Вариант 6

Находим производную

f'(x)=6^2x+3ln6—6^x-1ln6

Находим точки экстремума

6^2x+3ln6—6^x-1ln6=0

6^2x+3=6^x-1

2x+3=x-1

x=-4 — точка минимума

А) ОДЗ:

[math]\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow[/math]

Преобразуем уравнение:

[math]2cos^2x=3-3sinx[/math]

[math]2-2sin^2x-3+3sinx=0[/math]

Пусть [math]sinx=t[/math]

[math]2t^2-3t+1=0[/math]

[math]t_1=1[/math] [math]t_2=\frac12[/math]

Обратная замена:

[math]sinx=\frac12[/math]

[math]x=\left(-1\right)^n\frac\pi6+\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]sinx=1[/math] - посторонний, т.к. противоречит ОДЗ

Б) Нанесем корни на числовую прямую и убедимся, какие корни входят в отрезок

А) [math]\left(-1\right)^k\cdot\frac\pi6+\pi k,\;k\in Z[/math]

Б) [math]\frac{41\pi}6[/math]

А) Пусть [math]M[/math] - середина [math]AB[/math]. Тогда [math]\alpha\cap(ABB_1)=MK[/math]

Проведем [math]B_1D;BD;KF\parallel B_1D[/math], тогда [math]\alpha\cap(ABC)=MT[/math], где [math]F\in MT[/math]. Точка [math]K[/math]-середина [math]BB_1[/math], [math]KF\parallel B_1D\Rightarrow F[/math] - середина [math]BD[/math] и [math]MF[/math] - средняя линия [math]\bigtriangleup ABD[/math][math]\Rightarrow MT\parallel AD\parallel BC[/math]. Тогда [math]MT\parallel(BCC_1)[/math] и [math]\alpha\cap(BCC_1)=KL\parallel BC[/math].

[math]\alpha\cap(DCC_1)=LT;MKTL=\alpha[/math] - сечение.

Имеем [math]KL\parallel BC\parallel MT;KL=BC\neq MT\Rightarrow MKLT[/math] - трапеция. А так как [math]\bigtriangleup MBK=\bigtriangleup TCL[/math] по двум катетам, то [math]MK=TL[/math] и [math]MKLT[/math] - равнобедренная трапеция.

Б) [math]V_{призмы}=S_{ABCD}\cdot AA_1[/math], [math]BH[/math] - высота [math]ABCD[/math]; [math]AH=\frac{25-7}2=9[/math], тогда [math]BH=12[/math], [math]S_{ABCD}=\frac{25+7}2\cdot12=192;V_{призмы}=192\cdot8=1536[/math]

Плоскость [math]\alpha[/math] разбивает призму на две части, меньшая из которых многогранник [math]MBKTCL[/math]. Плоскость [math]MBL[/math] разбивает этот многогранник на две пирамиды [math]LMBCT[/math] и [math]MBKL[/math], объемы которых обозначим [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] соответственно.

[math]V_1=\frac13S_{MBCT}\cdot CL;CL=4;MBCT[/math] - трапеция, высота которой [math]h=\frac{BH}2=6;MT=\frac{AD+BC}2=16[/math], тогда [math]V_1=\frac13\cdot\frac{7+16}2\cdot6\cdot4=92[/math]

[math]V_2=\frac13\cdot S_{BKL}\cdot\rho(M;(BKL));S_{BKL}=\frac12BK\cdot BC=\frac12\cdot7\cdot4=14[/math]

[math]AD\parallel(BKL);H\in AD\Rightarrow\rho(A;(BKL))=\rho(H;(BKL))=BH=12[/math]

[math]M[/math] - середина [math]AB[/math], тогда [math]\rho(M,(BKL))=\frac{\rho(A;(BKL))}2=\frac{BH}2=6[/math] и [math]V_2=\frac13\cdot14\cdot6=28[/math]

[math]V=V_{призмы}-(V_1+V_2)=1536-(92+28)=1416[/math]

Ответ: 1416

Преобразуем неравенство:

[math]\frac{2^{3x}-6\cdot2^{2x}+8\cdot2^x+1-2^x(2^{2x}-6\cdot2^x+8)+2^{2x}-6\cdot2^x+8}{2^{2x}-6\cdot2^x+8}\geq0[/math]

[math]\frac{1+2^{2x}-6\cdot2^x+8}{2^{2x}-6\cdot2^x+8}\geq0[/math]

Пусть [math]2^x=t[/math]. Тогда

[math]\frac{t^2-6t+9}{t^2-6t+8}\geq0[/math]

[math]\frac{\left(t-3\right)^2}{t^2-6t+8}\geq0[/math]

Нули числителя: [math]t=3[/math] - корень кратности 2

Нули знаменателя: [math]D=36-32=4[/math]

[math]t_1=\frac{6+2}2=4[/math] [math]t_2=\frac{6-2}2=2[/math]

Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:

Обратная замена:

Ответ: [math]\left(-\infty;\;1\right)\cup\left\{\log_23\right\}\cup\left(2;\;+\infty\right)[/math]

Из условия видно, что решение задачи связано с арифметической прогрессией, где [math]a_1=84-5=79[/math], [math]d=-5[/math],[math]S_n\geq300[/math]

Найдем [math]S_n[/math] и запишем уравнение, когда сумма арифметической прогрессии равна 300 млн рублей,т.е полностью покрывает расходы.

