Вариант 6
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
На офисный стул стоимостью 6800 руб. действует скидка 12 %. Для переговорной комнаты необходимо семь стульев. Во сколько рублей обойдется покупка?
На графике представлены индексы производительности труда в отрасли рыболовства в 2006-2015 гг. По горизонтали указаны года, по вертикали — значения индексов.
Определите, на сколько единиц показатель индекса в 2014 году был выше показателя 2008 года.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён квадрат, вписанный в окружность. Найдите площадь закрашенной фигуры (в см2). Число [math]\pi[/math] считайте равным 3.
Для детского лагеря было закуплено 45 комплектов постельного белья, из них 15 — с героями мультфильмов, 21 — с абстрактным рисунком, а остальные — однотонные. Какова вероятность того, что случайно выбранному ребёнку достанется однотонный комплект?
Решите уравнение [math]49^{log_7(x-5)}-49\;=\;0[/math]
В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса AM. Найдите угол MAC (в градусах), если угол ABD равен 57°.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми x = — 3, x = 1 и осью абсцисс, если F(x) = x3 - 4,5x2 + 12x — 5 — одна из первообразных функции f(x).
В правильной четырехугольной пирамиде S ABCD отмечена точка M — середина ребра SB. Найдите расстояние между точками M и D (в см), если сторона основания равна [math]\sqrt{\frac23}[/math]см, и угол между прямой SB и плоскостью ABC равен 60°.
Найдите значение выражения [math]\frac{sin^4x+cos^4x+0,5sin^22x}{2cos2x+2sin^2x}[/math] при [math]x=\frac\pi3[/math]
Период (в с) свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле [math]T=2\pi\sqrt{\frac mk}[/math], где m — масса груза (в кг), k — жесткость пружины в (Н/м), [math]\pi[/math]=3. Груз какой массы (в кг) нужно закрепить на пружине жесткостью 400 H/м, чтобы период колебаний составил 0,9 с?
Коля и Миша вышли навстречу друг другу из посёлков, расстояние между которыми равно 16 км, и встретились через 2 часа. Если бы Коля собрался к Мише в гости, он преодолел бы расстояние между посёлками за 3 часа 12 минут. Найдите скорость Миши (в км/ч).
Найдите точку минимума функции [math]f(x)=0,5\cdot6^{2x+3}-6^{x-1}[/math]
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
Дано уравнение [math]\log_{2\cos^2x}\left(3-3\sin x\right)=1[/math].
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac{13\pi}2;\;8\pi\right][/math].
А) ОДЗ:
[math]\Rightarrow[/math]
[math]\Rightarrow[/math]
Преобразуем уравнение:
[math]2cos^2x=3-3sinx[/math]
[math]2-2sin^2x-3+3sinx=0[/math]
Пусть [math]sinx=t[/math]
[math]2t^2-3t+1=0[/math]
[math]t_1=1[/math] [math]t_2=\frac12[/math]
Обратная замена:
[math]sinx=\frac12[/math]
[math]x=\left(-1\right)^n\frac\pi6+\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]
[math]sinx=1[/math] - посторонний, т.к. противоречит ОДЗ
Б) Нанесем корни на числовую прямую и убедимся, какие корни входят в отрезок
А) [math]\left(-1\right)^k\cdot\frac\pi6+\pi k,\;k\in Z[/math]
Б) [math]\frac{41\pi}6[/math]
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС и AD. Точка К - середина ребра ВВ1. Плоскость а проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой B1D.
А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.
Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, AD=25, АВ=15, ВВ1=8.
А) Пусть [math]M[/math] - середина [math]AB[/math]. Тогда [math]\alpha\cap(ABB_1)=MK[/math]
Проведем [math]B_1D;BD;KF\parallel B_1D[/math], тогда [math]\alpha\cap(ABC)=MT[/math], где [math]F\in MT[/math]. Точка [math]K[/math]-середина [math]BB_1[/math], [math]KF\parallel B_1D\Rightarrow F[/math] - середина [math]BD[/math] и [math]MF[/math] - средняя линия [math]\bigtriangleup ABD[/math][math]\Rightarrow MT\parallel AD\parallel BC[/math]. Тогда [math]MT\parallel(BCC_1)[/math] и [math]\alpha\cap(BCC_1)=KL\parallel BC[/math].
[math]\alpha\cap(DCC_1)=LT;MKTL=\alpha[/math] - сечение.
Имеем [math]KL\parallel BC\parallel MT;KL=BC\neq MT\Rightarrow MKLT[/math] - трапеция. А так как [math]\bigtriangleup MBK=\bigtriangleup TCL[/math] по двум катетам, то [math]MK=TL[/math] и [math]MKLT[/math] - равнобедренная трапеция.
