Вариант 7

[math]f'(x)\;=\;4\;-\;\frac1{x^2}[/math]

[math]4-\frac1{x^2}=0[/math]

[math]x=\pm\frac12[/math], но заданному промежутку удовлетворяет только[math]x=\frac12[/math]

[math]x=\frac12[/math] - критическая точка

[math]f(\frac12)\;=\;2\;+\;2\;+\;7\;=\;11[/math]

[math]max\;f(x)\;=\;11[/math] на заданном промежутке

А) Преобразуем уравнение:

[math]4(\frac{1+cos2x}2)^2-5cos2x-1=0[/math]

[math]1+2cos2x+cos^22x-5cos2x-1=0[/math]

[math]cos^22x-3cos2x=0[/math]

[math]cos2x(cos2x-3)=0[/math]

т.е. имеем, что [math]cos2x=0[/math] или [math]cos2x-3=0[/math]

В первом случае [math]2x=\frac\pi2+\pi n[/math]; [math]x=\frac\pi4+\frac{\pi n}2[/math], [math]n\in Z[/math]

Во втором случае [math]\varnothing[/math], так как не соответствует области значений косинуса

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие корни входят в отрезок:

Ответ:

А) [math]\frac\pi4+\frac{\pi k}2;\;k\in Z;[/math]

Б) [math]\frac{3\pi}4[/math]

А) [math]S_{б.к.}=S_{б.ц.}[/math] - доказать

[math]S_{б.к.}=\pi r\cdot AH[/math] ; [math]S_{б.ц.}=2\pi r\cdot AB[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABH[/math], [math]H[/math] - центр основания цилиндра, [math]BA\perp[/math] нижнему основанию цилиндра, [math]\angle B=90^\circ[/math]

[math]sin(\angle H)=\frac{AB}{AH}=sin(30^\circ)=\frac12\Rightarrow AB=\frac12AH[/math]

[math]\Rightarrow S_{б.ц.}=2\pi r\cdot\frac12AH=\pi r\cdot AH=S_{б.к.}[/math], что и требовалось доказать

Б) [math]V_к=(6\sqrt3+10)\pi[/math], [math]r_0[/math] - ?

т. [math]О[/math] - центр сферы, пусть т. [math]O\in(ABH)[/math]

[math]\Rightarrow r_0=[/math] радиусу вписанное в [math]\bigtriangleup ABH[/math] окружности

[math]\Rightarrow r_0=\frac{HB+AB-AH}2=\frac{R+h-\frac h{sin(\angle H)}}2=\frac{R-h}2[/math]

[math]\frac hR=tg(\angle H)\Rightarrow h=R\cdot tg(30^\circ)=\frac{R\sqrt3}3[/math]

[math]V_к=\frac13\pi R^2h=\frac13\pi R^2\cdot\frac{R\sqrt3}3=\frac{\pi R^3\sqrt3}9[/math], [math]r_0=\frac{R(1-\frac{\sqrt3}3)}2\Rightarrow R=\frac{2r_0}{1-\frac{\sqrt3}3}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{\pi\sqrt3}9\cdot(\frac{2r_0}{1-\frac{\sqrt3}3})^3=(6\sqrt3+10)\pi[/math]

[math]\frac{8\sqrt3}9r_0^3=12\sqrt3-20+20-\frac{100\sqrt3}9[/math]

[math]r_0^3=1[/math]

[math]r_0=1[/math]

Ответ: 1

Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю:

[math]\frac{log_3\sqrt{28\cdot3^x-3}-(x+1)}{x+1}\geq0[/math]

ОДЗ: [math]28\cdot3^x-3>0[/math]

[math]x>log_3\frac3{28}[/math]

[math]x>1-log_328[/math]

Нули числителя: [math]\frac12log_3(28\cdot3^x-3)-(x+1)=0[/math]

[math]log_3(28\cdot3^x-3)=2(x+1)[/math]

[math]28\cdot3^x-3=3^{2(x+1)}[/math]

[math]9\cdot3^{2x}-28\cdot3^x+3=0[/math]

D=646

[math]3^x=\frac{28+26}{18}=3\Rightarrow x=1[/math]

[math]3^x=\frac{28-26}{18}=\frac19\Rightarrow x=-2[/math]

Нули знаменателя:[math]x+1=0\Rightarrow x=-1[/math]

Нанесем нули на числовую прямую, расставим знаки, при этом учитываем ОДЗ:

Ответ: (1-log₃28; -2]⋃(-1; 1]

Решение:

Составим таблицу выплат каждого из близнецов и посчитаем итоговую сумму выплаты по каждому:

Получим, что Саша выплатит меньше на 30 тыс. ( 640-610=30)

Ответ: Саша выплатит меньше на 30 тыс.