[math]S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2\cdot n=\frac{163n-5n^2}2=300[/math]

[math]5n^2-163n+600=0[/math]

[math]D=163^2-5\cdot4\cdot600=14569[/math]

[math]n_1\approx4.13[/math], [math]n_2\approx28.37[/math]

т.к. n - целое число и n- наименьшее, то [math]n_1=5[/math]

Предприятие будет иметь наибольшую годовую прибыль, если [math]a_n>0[/math], т. е [math]79-5(n-1)>0[/math]

[math]n<16.8[/math] , значит [math]n=16[/math] - наибольшее количество видов новой продукции

Посчитаем сумму арифметической прогрессии для [math]n=16[/math]

[math]S_{16}=(158-75)\cdot8=664[/math]

Наибольшая годовая прибыль: [math]664-300=364\;(млн\;руб)[/math]

Ответ: 5; 364 млн. руб.

А) Пусть [math]a[/math] - касательная, данная по условию. [math]a\perp OC[/math] (по свойству касательной к окружности)[math]\Rightarrow a\perp CP[/math], [math]CP\cap AB=K[/math]

[math]a\perp CP;a\parallel AB\Rightarrow AB\perp CP[/math]

По свойству хорды, т.к. [math]AB\perp CP;AB[/math] - хорда [math]\Rightarrow AK=KB[/math]

т.к. [math]AK=KB;\angle AKB=\angle PKB=90^\circ;CK[/math] - общий [math]\Rightarrow\bigtriangleup ACK=\bigtriangleup CKB\Rightarrow AP=PB\Rightarrow\bigtriangleup APB[/math] - равнобедренный, ч.т.д.

Б) [math]\angle PBC=90^\circ[/math], т.к. вписанный и опирается на диаметр

Т.к. [math]\bigtriangleup APK=\bigtriangleup BPK[/math], [math]\angle APK=\angle BPK=\frac{150^\circ}2=75^\circ[/math]

[math]\angle PCB=180^\circ-75^\circ-90^\circ=15^\circ[/math]

[math]\bigtriangleup CKB[/math]: [math]CK=KB\cdot ctg15^\circ=KB\cdot ctg(45^\circ-30^\circ)=KB\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}[/math]

[math]\bigtriangleup PKB[/math]: [math]KP=KB\cdot ctg75^\circ[/math][math]KB\cdot tg15^\circ=KB\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}[/math]

[math]\frac{CK}{PK}=\frac{\left(\sqrt3+1\right)^2}{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}[/math]

Ответ: [math]\frac{CK}{PK}=\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}[/math]

Зная корни уравнения, можно преобразовать уравнение в произведение:

[math]2x^3+ax^2+bx+c=2(x-sin\alpha)(x-cos\alpha)(x-tg\alpha)[/math]

Причем [math]x_1=cosx\neq0[/math], т.к. тогда [math]x_3=0[/math] ; [math]x_2\neq0[/math], т.к тогда [math]x_3\nexists[/math]

После раскрытия скобок получаем: [math]2x^3+2x^2(-cos\alpha-sin\alpha-tg\alpha)+2x(sin\alpha cos\alpha+sin\alpha+sin\alpha tg\alpha)+(-2sin^2\alpha)=2x^3+ax^2+bx+c[/math]

Значит [math]a=2(-cos\alpha-sin\alpha-tg\alpha);b=2(sin\alpha cos\alpha+sin\alpha+sin\alpha tg\alpha);c=-2sin^2\alpha[/math]

[math]sin^2\alpha=-\frac c2[/math], исходя из того что по условие коэффициенты- целые числа и [math]sin^2\alpha\geq0[/math], получим три возможных варианта: [math]c=-2;-1;0[/math]

1) [math]c=-2[/math];[math]sin^2x=1\Rightarrow cosx=0[/math] - противоречит условию задачи.

2) [math]c=-1;sin^2x=\frac12[/math] - удовлетворяет условию

3) [math]c=0;sin^2x=0[/math] - не удовлетворяет условию

Значит [math]c=-1[/math], т.е [math]sin\alpha=\frac{\sqrt2}2;cos\alpha=\frac{\sqrt2}2;tg\alpha=1[/math] или [math]sin\alpha=-\frac{\sqrt2}2;cos\alpha=\frac{\sqrt2}2;tg\alpha=-1[/math]

Первый вариант - посторонний, т.к тогда [math]a=2(-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2-1)[/math] - не целое число, что противоречий условию

При втором варианте после подстановки значений: [math]a=2;b=-1;c=-1[/math]

Ответ: 2x³+2x²-x-1=0