Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 8

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

KM — средняя линия равнобедренной трапеции ABCD. Нижнее основание DC равно 20 см, верхнее основание в 2 раза меньше нижнего основания. Найдите площадь четырехугольника ABMK (в см2), если площадь трапеции ABCD равна 120 см​2.

Вариант 8

2
2

Скалярное произведение векторов равно 20.

[math]\vec a\left\{5\;;\;4\right\}\;\;\;\vec b\left\{x\;;\;7\right\}[/math]

Найдите ĸвадрат длины веĸтора [math]\;\vec b[/math]

3
3

Из куба, ребро ĸоторого равно 1 вырезали правильную четырехугольную призму со стороной основания 0,75 и боĸовым ребром 1. Найдите объем оставшейся части куба.

4
4

В большом ящике находится 900 карточек с записанными на них натуральными числами от 1 до 900. Наугад из ящика достают одну карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет написано двузначное число.

5
5

В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме «Кант». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кант».

6
6

Найдите целый корень уравнения [math]\sqrt[5]{2^x+16}=2[/math]

7
7

Найдите значение выражения [math]\frac{log_2log_2log_2256}{log_29}[/math]

8
8

На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x) на отрезке от [−7; 6]. Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции y=f(x), принадлежащих отрезку [−4; 4].

Вариант 8

9
9

Потенциальная энергия Ep (в Дж) сжатой пружины может быть вычислена по формуле [math]E_p=\frac{k(x_0-x_1)^2}2[/math], где k — коэффициент жесткости пружины (в H/m), x0 и x1 — длина пружины до и после сжатия соответственно (в м). Известно, что при сжатии пружины жесткостью 5 Н/м до 1 м ее потенциальная энергия составила 10 Дж. Определите длину пружины (в м) до сжатия.

10
10

Велогонщику предстоит преодолеть несколько участков пути по 30 км каждый. Известно, что на каждом следующем участке пути скорость гонщика уменьшается на одно и то же значение по сравнению с предыдущими 30 км. Определите, сколько времени (в часах) займет у велосипедиста преодоление шестого участка, если известно, что первый участок он проехал за 1 час 12 минут, а скорость на 4 участке составляла 22 км/ч.

11
11

На рисунке изображен график [math]f\left(x\right)=\frac kx+a[/math].

Найдите при каком значении x, [math]f\left(x\right)=1,75[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=sin^2x+2x+1[/math] на промежутке Вариант 8.

Показать ответ
[math]f'(x)=2\cos\left(x\right)^2+2[/math]

[math]2\cos\left(x\right)^2+2=0[/math]

[math]\cos\left(x\right)^2=-1[/math] - не существует

[math]f(\frac\pi2)=1+\pi+1=2+\pi[/math]

f(0)=1 - наименьшее значение функции на заданном промежутке

13

Дано уравнение [math]\left(25^{\sin x}\right)^{\cos2x}=5^{\sin\left(\pi-x\right)}[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{5\pi}4;\;-\frac\pi4\right][/math].

Показать ответ

А) Преобразуем уравнение:

[math]\left(25^{sinx}\right)^{cos2x}=5^{sin(\pi-x)}[/math]

[math]\left(25^{sinx}\right)^{1-2sin^2x}=5^{sinx}[/math]

[math]5^{2(sinx-2sin^3x)}=5^{sinx}[/math]

снования равны, значит и показатели равны

[math]2(sinx-2sin^3x)=sinx[/math]

[math]sinx(1-4sin^2x)=0[/math]

[math]sinx=0[/math]

[math]x=\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]1-4sin^2x=0[/math]

[math]1-4(1-cos^2x)=0[/math]

[math]cos^2x=\frac34[/math]

[math]cosx=\pm\frac{\sqrt3}2[/math]

[math]x=\pm\frac\pi6+\pi n[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим попадание в отрезок:

Вариант 8

Ответ: А) [math]\pm\frac\pi6+\pi n,\;\pi k;\;n,\;k\in Z[/math]

Б) [math]-\pi;\;-\frac{5\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math]

14

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.

А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.

