Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 4

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В окружности проведен диаметр DC и хорда AD. Угол ADC равен 15°. Найдите угол ACD (в градусах).

Вариант 4
2
2

Найдите длину веĸтора [math]\vec{AB}\;\left\{7\;;\;24\right\}[/math]

3
3

Во сĸольĸо раз увеличится объем ĸонуса если радиус его основания увеличится в 5 раз, а высота в 2 раза

4
4

Магазин проводит лотерею среди покупателей. На 100 билетов приходится 16 единиц бытовой техники, 25 предметов посуды, все остальные призы — сувениры с символикой. Какова вероятность того, что случайно зашедшему в этот день посетителю достанется сувенир?

5
5

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки , но не дойдя до отметки .

6
6

Решите уравнение [math]7^{5x^2-20}=7^{15x}[/math]. В ответе укажите бо́льший его корень.

7
7

Вычислите [math]\frac{sin^2765^\circ}{1-cos420^\circ}[/math]

8
8

На рисунке изображен график производной функции f(x). Определите количество целых точек, в которых касательная к графику f(x) будет иметь тангенс угла наклона, равный 1.

Вариант 4

9
9

Для выполнения трюка мотоциклист движется по внутренней поверхности цилиндра по окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Необходимая минимальная скорость для движения по данной траектории вычисляется по формуле: [math]v_{min}=\sqrt{g\left(r-l\right)\mu}[/math]. Определите, при каком коэффициенте трения покрышек μ о поверхность цилиндра скорость мотоцикла будет равна [math]v_{min}=7,8[/math] м/с. Радиус цилиндра r = 11 м, расстояние от центра тяжести мотоцикла с человеком до поверхности цилиндра l = 0,86 м, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c2.

10
10

Для освещения магазина необходимо установить 286 светильников. Рабочие в первый день установили 10 шт. За сколько дней работа будет выполнена, если каждый следующий день они устанавливали на 2 светильника больше?

11
11

На рисунĸе изображен графиĸ [math]f\left(x\right)=kx+b[/math].

Найдите b

Вариант 4
 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите точку минимума функции [math]f(x)=-12ln(x^2-12)+6x[/math].

Показать ответ

Область определения функции: [math]x\in(-\infty;-\sqrt{12})\cup(\sqrt{12};\infty)[/math]

Найдем производную и определим точки экстремума

[math]f'(x)=-12\cdot\\frac{2x}{x^2-12}+6[/math]

При f'(x)=0

[math]-12\cdot\\frac{2x}{x^2-12}+6=0[/math]

[math]x^2-4x-12=0[/math]

[math]D=4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)=64[/math]

[math]x_1=\\frac{4-\sqrt{64}}2=-2[/math]

[math]x_2=\\frac{4+\sqrt{64}}2=6[/math]

При x<-√12 производная положительная — функция возрастает, при √12<x<6 производная отрицательная — функция убывает, при х>6 производная положительная — функция возрастает

Точка минимума: x=6

13

Дано уравнение [math]\frac{\sin x+\sin3x}{\cos x}=1[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac14;\;\frac{13}4\right][/math].

Показать ответ

А) Преобразуем левую часть уравнения и получим следующее:

[math]\frac{2sin(2x)cosx}{cosx}=1[/math]

ОДЗ: [math]cosx\neq0[/math] , [math]x\neq\frac\pi2+\pi n,n\in Z[/math]

[math]2sin2x=1[/math]

[math]sin2x=\frac12[/math]

[math]x_1=\frac\pi{12}+\pi k,\;k\in Z[/math]

[math]x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие из них войдут в отрезок

Вариант 4

Ответ: А) [math]\frac\pi{12}+\pi k,\;\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;k,n\in Z;[/math]

Б) [math]\frac\pi{12};\;\frac{5\pi}{12}[/math]

14

В правильной треугольной призме АВСА1B1C1 все ребра равны между собой. Точка К - середина ребра СС1.

А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6.