Б) [math]V_{призмы}=S_{ABCD}\cdot AA_1[/math], [math]BH[/math] - высота [math]ABCD[/math]; [math]AH=\frac{25-7}2=9[/math], тогда [math]BH=12[/math], [math]S_{ABCD}=\frac{25+7}2\cdot12=192;V_{призмы}=192\cdot8=1536[/math]
Плоскость [math]\alpha[/math] разбивает призму на две части, меньшая из которых многогранник [math]MBKTCL[/math]. Плоскость [math]MBL[/math] разбивает этот многогранник на две пирамиды [math]LMBCT[/math] и [math]MBKL[/math], объемы которых обозначим [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] соответственно.
[math]V_1=\frac13S_{MBCT}\cdot CL;CL=4;MBCT[/math] - трапеция, высота которой [math]h=\frac{BH}2=6;MT=\frac{AD+BC}2=16[/math], тогда [math]V_1=\frac13\cdot\frac{7+16}2\cdot6\cdot4=92[/math]
[math]V_2=\frac13\cdot S_{BKL}\cdot\rho(M;(BKL));S_{BKL}=\frac12BK\cdot BC=\frac12\cdot7\cdot4=14[/math]
[math]AD\parallel(BKL);H\in AD\Rightarrow\rho(A;(BKL))=\rho(H;(BKL))=BH=12[/math]
[math]M[/math] - середина [math]AB[/math], тогда [math]\rho(M,(BKL))=\frac{\rho(A;(BKL))}2=\frac{BH}2=6[/math] и [math]V_2=\frac13\cdot14\cdot6=28[/math]
[math]V=V_{призмы}-(V_1+V_2)=1536-(92+28)=1416[/math]
Ответ: 1416
Решите неравенство [math]\frac{8^x-3\cdot2^{2x+1}+2^{x+3}+1}{4^x-3\cdot2^{x+1}+8}\geq2^x-1[/math].
Преобразуем неравенство:
[math]\frac{2^{3x}-6\cdot2^{2x}+8\cdot2^x+1-2^x(2^{2x}-6\cdot2^x+8)+2^{2x}-6\cdot2^x+8}{2^{2x}-6\cdot2^x+8}\geq0[/math]
[math]\frac{1+2^{2x}-6\cdot2^x+8}{2^{2x}-6\cdot2^x+8}\geq0[/math]
Пусть [math]2^x=t[/math]. Тогда
[math]\frac{t^2-6t+9}{t^2-6t+8}\geq0[/math]
[math]\frac{\left(t-3\right)^2}{t^2-6t+8}\geq0[/math]
Нули числителя: [math]t=3[/math] - корень кратности 2
Нули знаменателя: [math]D=36-32=4[/math]
[math]t_1=\frac{6+2}2=4[/math] [math]t_2=\frac{6-2}2=2[/math]
Нанесем на числовую прямую и расставим знаки:
Обратная замена:
Ответ: [math]\left(-\infty;\;1\right)\cup\left\{\log_23\right\}\cup\left(2;\;+\infty\right)[/math]
Хорда АВ окружности параллельна касательной, проходящей через точку С, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.
А) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что ∠APB = 150°.
А) Пусть [math]a[/math] - касательная, данная по условию. [math]a\perp OC[/math] (по свойству касательной к окружности)[math]\Rightarrow a\perp CP[/math], [math]CP\cap AB=K[/math]
[math]a\perp CP;a\parallel AB\Rightarrow AB\perp CP[/math]
По свойству хорды, т.к. [math]AB\perp CP;AB[/math] - хорда [math]\Rightarrow AK=KB[/math]
т.к. [math]AK=KB;\angle AKB=\angle PKB=90^\circ;CK[/math] - общий [math]\Rightarrow\bigtriangleup ACK=\bigtriangleup CKB\Rightarrow AP=PB\Rightarrow\bigtriangleup APB[/math] - равнобедренный, ч.т.д.
Б) [math]\angle PBC=90^\circ[/math], т.к. вписанный и опирается на диаметр
Т.к. [math]\bigtriangleup APK=\bigtriangleup BPK[/math], [math]\angle APK=\angle BPK=\frac{150^\circ}2=75^\circ[/math]
[math]\angle PCB=180^\circ-75^\circ-90^\circ=15^\circ[/math]
[math]\bigtriangleup CKB[/math]: [math]CK=KB\cdot ctg15^\circ=KB\cdot ctg(45^\circ-30^\circ)=KB\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}[/math]
[math]\bigtriangleup PKB[/math]: [math]KP=KB\cdot ctg75^\circ[/math][math]KB\cdot tg15^\circ=KB\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}[/math]
[math]\frac{CK}{PK}=\frac{\left(\sqrt3+1\right)^2}{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}[/math]
Ответ: [math]\frac{CK}{PK}=\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}[/math]
Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 300 млн. руб. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 84 млн. руб. в год, а дополнительные расходы, окажутся равными 5 млн. руб. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 5 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Какое минимальное количество видов новой продукции необходимо освоить, чтобы предприятие стало рентабельным? Какой наибольшей годовой прибыли может добиться предприятие за счёт увеличения ассортимента продукции?
