Вариант 13

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высота BH и биссектриса AN пересекаются в точке О. Найдите угол BNA, если угол B равен 80°. Ответ дайте в градусах.

Координаты веĸтора [math]\vec a\;\left\{7\;;\;10\right\}\;\;\;\vec b\;\left\{x\;;\;-12\right\}[/math] .

Сĸалярное произведение равно 20. Найдите х.

Цилиндр и ĸонус имеют общее основание и высоту. Объем ĸонуса 150. Найдите объем цилиндра.

Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам – по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

В коробке лежит стандартный комплект из 32 шахматных фигур. Найдите вероятность того, что случайно взятая из коробки фигура окажется слоном.

Решите уравнение [math](2x-1)^2=2x-4x^2[/math]. Если корней несколько, укажите меньший из них.

Найдите значение выражения [math]\frac{\sqrt[5]{\sqrt{x^{24}}}}{\sqrt[10]{x^4}}[/math] при x = — 3.

На рисунке представлен график производной функции y = f(x) на интервале [—4; 9]. Найдите точку минимума функции y = f(x) на данном промежутке.

Период свободных колебаний (в с) пружинного маятника определяется по формуле [math]T=2\pi\sqrt{\frac mk}[/math], где m — масса груза (в кг), k — жесткость пружины (в Н/м), [math]\pi=3[/math]. Груз какой массы (в кг) нужно закрепить на пружине жёсткостью 400 Н/м, чтобы период колебаний составил 0,9 с?

Два спортсмена отправились в велопробег длиной 108 км. Известно, что один из них двигался быстрее другого на 9 км/ч, но во время гонки его велосипед сломался и в течение 30 минут осуществлялся ремонт. После ремонта велосипедист продолжил движение и в результате прибыл на финиш на 30 минут раньше соперника. Определите, сколько часов потратил на преодоление всего пути велосипедист, прибывший на финиш вторым.

На рисунĸе изображен графиĸ [math]f\left(x\right)=k\sqrt x[/math].

Найдите k.

Найдите точку максимума функции y = 4•ln3x — 2x — 7.

Дано уравнение [math]\log_3^2\left(-tgx\right)-\log_3\sqrt{-tgx}=0[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу [math]\left(4\pi;\;\frac{11\pi}2\right)[/math].

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежит на ребре DD₁ так, что DM:D₁M=1:2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно BD₁, пересекает ребро CD в точке Р.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости АМР, если известно, что АВ=12, ВС=9, АА₁=36.

Решите неравенство [math]\frac{4^x-3\cdot2^x+3}{2^x-2}+\frac{4^x-5\cdot2^x+3}{2^x-4}\leq2^{x+1}[/math].

Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м³ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин - второй. Сколько воды поступало в час во второй бассейн? За какое время наполнился второй бассейн?

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D - точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем ∠OCK = ∠ODK.

а) Докажите, что ∠CKB = ∠DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что OK = 3,6, BK = 9,6, ∠OCK = ∠ODK = 30°.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

не имеет решений.