{array}{l}tgx=2a-1,\\tgx=3a^2-7.\end{array}\right.[/math]

Изобразим эскиз графика функции [math]y=tgx[/math] при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] (см. рисунок). Очевидно, что при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] уравнение [math]tgx=b[/math] имеет 2 решения при [math]b\leq0[/math] и 1 решение при [math]b>0[/math].

Значит, исходное уравнение на отрезке [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] имеет ровно 2 решения в одном из двух случаев:

[math]\begin{array}{l}1)\;2a-1=3a^2-7\leq0\\2)\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7.\end{array}\right.\end{array}[/math]

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Решив вспомогательное уравнение [math]3a^2-7=2a-1[/math] получим [math]a=\frac{1\pm\sqrt{19}}3[/math]. При [math]a=\frac{1+\sqrt{19}}3[/math] имеет место неравенство [math]2a-1=-\frac13+\frac{2\sqrt{19}}3>0[/math], а при [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math], соответственно,[math]2a-1=-\frac13-\frac{2\sqrt{19}}3<0[/math].

Значит, [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math] соответствует условию задачи.

Решим систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\\2a-1\neq3a^2-7\end{array}\right.\;\;\left\{\begin{array}{c}a>\frac12\\a<-\sqrt{\frac73}\;или\;a>\sqrt{\frac73}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.[/math]

Так как [math]\frac{1+\sqrt{19}}3>\sqrt{\frac73}[/math], то

значит ответ будет: [math]\left\{\frac{1-\sqrt{19}}3\right\}\cup\left(\sqrt{\frac73};\;\frac{1+\sqrt{19}}3\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{19}}3;\;+\infty\right)[/math]