А) Достроим до квадрата [math]CKMN[/math] так, чтобы [math]\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup FAN=\bigtriangleup EFM=\bigtriangleup BEK[/math]

Обозначим [math]\angle OCA=\alpha[/math] и запишем теорему синусов для [math]\bigtriangleup OCA[/math] и [math]\bigtriangleup OCB[/math]:

[math]\frac{OC}{sin(\angle OBC)}=\frac{OB}{sinn(90^\circ-\alpha)}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin(\angle OBC)}{sin(\angle OAC)}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}=\frac{sin(\angle OBC)}{sin(\angle OAC)}\cdot tg\alpha[/math]

Опустим из Е перпендикуляр на CN. [math]EH\perp CN;EH=MN=CA+BC=3AC[/math]

[math]HN=EM[/math] (по свойству прямоугольника [math]EMNH[/math])

[math]\Rightarrow CH=CN-HN=3AC-AC=2AC[/math]

[math]\Rightarrow tg(\angle ECH)=tg\alpha=\frac32[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABC[/math]: по теореме Пифагора [math]AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{AC^2+4AC^2}=\sqrt5AC[/math]

[math]sin(\angle ABC)=sin(\angle OBC)=\frac{AC}{\sqrt5AC}=\frac1{\sqrt5}[/math]

[math]sin(\angle BAC)=sin(\angle OAC)=\frac{2AC}{\sqrt5AC}=\frac2{\sqrt5}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}=\frac1{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}2\cdot\frac32=\frac34[/math], ч.т.д.

Б) [math]\frac{S_{\bigtriangleup AOC}}{S_{\bigtriangleup BOE}}-?[/math]

[math]S_{\bigtriangleup AOC}=\frac12AO\cdot AC\cdot sin(\angle AOC)=\frac12\cdot\frac37AB\cdot AC\cdot\frac2{\sqrt5}=\frac3{7\sqrt5}AC\cdot\sqrt5\cdot AC=\frac37AC^2[/math]

[math]S_{\bigtriangleup BOE}=\frac12BO\cdot BE=\frac12\cdot\frac47\cdot AB\cdot AB=\frac27\cdot\left(AC\sqrt5\right)^2=\frac{10}7AC^2[/math]

[math]\Rightarrow\frac{S_{\bigtriangleup AOC}}{S_{\bigtriangleup BOE}}=\frac{\frac37AC^2}{\frac{10}7AC^2}=\frac3{10}[/math]

Ответ: 0,3

Решение: так как нам дана дробь, и числитель является линейной функцией , то какое бы a мы не взяла всегда найдется значение х, в котором числитель равен 0, соответственно и исходная функция. ( такой же вывод можно сделать из предела функции)

Исходная функция непрерывна на [math]x\in R[/math]. Требуется по условию, что в область значений входит только два целых числа, значит имеем два варианта: 0 и 1, 0 и -1. Рассмотрим два случая.

1 сл: 0 и 1

Решим уравнение:

[math]\frac{8x-a-6}{8x^2+8}=1[/math]

[math]8x^2-8x+a+14=0[/math]

[math]D=64-32(a+14)\geq0[/math]

[math]a\leq-12[/math]

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах [math](-1;2)[/math] при [math]x\in R[/math]

Решим неравенство [math]-1<\frac{8x-a-6}{8x^2+8}<2[/math].

Решение: [math]a>-21;a<0[/math]. Получим, учитывая область значений функции, что [math]a\in(-21;-12\rbrack[/math]

2 сл: 0 и -1

Решим уравнение:

[math]\frac{8x-a-6}{8x^2+8}=-1[/math]

[math]8x^2+8x-a+2=0[/math]

[math]D=64-32(-a+2)\geq0[/math]

[math]a\geq0[/math]

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах [math](-2;1)[/math] при [math]x\in R[/math]

Решим неравенство [math]-2<\frac{8x-a-6}{8x^2+8}<1[/math].

Решение: [math]a>-12;a<9[/math]. Получим, учитывая область значений функции, что [math]a\in\lbrack0;9)[/math]

Ответ: a∈(-21; -12]⋃[0; 9);

при а∈(-21; -12] y=0 и y=1;

при а∈[0; 9) y=0 и y=-1