Из условия видно, что решение задачи связано с арифметической прогрессией, где [math]a_1=84-5=79[/math], [math]d=-5[/math],[math]S_n\geq300[/math]
Найдем [math]S_n[/math] и запишем уравнение, когда сумма арифметической прогрессии равна 300 млн рублей,т.е полностью покрывает расходы.
[math]S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2\cdot n=\frac{163n-5n^2}2=300[/math]
[math]5n^2-163n+600=0[/math]
[math]D=163^2-5\cdot4\cdot600=14569[/math]
[math]n_1\approx4.13[/math], [math]n_2\approx28.37[/math]
т.к. n - целое число и n- наименьшее, то [math]n_1=5[/math]
Предприятие будет иметь наибольшую годовую прибыль, если [math]a_n>0[/math], т. е [math]79-5(n-1)>0[/math]
[math]n<16.8[/math] , значит [math]n=16[/math] - наибольшее количество видов новой продукции
Посчитаем сумму арифметической прогрессии для [math]n=16[/math]
[math]S_{16}=(158-75)\cdot8=664[/math]
Наибольшая годовая прибыль: [math]664-300=364\;(млн\;руб)[/math]
Ответ: 5; 364 млн. руб.
Уравнение 2x3 + ax2 + Ьх + c = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй - косинусом, а третий - тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.
Зная корни уравнения, можно преобразовать уравнение в произведение:
[math]2x^3+ax^2+bx+c=2(x-sin\alpha)(x-cos\alpha)(x-tg\alpha)[/math]
Причем [math]x_1=cosx\neq0[/math], т.к. тогда [math]x_3=0[/math] ; [math]x_2\neq0[/math], т.к тогда [math]x_3\nexists[/math]
После раскрытия скобок получаем: [math]2x^3+2x^2(-cos\alpha-sin\alpha-tg\alpha)+2x(sin\alpha cos\alpha+sin\alpha+sin\alpha tg\alpha)+(-2sin^2\alpha)=2x^3+ax^2+bx+c[/math]
Значит [math]a=2(-cos\alpha-sin\alpha-tg\alpha);b=2(sin\alpha cos\alpha+sin\alpha+sin\alpha tg\alpha);c=-2sin^2\alpha[/math]
[math]sin^2\alpha=-\frac c2[/math], исходя из того что по условие коэффициенты- целые числа и [math]sin^2\alpha\geq0[/math], получим три возможных варианта: [math]c=-2;-1;0[/math]
1) [math]c=-2[/math];[math]sin^2x=1\Rightarrow cosx=0[/math] - противоречит условию задачи.
2) [math]c=-1;sin^2x=\frac12[/math] - удовлетворяет условию
3) [math]c=0;sin^2x=0[/math] - не удовлетворяет условию
Значит [math]c=-1[/math], т.е [math]sin\alpha=\frac{\sqrt2}2;cos\alpha=\frac{\sqrt2}2;tg\alpha=1[/math] или [math]sin\alpha=-\frac{\sqrt2}2;cos\alpha=\frac{\sqrt2}2;tg\alpha=-1[/math]
Первый вариант - посторонний, т.к тогда [math]a=2(-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2-1)[/math] - не целое число, что противоречий условию
При втором варианте после подстановки значений: [math]a=2;b=-1;c=-1[/math]
Ответ: 2x3+2x2-x-1=0
В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.
A) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?
Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?
B) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое-то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.
А) Да, можно. Мы знаем, что гораздо удобнее работать с такими числами,как 1,0,-1. Так мы увидим общую картину. Приведем таблицу к этим значениям:
Заметим, что "-1" больше всех, соответственно к этому числу привести будет проще всего:
Б) Представим, что перед нами шахматная доска
Имеем, что в любом случае один цвет клетки выступает в роли основного, которое "доводится" до определенного значения, а второй цвет, соседняя клетка, в роли второстепенной. Общая сумма чисел на черных и белых клетках остается неизменной (инвариантной). Имеем изначальные данные: черные - 4+6+8+1+3=22, белые - 2+5+7+9=23, что противоречит условию. Следовательно, нельзя
В) Сделаем так, чтобы оказалось восемь нулей и обнаружим нужное нам N (Мы знаем, что гораздо удобнее работать с такими числами,как 1,0,-1. Так мы увидим общую картину)
Значит N=1;-1
А) да (все числа равны (-1)); Б) нет; В) -1 или 1
| № | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
|---|---|---|---|
|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |
|||