Демонстрационный вариант
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см2.
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
Найдите корень уравнения [math]3^{x-5}=81[/math].
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32. Ответ дайте в градусах.
На рисунке 47 изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, ... x9. Сколько из этих точек лежат на промежутках возрастания функции f(x)?
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.
Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением [math]v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}[/math], где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Весной катер идёт против течения реки в [math]1\frac23[/math] раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в [math]1\frac12[/math] раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Найдите точку максимума функции [math]y=\ln\left(x+4\right)^2+2x+7[/math].
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение [math]\cos2x=1-\cos\left(\frac\pi2-x\right)[/math].
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -π).
а) Преобразуем обе части уравнения:
[math]1-2\sin^2x=1-\sin x;\;2\sin^2x-\sin x=0;\;\sin x(2\sin x-1)=0,[/math] откуда [math]\sin x=0[/math] или [math]\sin x=\frac12[/math]
Из уравнения [math]\sin x=0[/math] находим: [math]x=\mathrm{πn},[/math] где [math]\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]
Из уравнения [math]\sin x=\frac12[/math] находим: [math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},[/math] где [math]\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math]
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку [math]\lbrack-\frac{5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi).[/math]
Получаем числа:
[math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].
Ответ:
а) [math]\pi n,\;n\in\mathbb{Z};\;\left(-1\right)^k\frac\pi6+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}[/math]
б) [math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].
В основание цилиндра высотой 60 и радиусом основания 15 вписан остроугольный треугольник АВС, в котором ВС = 10, АВ = АС.
а) Постройте сечение призмы АВСА1В1С плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярную плоскостям СВВ1и ВА1С, если АА1, ВВ1и СС1 — образующие цилиндра.
б) Найдите величину угла между плоскостями СВВ1 и ВА1С.
Решение:
а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок) . Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_1\parallel BB_1[/math], значит, [math]FF_1\perp(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_1\perp BC[/math]. Так как [math]FF_1\perp BC[/math] и [math]A_1F\perp BC,\;[/math] [math](AFF_1)\perp BC,\;[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC\;[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C\;[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]AFF_1A_1[/math]
б) Угол между плоскостями [math]CA_1B[/math] и [math]CBB_1[/math] - это угол [math]\angle A_1FF_1[/math]
[math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] - прямоугольный, [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]
[math]\bigtriangleup ABC[/math] - равнобедренный (по условию), [math]CF=\frac{BC}2=5[/math]
[math]\bigtriangleup COF[/math] - прямоугольный, [math]OF=\sqrt{CO^2-CF^2}=\sqrt{15^2-5^2}=10\sqrt2[/math]
[math]AF=AO+OF=15+10\sqrt2=5(3+2\sqrt2)[/math][math]AF=A_1F_1[/math]
[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{5(3+2\sqrt2)}{60}=\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]
Ответ: [math]arctg\;\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]
Решите неравенство [math]\left(4-x\right)\left(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1\right)>0[/math].
Решение:
ОДЗ: [math]x>0[/math]
[math]\begin{array}{l}(4-x)(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1)>0\\(x-4)(\log_{11}x-1)(2\log_{11}-1)<0\end{array}[/math]
на ОДЗ выражение [math]\log_{11}x-1=\log_{11}x-\log_{11}11[/math] совпадает по знаку с выражением [math]x-11[/math], выражение [math]2\log_{11}x-1=2(\log_{11}x-\log_{11}\sqrt{11})[/math] - с выражением [math]x-\sqrt{11}[/math]. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно [math](x-4)(x-\sqrt{11})(x-11)<0[/math]. Решив его методом интервалов, получим [math]x\in(-\infty;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]. Учитывая ОДЗ, [math]x\in(0;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]
Ответ: [math]\left(0;\;\sqrt{11}\right)\cup\left(4;\;11\right)[/math].
Две окружности с центрами О и О1, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной АС равна 6√3
а) Докажите, что угол АОО1 равен 120° (ОА — радиус, проведённый в точку касания).
б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.
Решение:
а) Заметим, что [math]OA\perp AC[/math] и [math]O_1C\perp AC[/math] по свойству радиусов, проведенных в точку касания (см. рисунок). Опустим [math]OK\perp OC_{1\;}[/math] ([math]K[/math] лежит на [math]O_1C[/math]). Пусть [math]OA[/math] равно [math]R[/math], тогда [math]O_1C=3R,\;OACK[/math] - прямоугольник, [math]KC=OA=R[/math]. Значит, [math]O_1K=2R[/math]. [math]M[/math] - точка касания окружностей, [math]OM=R,\;O_1M=3R[/math]. В прямоугольном треугольнике [math]OO_1K[/math] катет [math]O_1K=2R[/math], гипотенуза [math]OO_1=OM+MO_1=4R,[/math] то есть катет [math]O_1K[/math] равен половине гипотенузы, откуда [math]\angle O_1OK=30^\circ[/math], [math]\angle AOO_1=\angle AOK+\angle O_1OK=120^\circ[/math], что и требовалось доказать.
