Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 3

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = [math]6\sqrt3[/math] м проведена высота BH = 3 м. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника (в м).

2
2

Найдите длину [math]\vec{AB}[/math] в ĸвадрате. Если А (1;5), B (7;12).

3
3

Во сĸольĸо раз увеличится объем ĸуба если его ребро увеличить в 5 раз.

4
4

Для рассады имеются два сорта помидоров: красный «Аврора» — 48 семян, жёлтый «Ураган» — 32 семени. Найдите вероятность того, что случайно выбранный саженец даст плод жёлтого цвета, при условии, что все семена взойдут.

5
5

На потоке студент, среди них два отличника — Сергей и Дима. Поток случайным образом разбивают на равныx групп. Найдите вероятность того, что Сергей и Дима окажутся в одной группе.

6
6

Решите уравнение [math]tg\frac{\pi x}6=\sqrt3[/math]. В ответе укажите наибольший отрицательный корень.

7
7

Вычислите [math]\frac{log_7216\cdot log_67}{log_2384-log_224}[/math]

8
8

Тело движется прямолинейно по закону [math]x(t)=\frac43t^3-13t^2+56,25t-13[/math], где x (t) измеряется в метрах, а время t — в секундах. В какой момент времени (в с) скорость будет равна 14 м/с?

9
9

Насос выбрасывает струю воды под напором. Необходимая мощность для выбрасывания этой струи вычисляется по формуле [math]P=\frac\pi8\cdot p\cdot d^2\cdot v^3[/math]. Найдите диаметр струи d (в м), если скорость струи воды v = 14 м/c, мощность насоса равна 1646,4 Вт, плотность воды p = 1000 кг/м3, [math]\pi[/math] принять равным 3.

10
10

В офисе имеются два принтера: лазерный и струйный. Скорость первого на 9 стр./мин больше второго. Найдите скорость лазерного принтера (в стр./ мин), если, работая одновременно, они напечатали 585 страниц за 15 мин.

11
11

На рисунĸе изображен графиĸ [math]f\left(x\right)=kx+b[/math].

Найдите k

Вариант 3
 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите точку максимума функции [math]f(x)=\frac53x^6+\frac25x^5-\frac{35}3x^3-\frac72x^2+105[/math], принадлежащую промежутку [math]\left[-1;1\right][/math].

Показать ответ

Найдем первую производную и определим точки экстремума:

f'(x)=10x5+2x4-35x2-7x

Найдем точки, в которых f'(x)=0

10x5+2x4-35x2-7x=0

2x4(5x+1)-7x(5x+1)=0

x(2x3-7)(5x+1)=0

x1=0

2x3-7=0

x3=7/2 —> [math]x_2=\sqrt[3]{\\frac72}>1[/math]

5x+1=0

x3=-1/5

Функция при x<-1/5 убывает, так как производная отрицательная. При -1/5<x<0 — функция возрастает, производная — положительная. При 0<x<[math]\sqrt[3]{\\frac72}[/math] — функция убывает, производная — отрицательная. При x>[math]\sqrt[3]{\\frac72}[/math] — функция возрастает, производная — положительная.

Точка максимума на промежутке [math]\left[-1;1\right][/math]: х=0

13

Дано уравнение [math]9^{\sin x\cdot tgx}\cdot27^{tgx}=\left(\frac13\right)^\frac1{\cos x}[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [6π; 7,5π].

Показать ответ

А) Преобразуем левую и правую части:

[math]3^\frac{2sin^2x}{cosx}\cdot3^\frac{3sinx}{cosx}=3^\frac{-1}{cosx}[/math]

[math]3^\frac{2sin^2x+3sinx+1}{cosx}=3^0[/math]

Основания равны, значит и показатели при этих основаниях тоже равны. Получим:

[math]2sin^2x+3sinx+1=0[/math]

Осуществим замену. Пусть t=sinx

[math]2t^2+3t+1=0[/math]

[math]t_1=-1[/math][math]t_2=-\frac12[/math]

Обратная замена:

[math]sinx=-1[/math]

[math]x=-\frac\pi2+2\pi n[/math]

[math]sinx=-\frac12[/math]

[math]x=(-1)^{k+1}\frac\pi6+\pi k[/math], [math]k\in Z[/math]

Б) Нанесем на числовую прямую наши корни:

Вариант 3

В отрезок вошел только один корень [math]\frac{43\pi}6[/math]

Ответ: А) [math]\left(-1\right)^{k+1}\cdot\frac\pi6+\pi k,\;k\in Z[/math]

Б) [math]\frac{43\pi}6[/math]

14

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что [math]tg\beta=\frac34[/math].

А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Показать ответ

Решение:

Вариант 3

А) Плоскость [math]\alpha[/math] пересекает грань [math]CPD[/math] по прямой [math]EK\parallel AB[/math]. т.к. пирамида правильна, то [math]EB=KA[/math], т.е. сечение [math]AKEB[/math] – равнобедренная трапеция.

Вариант 3

[math]\angle NMF[/math] – линейный угол двугранного угла [math]CABN[/math], т.к. [math]\alpha\cap(ABC)=AB[/math].

