Вариант 8

[math]f'(x)=2\cos\left(x\right)^2+2[/math]

[math]2\cos\left(x\right)^2+2=0[/math]

[math]\cos\left(x\right)^2=-1[/math] - не существует

[math]f(\frac\pi2)=1+\pi+1=2+\pi[/math]

f(0)=1 - наименьшее значение функции на заданном промежутке

А) Преобразуем уравнение:

[math]\left(25^{sinx}\right)^{cos2x}=5^{sin(\pi-x)}[/math]

[math]\left(25^{sinx}\right)^{1-2sin^2x}=5^{sinx}[/math]

[math]5^{2(sinx-2sin^3x)}=5^{sinx}[/math]

снования равны, значит и показатели равны

[math]2(sinx-2sin^3x)=sinx[/math]

[math]sinx(1-4sin^2x)=0[/math]

[math]sinx=0[/math]

[math]x=\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]1-4sin^2x=0[/math]

[math]1-4(1-cos^2x)=0[/math]

[math]cos^2x=\frac34[/math]

[math]cosx=\pm\frac{\sqrt3}2[/math]

[math]x=\pm\frac\pi6+\pi n[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим попадание в отрезок:

Ответ: А) [math]\pm\frac\pi6+\pi n,\;\pi k;\;n,\;k\in Z[/math]

Б) [math]-\pi;\;-\frac{5\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math]

А) [math]K\in(AEM)\Rightarrow AK\in(AEM)[/math], [math]EL\parallel AK\Rightarrow EL\in(AEM)[/math] (т.к. [math](AA_1B_1)\parallel(EE_1D_1)[/math])

Получим [math]AKMLE[/math] - сечение призмы

Продолжим [math]KM[/math] и[math]AE[/math] до пересечения в т.[math]Z[/math]

[math]Z\in BC[/math], т.к. [math]BC[/math] - проекция [math]KM[/math] на [math](ABC)[/math]

[math]\bigtriangleup ZKB\sim\bigtriangleup ZMC[/math] (по двум углам):

[math]\angle Z[/math] - общий, [math]\angle KBZ=\angle MCZ=90^\circ[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{ZB}{ZC}[/math], [math]ZC=ZB+a[/math], где [math]a=BC[/math] - длины стороны основания [math]KA\perp ZE[/math] (по теореме о трех перпендикулярах) [math]\Rightarrow ZA\perp AB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABZ[/math], [math]\angle BAZ=90^\circ[/math], [math]AB=a[/math], [math]\angle ZBA=180^\circ-\angle ABC=60^\circ[/math] (как смежный с [math]\angle ABC[/math])

[math]\Rightarrow ZB=\frac{AB}{cos(\angle ZBA)}=\frac a{cos60^\circ}=2a[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{2a}{2a+a}=\frac23;BK=\frac23MC=\frac23\cdot\frac14CC_1=\frac16CC_1=\frac16BB_1[/math]

[math]BK=\frac16(BK+B_1K);\;\frac56BK=\frac16B_1K\Rightarrow\frac{BK}{B_1K}=\frac15[/math]

Б) [math]S_{AKMLE}-?[/math]

[math]S_{AKMLE}=S_{AKLE}+S_{KML}[/math], [math]AKLE[/math] - прямоугольник

[math]S_{AKLE}=AK\cdot AE[/math]

Из [math]\bigtriangleup AFE[/math] по теореме косинусов: [math]AE=\sqrt{9+9+2\cdot9\cdot0.5}=3\sqrt3[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABK[/math] по теореме Пифагора: [math]AK=\sqrt{9+\left(\frac16\cdot8\right)^2}=\frac13\cdot\sqrt{97}[/math]

[math]S_{AKLE}=3\sqrt3\cdot\frac13\sqrt{97}=\sqrt{291}[/math] [math]S_{KML}=\frac12MH\cdot KL=\frac{3\sqrt3}2MH[/math], где [math]MH\perp KL[/math]

Из [math]K[/math] опустим перпендикуляр [math]KT[/math] на [math]CC_1\Rightarrow KT=BC=3;KB=TC=\frac16\cdot8=\frac43[/math]

Из [math]\bigtriangleup KTM[/math] по теореме Пифагора: [math]KM=\sqrt{KT^2+TM^2};TM=\frac14CC_1-TC=\frac14\cdot8-\frac43=\frac23[/math]

[math]KM=\sqrt{9+\frac49}=\frac13\sqrt{85}[/math]

Аналогично [math]ML=\frac13\sqrt{85}[/math][math]\Rightarrow\bigtriangleup KML[/math] - равнобедренный и [math]KH=HL=\frac{3\sqrt3}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup KMH[/math] по теореме Пифагора: [math]MH=\sqrt{KM^2-KH^2}=\sqrt{\frac{85}9-\frac{27}4}=\frac{\sqrt{340-243}}6=\frac{\sqrt{97}}6[/math]

[math]\Rightarrow S_{KML}=\frac{3\sqrt3}{2\cdot}\frac{\cdot\sqrt{97}}6=\frac14\sqrt{291}[/math]