В треугольнике [math]OO_1K[/math] по теореме Пифагора [math]OK=\sqrt{(4R)^2-(2R)^2}=2\sqrt3R.[/math] [math]AC=OK=2\sqrt3R=6\sqrt3,\;[/math] следовательно, [math]R=3.[/math]. Длина окружности с центром [math]O[/math] равна [math]2\mathrm{πR}=6\mathrm\pi[/math]. Длина окружности с центром [math]{\mathrm O}_1[/math] равна [math]2\mathrm\pi(3\mathrm R)=18\mathrm\pi[/math]. [math]\angle A_1OA=360^\circ-\angle AOO_1-\angle A_1OO_1=120^\circ[/math] (см. рисунок). Значит длина внешней дуги меньшей окружности равна[math]6\mathrm\pi\frac{120^\circ}{360^\circ}=2\mathrm\pi[/math]. Ясно, что [math]\angle{\mathrm{OO}}_1\mathrm C=60^\circ,[/math][math]\angle{\mathrm{CO}}_1{\mathrm C}_1=120^\circ,[/math], значит длина внешней дуги большей окружности равна [math]\frac{240^\circ}{360^\circ}\times18\mathrm\pi=12\mathrm\pi[/math]
искомый периметр равен [math]{\mathrm A}_1{\mathrm C}_1+2\mathrm\pi+\mathrm{AC}+12\mathrm\pi=12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]
Ответ: [math]12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]
Предприниматель взял в аренду на 3 года помещения на условиях ежегодной платы (в конце года) С рублей. Имея некоторый первоначальный капитал, он удвоил его в течение года и оплатил аренду. Такая схема деятельности осуществлялась все три года. В результате в конце третьего года деятельности, после оплаты аренды предприниматель имел капитал в три раза превышающий первоначальный. Определите величину первоначального капитала, если аренда С составляла 12000 рублей.
Пусть [math]x[/math] рублей первоначальный капитал предпринимателя, тогда [math]2x-С[/math] рублей - капитал после первого года
[math]2(2x-С)-C=4x-3c[/math] рублей - капитал после второго года.
[math]2(4x-3С)-C=8x-7c[/math] рублей - капитал после третьего года.
По условию к концу третьего года после оплаты аренды капитал предпринимателя в три раза превысил первоначальный, следовательно [math]8x-7c=3x[/math]
[math]x=1,4\times12000=16800[/math]
Ответ: 16800 рублей
Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения [math]2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)-4a=0[/math] принадлежит отрезку [-4; 0].
Рассмотрим функцию [math]f(x)=2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)[/math]. Она определена при [math]x\leq\frac94[/math] и убывает на всей области определения. Значит, уравнение [math]f(x)-4a=0[/math] может иметь только единственное решение (при соответствующих значениях параметра [math]a[/math]). Это решение принадлежит отрезку [math]\lbrack-4;0\rbrack[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(-4)-4a\geq0;\;f(0)-4a\leq0[/math]. Получаем систему неравенств:
[math]\left\{\begin{array}{l}10+14-4a\geq0\\6+7-4a\leq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4a-24\leq0\\4a-13\geq0\end{array}\right.[/math]
Откуда [math]\frac{13}4\leq a\leq6[/math]
Ответ: [math]\left[\frac{13}4;6\right][/math]
Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).
а) Сколько существует шестизначных палиндромов, каждая цифра в которых встречается не больше двух раз?
б) Существует ли пара натуральных чисел (а;b), таких, что никакая натуральная степень числа а не является палиндромом, а любая степень числа b является?
в) Сколько существует упорядоченных пар (х; у), где х,у — двузначные палиндромы, х≠y, x + у — палиндром, причём нечётный?
Решение:
a) Шестизначный палиндром имеет вид [math]\overline{xyzzyx}[/math]. Цифру [math]x[/math] можно выбрать 9 способами (x[math](x\neq0)[/math]), после этого [math]y[/math] - тоже 9 способами [math](y\neq x)[/math], затем [math]z[/math] - 8 способами. Всего [math]9\times9\times8=648[/math] таких палиндромов.
б) Да, приведем примеры: [math]a=10,\;b=1.[/math] [math]a^n=10^n[/math] - не является палиндромом, [math]b^n=1[/math] - палиндром.
в) Все двузначные палиндромы, очевидно, имеют вид [math]11a[/math], [math]1\leq a\leq9[/math]. Пусть первый палиндром равен [math]11\alpha[/math] , второй [math]11\beta[/math], тогда их сумма - [math]11(\alpha+\beta)<200[/math] . Среди трехзначных чисел, меньших 200, все палиндромы имеют вид [math]1y1[/math], где [math]y[/math] - цифра. На 11 из них делится только 121. Значит суммой двузначных палиндромов, являющейся палиндромом, может быть одно из чисел 33,55,.....,121, то есть одно из чисел [math]11t.\;3\leq t\leq11,\;t[/math] - нечетно. Для каждого [math]t[/math] найдем количество его представлений в виде суммы [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta,\;(\alpha\neq\beta).\\\end{array}[/math]
Если [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta\\\end{array}[/math], то [math]\begin{array}{l}\alpha=1,...,t-1\\\end{array}[/math], при этом [math]\begin{array}{l}\alpha\neq\beta\\\end{array}[/math], так как [math]t\;[/math] нечетно. То есть для каждого [math]t\;-(t-1)[/math] способов. Тогда искомое число вариантов равно [math]2+4+6+8+10=30[/math].
Однако при таком подсчете для [math]t=11[/math] мы посчитали два лишних представления [math](121=110+11=11+110)[/math], так как число [math]110[/math] не является палиндромом. Значит, всего 30-2=28 вариантов.
Ответ: а) 648; б) да; в) 28.
| № | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
|---|---|---|---|
|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |
|||