Показать ответ
Вариант 8

А) [math]K\in(AEM)\Rightarrow AK\in(AEM)[/math], [math]EL\parallel AK\Rightarrow EL\in(AEM)[/math] (т.к. [math](AA_1B_1)\parallel(EE_1D_1)[/math])

Получим [math]AKMLE[/math] - сечение призмы

Продолжим [math]KM[/math] и[math]AE[/math] до пересечения в т.[math]Z[/math]

[math]Z\in BC[/math], т.к. [math]BC[/math] - проекция [math]KM[/math] на [math](ABC)[/math]

[math]\bigtriangleup ZKB\sim\bigtriangleup ZMC[/math] (по двум углам):

[math]\angle Z[/math] - общий, [math]\angle KBZ=\angle MCZ=90^\circ[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{ZB}{ZC}[/math], [math]ZC=ZB+a[/math], где [math]a=BC[/math] - длины стороны основания [math]KA\perp ZE[/math] (по теореме о трех перпендикулярах) [math]\Rightarrow ZA\perp AB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABZ[/math], [math]\angle BAZ=90^\circ[/math], [math]AB=a[/math], [math]\angle ZBA=180^\circ-\angle ABC=60^\circ[/math] (как смежный с [math]\angle ABC[/math])

[math]\Rightarrow ZB=\frac{AB}{cos(\angle ZBA)}=\frac a{cos60^\circ}=2a[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{2a}{2a+a}=\frac23;BK=\frac23MC=\frac23\cdot\frac14CC_1=\frac16CC_1=\frac16BB_1[/math]

[math]BK=\frac16(BK+B_1K);\;\frac56BK=\frac16B_1K\Rightarrow\frac{BK}{B_1K}=\frac15[/math]

Б) [math]S_{AKMLE}-?[/math]

[math]S_{AKMLE}=S_{AKLE}+S_{KML}[/math], [math]AKLE[/math] - прямоугольник

[math]S_{AKLE}=AK\cdot AE[/math]

Из [math]\bigtriangleup AFE[/math] по теореме косинусов: [math]AE=\sqrt{9+9+2\cdot9\cdot0.5}=3\sqrt3[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABK[/math] по теореме Пифагора: [math]AK=\sqrt{9+\left(\frac16\cdot8\right)^2}=\frac13\cdot\sqrt{97}[/math]

[math]S_{AKLE}=3\sqrt3\cdot\frac13\sqrt{97}=\sqrt{291}[/math] [math]S_{KML}=\frac12MH\cdot KL=\frac{3\sqrt3}2MH[/math], где [math]MH\perp KL[/math]

Из [math]K[/math] опустим перпендикуляр [math]KT[/math] на [math]CC_1\Rightarrow KT=BC=3;KB=TC=\frac16\cdot8=\frac43[/math]

Из [math]\bigtriangleup KTM[/math] по теореме Пифагора: [math]KM=\sqrt{KT^2+TM^2};TM=\frac14CC_1-TC=\frac14\cdot8-\frac43=\frac23[/math]

[math]KM=\sqrt{9+\frac49}=\frac13\sqrt{85}[/math]

Аналогично [math]ML=\frac13\sqrt{85}[/math][math]\Rightarrow\bigtriangleup KML[/math] - равнобедренный и [math]KH=HL=\frac{3\sqrt3}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup KMH[/math] по теореме Пифагора: [math]MH=\sqrt{KM^2-KH^2}=\sqrt{\frac{85}9-\frac{27}4}=\frac{\sqrt{340-243}}6=\frac{\sqrt{97}}6[/math]

[math]\Rightarrow S_{KML}=\frac{3\sqrt3}{2\cdot}\frac{\cdot\sqrt{97}}6=\frac14\sqrt{291}[/math]

Итого, [math]S_{AKMLE}=\sqrt{291}+\frac14\sqrt{291}=\frac54\sqrt{291}[/math]

Ответ: [math]\frac{5\sqrt{291}}4[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac9{3+\log_3x\cdot\log_3\frac9x}\leq\log_3^2x-\log_3\frac{x^2}{27}[/math].

Показать ответ

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math]\frac9{3+log_3x(2-log_3x)}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac9{3-\left(log_3x\right)^2+2log_3x}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac{-9-(\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3)(\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-9-(\left(\left(log_3x\right)^2+2log_3x\right)^2-9)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-\left(log_3x\right)^4+4\left(log_3x\right)^3-4\left(log_3x\right)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(\left(log_3x\right)^2-4log_3x+4)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(log_3x-2)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

Нули числителя: [math]log_3x=0[/math]

[math]x=1[/math] - корень кратности 2

[math]\left(log_3x-2\right)=0[/math]

[math]log_3x=2[/math]

[math]x=9[/math] - корень кратности 2

Нули знаменателя: [math]log_3x=-1[/math] [math]x=\frac13[/math]

[math]log_3x=3[/math] [math]x=27[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и, учитывая ОДЗ, определим знаки и промежутки:

Вариант 8

Ответ: [math]\left(0;\;\frac13\right)\cup\left\{1;\;9\right\}\cup\left(27;\;+\infty\right)[/math]

16

1 марта 2016 года Валерий положил в банк 100 тыс. руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Через два года он планирует снять со своего счета n тыс. руб. (n - целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету оказалось не менее 130 тыс. руб. Какую наибольшую сумму n может снять со своего счёта Валерий 1 марта 2018 года?

