Вариант 4

А) Преобразуем левую часть уравнения и получим следующее:

[math]\frac{2sin(2x)cosx}{cosx}=1[/math]

ОДЗ: [math]cosx\neq0[/math] , [math]x\neq\frac\pi2+\pi n,n\in Z[/math]

[math]2sin2x=1[/math]

[math]sin2x=\frac12[/math]

[math]x_1=\frac\pi{12}+\pi k,\;k\in Z[/math]

[math]x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие из них войдут в отрезок

Ответ: А) [math]\frac\pi{12}+\pi k,\;\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;k,n\in Z;[/math]

Б) [math]\frac\pi{12};\;\frac{5\pi}{12}[/math]

Решение:

Все ребра равны, правильная призма, [math]C_1K=CK[/math]

А) Доказать, что [math]AB_1\perp KB[/math]

Совершим параллельный перенос прямой КВ так, чтобы она проходила через точку [math]B_1[/math], пересекает [math]С_1С[/math] в т. [math]К_1[/math]

[math]\bigtriangleup СВК=\bigtriangleup С_1В_1К_1[/math] (по катет и острому углу):

[math]С_1В_1=СВ[/math], [math]\angle С_1В_1К_1=\angle СВК\Rightarrow К_1С_1=КС[/math]

Имеем, что [math]\angle(АВ_1;КВ)=\angle(АВ_1;К_1В_1)[/math]

Пусть а - длина ребра

Из [math]\bigtriangleup С_1К_1В_1[/math], [math]\angle С_1=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]К_1В_1=\sqrt{а^2+\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt5}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math], [math]\angle С=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]АК_1=\sqrt{а^2+\frac{9а^2}4}=\frac{а\sqrt13}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math]: [math]\angle В=90^\circ[/math] по теореме Пифагора: [math]АВ_1=\sqrt{а^2+а^2}=а\sqrt2[/math]

Проверим, является ли [math]\bigtriangleup АК_1В_1[/math] прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора

[math]АК_1^2=АВ_1^2+К_1В_1^2[/math]

[math]\frac{а^2\cdot13}4=а^2\cdot2+\frac{а^2\cdot5}4[/math] - верно

Следовательно,[math]\bigtriangleup АВ_1К_1=90^\circ\Rightarrow\angle(АВ_1;К_1В_1)=\angle(АВ_1;КВ)\Rightarrow АВ_1\perp КВ[/math]

Б) Построим [math]С_1Н\perp А_1В_1[/math], [math]К_1H'\perp(AA_1B_1)[/math]

[math]C_1H\parallel K_1H'[/math] , [math]C_1K_1\parallel HH'\Rightarrow C_1H=K_1H'[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup С_1В_1H[/math] [math]\angle H=90^\circ[/math], [math]C_1H=\sqrt{C_1B_1^2-HB_1^2}[/math], по теореме Пифагора [math]HB_1=\frac12a[/math] ( по свойству равнобедренного треугольника)

[math]С_1Н=\sqrt{а^2-\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt3}2=К_1Н'[/math]

Рассмотрим пирамиду [math]K_1B_1BA[/math]:

С одной стороны [math]V_п=\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math]

С другой стороны [math]V_п=\frac13h[/math] * [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}[/math]

[math]\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math] = [math]\frac13h\ast S_{\bigtriangleup AK_1B_1}\Rightarrow h=\frac{K_1H'\ast S_{\bigtriangleup ABB_1}}{S_{\bigtriangleup AK_1B_1}}[/math]

[math]S_{\bigtriangleup ABB_1}=\frac12a^2[/math], [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2[/math]

[math]h=\frac{\frac{a\sqrt3}2\cdot\frac{a^2}2}{\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2}=a\frac{\sqrt3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

Ответ: [math]\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

ОДЗ:

Решение системы: [math]x\in\left[-8;-2\right]\cup\lbrack2;3)\cup(3;+\infty)[/math]

Найдем нули числителя:

[math]\sqrt{log_2(x^2-3)}-\sqrt{log_2(x+9)}=0[/math]

[math]log_2(x^2-3)=log_2(x+9)[/math]

[math]x^2-3=x+9[/math]

[math]x^2-x-12=0[/math]

[math]x_1=-3[/math], [math]x_2=4[/math]

Нули знаменателя: [math]log_2(x^2-6x+9)=0[/math]

[math]x^2-6x+9-1=0[/math]

[math](x-4)(x-2)=0[/math]

[math]x_1=4[/math] – корень кратности 2

[math]x_2=2[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и расставим знаки:

Учитывая ОДЗ, получим: [math]x\in[/math] [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Ответ: [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Решение:

A) [math]P_{\bigtriangleup AMP}=AM+MP+AP[/math]

PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS

AM=AN-MN, AP=AS-PS

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=MN+S+AN-MN+AS-PS=AN+AS=2AN=AB[/math] (т.к. NB=AN)

Б) [math]\bigtriangleup ONE=\bigtriangleup OLK[/math] ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, [math]\angle LOK=\angle NOE[/math]

Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD

[math]\bigtriangleup PAM\sim\bigtriangleup PDK[/math] (по двум углам) [math]\angle DPK=\angle APM[/math] как вертикальные , [math]\angle A=\angle D=90^\circ\Rightarrow\frac{DK}{AM}=\frac{DP}{AP}=\frac{BE}{AM}[/math]

AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=AP+\frac14AB+\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}=AB[/math]

[math]\frac34AB-AP=\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}[/math], [math]\frac9{16}AB^2-\frac32AB\cdot AP+AP^2=AP^2+\frac{AB^2}{16}\Rightarrow\frac32AP=\frac12AB[/math], [math]AP=\frac13AB[/math], [math]PD=\frac23AB[/math]

[math]AM=\frac13BM\Rightarrow\frac{BE}{\frac13BM}=\frac{\frac23AB}{\frac13AB}[/math], [math]\frac{BE}{BM}=\frac23[/math]

Ответ: 2:3

Пусть x– цена первого сорта, y – цена второго сорта, a – количество первого сорта, b – количество второго сорта. Получим, что в магазин поступило xa+yb=4,5. В первом случае получим следующее уравнение: y(a+b)=4,5-0,5 , во втором случае: x(a+b)=4,5+0,3

В итоге получим систему из трех уравнений:

1) Из первого отнимем второе, и из первого отнимем третье.Получится система из двух новых уравнений

Разделим первое на второе: [math]b=\frac35a[/math]

2) Разделим в исхдной системе второе уравнение на первое:[math]y=\frac4{4.8}x[/math]

3) Подставим найденные соотношения в первое уравнение:

[math]xa+\frac4{4.8}x\cdot\frac35a=4.5[/math]

[math]\frac32xa=4.5[/math]

[math]xa=\frac{45\cdot2}{10\cdot3}=3[/math]

4) [math]xa+xb=4.5\Rightarrow xb=4.5-xa=4.5-3=1.5[/math]

Ответ: 3 млн. руб. и 1,5 млн. руб.

Решение: преобразуем первое уравнение: [math](\left|x\right|-1)^2+(\left|y\right|-1)^2=2[/math]

Имеем окружность с радиусом [math]R=\sqrt2[/math] и центром О(1,1). Пример применим свойства модулей на графике и получим следующее:

Точка (0;0) тоже входит в график окружности. Чтобы получить гарантированно три решения, должна быть одна точка-фиксированная,т. е получим следующие варианты :

Уравнение прямой: [math]y=ax+(3-3a)[/math]

1 сл: y=0, x=2. Тогда а=3

2 сл: x=0, y=2. Тогда а= 1/3

3 сл: y=0, x=0. тогда а=1

4 и 5 сл: прямая касается одного сектора и пересекает второй в двух точках. Найдем уравнение касательной: [math]x^2-2x+y^2-2y=0[/math]

[math]a_4=-2;a_5=-2;a_6=0[/math]

Получаем уравнение касательной: [math](x_0+\frac{-2}2)x+(\frac{-2}2+y_0)y+(\frac{-2x_0-2y_0}2+0)=0[/math]

[math](x_0+-1)x+(-1+y_0)y+(-x_0-y_0)=0[/math]

Все прямые проходят через точку (3;3), то есть имеем уравнение [math]3(x_0+-1)+3(-1+y_0)+(-x_0-y_0)=0[/math] и исходное уравнение [math]-y_0+ax_0+(-3a+3)[/math]

Решим систему из этих двух уравнение и получим следующие значения:[math]x_0=\frac{3a}{1+a}[/math] [math]y_0=3-\frac{3a}{1+a}[/math]

Подставим в уравнение окружности первого сектора и получим квадратное уравнение: [math]3a^2-12a+3=0[/math]

Решение уравнения: [math]a_{1,2}=2\pm\sqrt3[/math]

Ответ: [math]2-\sqrt3;\;\frac13;\;1;\;3;\;2+\sqrt3[/math]

А) Если число заканчивается четырьмя нулями, то мы его можем записать в виде [math]10000\\\\cdot x=10^4x=x\\\\cdot5^4\\\\cdot2^4[/math]

т.е. 2 и 5 имеют четные показатели. Чтобы эти показатели стали нечетными, то есть число стало интересным, необходимо иметь в делителях числа еще одну двойку и пятерку, то есть имеет делитель на 10, это значит число имеет 5 нулей, что противоречит условию. Следовательно такого быть не может

Б) Будем отталкиваться от чисел, которые точно являются неинтересными, это числа 4, 9, 25, 49 и т.д.( т.е произведение двух одинаковых простых чисел)

Рассмотрим соседей этих чисел и исследуем все возможные варианты:

3, 4, 5 – из них 3 и 5 – интересные. Следовательно 4 – не подходит.

8, 9, 10 – из них 8 и 10 – интересные. Следовательно 9 – не подходи

48, 49, 50 – 48,50- неинтересные числа. Подходит вариант.

В) Предположим, что таких чисел 8. Одно из них будет иметь остаток от деления на 8- 4- следовательно не будет интересным. Значит имеем максимально количество последовательно интересных чисел- 7. Произведем перебор. Неинтересные числа: 4, 9, 12, 16, 18, 20 , 25, 28, 36 и т.д. Видим, что числа 29-36-интересные и их 7. Задача решена

Ответ: А) нет; Б) да, например, 48, 49, 50; В) 7 (например, числа от 29 до 35)