Показать ответ

Решение:

Вариант 4

Все ребра равны, правильная призма, [math]C_1K=CK[/math]

А) Доказать, что [math]AB_1\perp KB[/math]

Совершим параллельный перенос прямой КВ так, чтобы она проходила через точку [math]B_1[/math], пересекает [math]С_1С[/math] в т. [math]К_1[/math]

[math]\bigtriangleup СВК=\bigtriangleup С_1В_1К_1[/math] (по катет и острому углу):

[math]С_1В_1=СВ[/math], [math]\angle С_1В_1К_1=\angle СВК\Rightarrow К_1С_1=КС[/math]

Имеем, что [math]\angle(АВ_1;КВ)=\angle(АВ_1;К_1В_1)[/math]

Пусть а - длина ребра

Из [math]\bigtriangleup С_1К_1В_1[/math], [math]\angle С_1=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]К_1В_1=\sqrt{а^2+\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt5}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math], [math]\angle С=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]АК_1=\sqrt{а^2+\frac{9а^2}4}=\frac{а\sqrt13}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math]: [math]\angle В=90^\circ[/math] по теореме Пифагора: [math]АВ_1=\sqrt{а^2+а^2}=а\sqrt2[/math]

Проверим, является ли [math]\bigtriangleup АК_1В_1[/math] прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора

[math]АК_1^2=АВ_1^2+К_1В_1^2[/math]

[math]\frac{а^2\cdot13}4=а^2\cdot2+\frac{а^2\cdot5}4[/math] - верно

Следовательно,[math]\bigtriangleup АВ_1К_1=90^\circ\Rightarrow\angle(АВ_1;К_1В_1)=\angle(АВ_1;КВ)\Rightarrow АВ_1\perp КВ[/math]

Б) Построим [math]С_1Н\perp А_1В_1[/math], [math]К_1H'\perp(AA_1B_1)[/math]

[math]C_1H\parallel K_1H'[/math] , [math]C_1K_1\parallel HH'\Rightarrow C_1H=K_1H'[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup С_1В_1H[/math] [math]\angle H=90^\circ[/math], [math]C_1H=\sqrt{C_1B_1^2-HB_1^2}[/math], по теореме Пифагора [math]HB_1=\frac12a[/math] ( по свойству равнобедренного треугольника)

[math]С_1Н=\sqrt{а^2-\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt3}2=К_1Н'[/math]

Рассмотрим пирамиду [math]K_1B_1BA[/math]:

С одной стороны [math]V_п=\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math]

С другой стороны [math]V_п=\frac13h[/math] * [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}[/math]

[math]\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math] = [math]\frac13h\ast S_{\bigtriangleup AK_1B_1}\Rightarrow h=\frac{K_1H'\ast S_{\bigtriangleup ABB_1}}{S_{\bigtriangleup AK_1B_1}}[/math]

[math]S_{\bigtriangleup ABB_1}=\frac12a^2[/math], [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2[/math]

[math]h=\frac{\frac{a\sqrt3}2\cdot\frac{a^2}2}{\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2}=a\frac{\sqrt3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

Ответ: [math]\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac{\sqrt{\log_2\left(x^2-3\right)}-\sqrt{\log_2\left(x+9\right)}}{\log_2\left(x^2-6x+9\right)}\geq0[/math].

Показать ответ

ОДЗ:

Вариант 4

Решение системы: [math]x\in\left[-8;-2\right]\cup\lbrack2;3)\cup(3;+\infty)[/math]

Найдем нули числителя:

[math]\sqrt{log_2(x^2-3)}-\sqrt{log_2(x+9)}=0[/math]

[math]log_2(x^2-3)=log_2(x+9)[/math]

[math]x^2-3=x+9[/math]

[math]x^2-x-12=0[/math]

[math]x_1=-3[/math], [math]x_2=4[/math]

Нули знаменателя: [math]log_2(x^2-6x+9)=0[/math]

[math]x^2-6x+9-1=0[/math]

[math](x-4)(x-2)=0[/math]

[math]x_1=4[/math] – корень кратности 2

[math]x_2=2[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и расставим знаки:

Вариант 4

Учитывая ОДЗ, получим: [math]x\in[/math] [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Ответ: [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

16

В магазин поступил товар I и II сортов на общую сумму 4,5 млн. руб. Если весь товар продать по цене II сорта, то убытки составят 0,5 млн. руб., а если весь товар реализовать по цене I сорта, то будет полечена прибыль 0,3 млн. руб. На какую сумму был приобретен товар I и II сортов в отдельности?