Показать ответ

Решение:

Посчитаем итоговую сумму за 2016 год: 100*1,1=110 (тыс руб)

За два года (2016-2017): 110*1,1=121 (тыс руб)

Пусть Валерий снимет n тыс рублей 1 марта 2018 года. Тогда сумма вклада составит за третий год хранения: (121-n)*1,1

За четвертый год хранения: 1,1*((121-n)*1.1)

По условию:[math]1.21\ast(121-n)\leq130[/math]

Решим неравенство: [math]n\leq13.5619\Rightarrow n=13[/math]

Ответ: 13

17

На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки Е и Р, причем АЕ:ЕР:РС=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.

А) Докажите, что КМ || АС.

Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.

Показать ответ
Вариант 8

А) [math]\bigtriangleup AKE\sim\bigtriangleup DCE[/math] (по двум углам): [math]\angle KEA=\angle DEC[/math] - вертикальные, [math]\angle KАЕ=\angle DСЕ[/math] - накрест лежащие при [math]AB\parallel CD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{AK}{CD}=\frac{AE}{EC}=\frac13[/math], [math]\frac{AK}{AB}=\frac13[/math]

[math]\frac{BA-BK}{AB}=\frac13\Rightarrow\frac{BK}{AB}=\frac23[/math]

[math]\bigtriangleup CMP\sim\bigtriangleup ADP[/math] ( по двум углам): [math]\angle MPC=\angle DPA[/math] - вертикальные, [math]\angle MCP=\angle DAP[/math] - накрест лежащие при [math]BC\parallel AD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{MC}{AD}=\frac{CP}{AP}=\frac13[/math], [math]\frac{MC}{BC}=\frac13[/math] [math]\Rightarrow\frac{BM}{BC}=\frac23[/math]

[math]\frac{BK}{AB}=\frac23[/math], [math]\frac{BM}{BC}=\frac23[/math], [math]\angle B[/math] - общий[math]\Rightarrow\bigtriangleup KBM\sim\bigtriangleup ABC[/math] (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)[math]\Rightarrow\angle BMK=\angle BCA[/math], [math]\angle BKM=\angle BAC\Rightarrow KM\parallel AC[/math], ч.т.д.

Б) [math]S_{ABCD}=2(S_{AKEPM}+S_{AEK}+S_{CPM})[/math]

Из точки D опустим перпендикуляр DH на AC

[math]S_{\bigtriangleup ACD}=\frac12S_{ABCD=}\frac12AC\cdot DH[/math], [math]S_{\bigtriangleup ECD}=\frac12EC\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup APD}=\frac12AP\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math]

[math]\Rightarrow[/math] (смотрите п.А) [math]S_{\bigtriangleup AKE}=\frac19S_{\bigtriangleup ECD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup CMP}=\frac19S_{\bigtriangleup APD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math]

Тогда [math]S_{ABCD}=2S_{BKEPM}+\frac6{72}S_{ABCD}+\frac6{72}S_{ABCD}\Rightarrow S_{ABCD}=72[/math]

Ответ: 72

18

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

4sin2x - 4a sin x + a3 - a2 = 0

имеет ровно один корень на промежутке [math]\left[-\frac\pi2;\;2\pi\right][/math].

Показать ответ

т.к. sinx - функция периодическая с периодом [math]2\pi[/math], то на промежутке [math]\left[-\frac\pi2;\;2\pi\right][/math] уравнение будет иметь один или два корня.

Имеем три случая: 1) в ходе преобразования получим полный квадрат, имеем два одинаковых корня; 2 и 3) в ходе нахождения корней квадратного уравнения относительно sinx получим [math]\left|sinx\right|>1[/math], а второй 1

1 сл: [math]4(sin^2x-asinx+\frac{a^3-a^2}4)=0[/math]

Тогда [math]a=2b;\frac{a^3-a^2}4=b^2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2[/math]

Для двух остальных случаев найдем решение квадратного уравнения:

[math]D=16a^2-16(a^3-a^2)=32a^2-16a^3[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{4a\pm\sqrt{32a^2-16a^3}}8=\frac{a(1\pm\sqrt{2-a})}2[/math]

2 сл: [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math]a=\pm2[/math], при том [math]a=2[/math] не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

3 сл: [math]\left|\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math] a=1;a=2 [/math], при том оба корня не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

Ответ: -2; 2

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 382 503
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?