Итого, [math]S_{AKMLE}=\sqrt{291}+\frac14\sqrt{291}=\frac54\sqrt{291}[/math]

Ответ: [math]\frac{5\sqrt{291}}4[/math]

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math]\frac9{3+log_3x(2-log_3x)}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac9{3-\left(log_3x\right)^2+2log_3x}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac{-9-(\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3)(\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-9-(\left(\left(log_3x\right)^2+2log_3x\right)^2-9)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-\left(log_3x\right)^4+4\left(log_3x\right)^3-4\left(log_3x\right)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(\left(log_3x\right)^2-4log_3x+4)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(log_3x-2)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

Нули числителя: [math]log_3x=0[/math]

[math]x=1[/math] - корень кратности 2

[math]\left(log_3x-2\right)=0[/math]

[math]log_3x=2[/math]

[math]x=9[/math] - корень кратности 2

Нули знаменателя: [math]log_3x=-1[/math] [math]x=\frac13[/math]

[math]log_3x=3[/math] [math]x=27[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и, учитывая ОДЗ, определим знаки и промежутки:

Ответ: [math]\left(0;\;\frac13\right)\cup\left\{1;\;9\right\}\cup\left(27;\;+\infty\right)[/math]

Решение:

Посчитаем итоговую сумму за 2016 год: 100*1,1=110 (тыс руб)

За два года (2016-2017): 110*1,1=121 (тыс руб)

Пусть Валерий снимет n тыс рублей 1 марта 2018 года. Тогда сумма вклада составит за третий год хранения: (121-n)*1,1

За четвертый год хранения: 1,1*((121-n)*1.1)

По условию:[math]1.21\ast(121-n)\leq130[/math]

Решим неравенство: [math]n\leq13.5619\Rightarrow n=13[/math]

Ответ: 13

А) [math]\bigtriangleup AKE\sim\bigtriangleup DCE[/math] (по двум углам): [math]\angle KEA=\angle DEC[/math] - вертикальные, [math]\angle KАЕ=\angle DСЕ[/math] - накрест лежащие при [math]AB\parallel CD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{AK}{CD}=\frac{AE}{EC}=\frac13[/math], [math]\frac{AK}{AB}=\frac13[/math]

[math]\frac{BA-BK}{AB}=\frac13\Rightarrow\frac{BK}{AB}=\frac23[/math]

[math]\bigtriangleup CMP\sim\bigtriangleup ADP[/math] ( по двум углам): [math]\angle MPC=\angle DPA[/math] - вертикальные, [math]\angle MCP=\angle DAP[/math] - накрест лежащие при [math]BC\parallel AD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{MC}{AD}=\frac{CP}{AP}=\frac13[/math], [math]\frac{MC}{BC}=\frac13[/math] [math]\Rightarrow\frac{BM}{BC}=\frac23[/math]

[math]\frac{BK}{AB}=\frac23[/math], [math]\frac{BM}{BC}=\frac23[/math], [math]\angle B[/math] - общий[math]\Rightarrow\bigtriangleup KBM\sim\bigtriangleup ABC[/math] (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)[math]\Rightarrow\angle BMK=\angle BCA[/math], [math]\angle BKM=\angle BAC\Rightarrow KM\parallel AC[/math], ч.т.д.

Б) [math]S_{ABCD}=2(S_{AKEPM}+S_{AEK}+S_{CPM})[/math]

Из точки D опустим перпендикуляр DH на AC

[math]S_{\bigtriangleup ACD}=\frac12S_{ABCD=}\frac12AC\cdot DH[/math], [math]S_{\bigtriangleup ECD}=\frac12EC\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup APD}=\frac12AP\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math]

[math]\Rightarrow[/math] (смотрите п.А) [math]S_{\bigtriangleup AKE}=\frac19S_{\bigtriangleup ECD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup CMP}=\frac19S_{\bigtriangleup APD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math]

Тогда [math]S_{ABCD}=2S_{BKEPM}+\frac6{72}S_{ABCD}+\frac6{72}S_{ABCD}\Rightarrow S_{ABCD}=72[/math]

Ответ: 72

т.к. sinx - функция периодическая с периодом [math]2\pi[/math], то на промежутке [math]\left[-\frac\pi2;\;2\pi\right][/math] уравнение будет иметь один или два корня.

Имеем три случая: 1) в ходе преобразования получим полный квадрат, имеем два одинаковых корня; 2 и 3) в ходе нахождения корней квадратного уравнения относительно sinx получим [math]\left|sinx\right|>1[/math], а второй 1

1 сл: [math]4(sin^2x-asinx+\frac{a^3-a^2}4)=0[/math]

Тогда [math]a=2b;\frac{a^3-a^2}4=b^2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2[/math]

Для двух остальных случаев найдем решение квадратного уравнения:

[math]D=16a^2-16(a^3-a^2)=32a^2-16a^3[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{4a\pm\sqrt{32a^2-16a^3}}8=\frac{a(1\pm\sqrt{2-a})}2[/math]

2 сл: [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math]a=\pm2[/math], при том [math]a=2[/math] не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

3 сл: [math]\left|\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math] a=1;a=2 [/math], при том оба корня не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

Ответ: -2; 2