Показать ответ

Пусть x– цена первого сорта, y – цена второго сорта, a – количество первого сорта, b – количество второго сорта. Получим, что в магазин поступило xa+yb=4,5. В первом случае получим следующее уравнение: y(a+b)=4,5-0,5 , во втором случае: x(a+b)=4,5+0,3

В итоге получим систему из трех уравнений:

Вариант 4

1) Из первого отнимем второе, и из первого отнимем третье.Получится система из двух новых уравнений

Вариант 4

Разделим первое на второе: [math]b=\frac35a[/math]

2) Разделим в исхдной системе второе уравнение на первое:[math]y=\frac4{4.8}x[/math]

3) Подставим найденные соотношения в первое уравнение:

[math]xa+\frac4{4.8}x\cdot\frac35a=4.5[/math]

[math]\frac32xa=4.5[/math]

[math]xa=\frac{45\cdot2}{10\cdot3}=3[/math]

4) [math]xa+xb=4.5\Rightarrow xb=4.5-xa=4.5-3=1.5[/math]

Ответ: 3 млн. руб. и 1,5 млн. руб.

17

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

Б) Прямая МР пересекает прямую CD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.

Показать ответ

Решение:

Вариант 4

A) [math]P_{\bigtriangleup AMP}=AM+MP+AP[/math]

PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS

AM=AN-MN, AP=AS-PS

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=MN+S+AN-MN+AS-PS=AN+AS=2AN=AB[/math] (т.к. NB=AN)

Б) [math]\bigtriangleup ONE=\bigtriangleup OLK[/math] ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, [math]\angle LOK=\angle NOE[/math]

Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD

[math]\bigtriangleup PAM\sim\bigtriangleup PDK[/math] (по двум углам) [math]\angle DPK=\angle APM[/math] как вертикальные , [math]\angle A=\angle D=90^\circ\Rightarrow\frac{DK}{AM}=\frac{DP}{AP}=\frac{BE}{AM}[/math]

AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=AP+\frac14AB+\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}=AB[/math]

[math]\frac34AB-AP=\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}[/math], [math]\frac9{16}AB^2-\frac32AB\cdot AP+AP^2=AP^2+\frac{AB^2}{16}\Rightarrow\frac32AP=\frac12AB[/math], [math]AP=\frac13AB[/math], [math]PD=\frac23AB[/math]

[math]AM=\frac13BM\Rightarrow\frac{BE}{\frac13BM}=\frac{\frac23AB}{\frac13AB}[/math], [math]\frac{BE}{BM}=\frac23[/math]

Ответ: 2:3

18

Найдите все а, при каждом из которых система уравнений

Вариант 4

имеет ровно три различных решения.

Показать ответ

Решение: преобразуем первое уравнение: [math](\left|x\right|-1)^2+(\left|y\right|-1)^2=2[/math]

Имеем окружность с радиусом [math]R=\sqrt2[/math] и центром О(1,1). Пример применим свойства модулей на графике и получим следующее:

Вариант 4

Точка (0;0) тоже входит в график окружности. Чтобы получить гарантированно три решения, должна быть одна точка-фиксированная,т. е получим следующие варианты :

Вариант 4

Уравнение прямой: [math]y=ax+(3-3a)[/math]

1 сл: y=0, x=2. Тогда а=3

2 сл: x=0, y=2. Тогда а= 1/3

3 сл: y=0, x=0. тогда а=1

4 и 5 сл: прямая касается одного сектора и пересекает второй в двух точках. Найдем уравнение касательной: [math]x^2-2x+y^2-2y=0[/math]

[math]a_4=-2;a_5=-2;a_6=0[/math]

Получаем уравнение касательной: [math](x_0+\frac{-2}2)x+(\frac{-2}2+y_0)y+(\frac{-2x_0-2y_0}2+0)=0[/math]

[math](x_0+-1)x+(-1+y_0)y+(-x_0-y_0)=0[/math]

Все прямые проходят через точку (3;3), то есть имеем уравнение [math]3(x_0+-1)+3(-1+y_0)+(-x_0-y_0)=0[/math] и исходное уравнение [math]-y_0+ax_0+(-3a+3)[/math]

Решим систему из этих двух уравнение и получим следующие значения:[math]x_0=\frac{3a}{1+a}[/math] [math]y_0=3-\frac{3a}{1+a}[/math]

Подставим в уравнение окружности первого сектора и получим квадратное уравнение: [math]3a^2-12a+3=0[/math]

Решение уравнения: [math]a_{1,2}=2\pm\sqrt3[/math]

Ответ: [math]2-\sqrt3;\;\frac13;\;1;\;3;\;2+\sqrt3[/math]

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 363 504
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?