[math]FM\perp AB[/math], [math]M[/math] – середина [math]AB[/math]

[math]NM\perp AB[/math] (высота трапеции)

[math]O[/math] – середина [math]FM[/math],т.е [math]FO=OM=10[/math]

Из [math]\bigtriangleup FPO[/math] : [math]tg\angle F=\frac{PO}{OF}=\frac{45}{4\cdot10}=\frac98[/math]

Пусть [math]FT=x[/math], тогда [math]TM=20-x[/math]

Из [math]\bigtriangleup FNT[/math] : [math]NT=FT\;tg\angle F=\frac98x[/math]

Из [math]\bigtriangleup TNM[/math] : [math]NT=TM\;tg\beta=(20-x)\cdot\frac34[/math]

[math]\frac98x=(20-x)\cdot\frac34[/math]

[math]x=8[/math]

[math]FN=8[/math], [math]NT=9[/math]

[math]ER=NT=9[/math]

[math]\bigtriangleup COP\sim\bigtriangleup CER[/math], [math]\frac{CE}{CP}=\frac{ER}{PO}=\frac9{\frac{45}4}=\frac45[/math][math]\Rightarrow CE:EP=4:1[/math] или [math]EP:EC=1:4[/math]

Б) Из [math]\bigtriangleup NTM[/math]: [math]NT[/math]=9,[math]TM=12[/math], [math]NM^2=9^2+12^2=81+144=225[/math],[math]NM=15[/math]

[math]\bigtriangleup PEK\sim\bigtriangleup PCD[/math]

[math]\frac{PE}{PC}=\frac{EK}{CD}=\frac15\Rightarrow EK=\frac15CD=\frac15\cdot20=4[/math]

[math]S_{трап}=\frac{AB+EK}2\cdot NM=\frac{20+4}{20}\cdot15=12\ast15=180[/math]

Ответ: 180

15

Решите неравенство [math]\frac{\left(2^x-2\right)^3}{2^{x+2}-12}\geq\frac{8^x-4^{x+1}+2^{x+2}}{9-4^x}[/math].

Показать ответ

Решение:

[math]\frac{2^{3x}-6\cdot2^{2x}+12\cdot2^x-2^3}{4(2^x-3)}\geq\frac{2^{3x}-4\cdot2^{2x}+2\cdot2^x}{(3-2^x)(3+2^x)}[/math]

[math]\frac{(2^x-2)^3(3+2^x)+4\cdot2^x(2^x-2)^2}{4(2^x-3)(2^x+3)}\geq0[/math]

[math]\frac{(2^x-2)^2((2^x-2)(3+2^x)+4\cdot2^x)}{4(2^x-3)(2^x+3)}\geq0[/math]

[math]\frac{(2^x-2)^2(2^x+5\cdot2^x-6)}{4(2^x-3)(2^x+3)}\geq0[/math]

[math]2^x=2[/math]

Нули числителя: x=1 – корень кратности 2

[math]2^{2x}+5\cdot2^x-6=0[/math]

[math]2^x=1[/math]

[math]x=0[/math]

[math]2^x=-6[/math]. Корней нет, так как -6<0

Нули знаменателя: [math]x=log_23[/math]

Решим на числовой прямой:

Вариант 3

Ответ: (-∞; 0]⋃{1}⋃(log23; +∞)

16

Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью - второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Через 48 км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найти расстояние от А до места первой встречи, если расстояние между пунктами А и В равно 480 км.

Показать ответ

Решение: найдем время,потраченное вторым автомобилем до первой встречи из пункта В: [math]t=\frac{48}{80}[/math]=0.6

Вычислим скорость второго автомобиля: [math]v_2=\frac{120-48}{0.6}=120[/math]

Получим, что первый на весь путь АВ потратил [math]t_1=\frac{48}{80}=6[/math] , а второй -[math]t_2=\frac{48}{120}=4[/math]

Время, за которое проехал второй до места второй встречи с первым: [math]\frac{48}{120}=0,4[/math] часа [math]=24[/math] мин

Время, которое второй потратил до второй встречи равно 4 часа + 20 мин + 24 мин = 4 часа 44 мин, а первого- 6 часов – 0,6 = 5,4 часа = 5 часов 24 мин

Найдем время, на которое второй выехал позже: 5 часов 24 – 4 часа 44 мин=40 мин

Найдем время, которое потратил второй до места первой встречи: [math]\frac{3200}{\frac{60}{120-80}}=\frac86[/math] (час)

В итоге получим расстояние от А до места первой встречи [math]\frac{120\cdot8}6=160[/math]км

Ответ:160 км

17

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а ВМ=8.

Показать ответ

Решение:

Вариант 3

А) [math]AO[/math] – биссектриса [math]\angle BAM[/math] ( по свойству касательных , проведенных из одной точки)

[math]AE[/math] – биссектриса [math]\angle MAN[/math]

[math]\angle BAM+\angle MAN=180^\circ[/math], [math]2\angle OAM+2\angle MAE=180^\circ[/math]

[math]\angle OAM+\angle MAE=90^\circ[/math], т.е. [math]\bigtriangleup OAE[/math] – прямоугольный

[math]AM\perp OM[/math], т.к. [math]BM[/math] – высота,медиана равнобедренного треугольника [math]\bigtriangleup АВС[/math]

[math]М[/math] – середина [math]АС[/math]

Вторая окружность, также касается [math]АС[/math] в точке [math]М[/math]

[math]АМ[/math] – высота [math]\bigtriangleup АОЕ[/math], проведенная из прямого угла, значит [math]АМ=\sqrt{МО\cdot МЕ}[/math]

[math]АМ=\frac12АС[/math],[math]МО=\frac12d_1[/math], [math]МE=\frac12d_2[/math], тогда [math]\frac12АС=\sqrt{\frac12d_1\cdot\frac12d_1}=\frac12\sqrt{d_1\cdot d_2}[/math]

Б) Пусть [math]\angle ОАМ=\alpha[/math], тогда [math]\angle ВАМ=2\alpha[/math]

Пусть [math]МЕ=x[/math], [math]AM=y[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABM[/math]: [math]tg2\alpha=\frac{BM}{AM}=\frac8y[/math]

Из [math]\bigtriangleup OAM[/math]:[math]tg\alpha=\frac{OM}{AM}=\frac3y[/math]

[math]tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}[/math]

[math]\frac8y=\frac{2\cdot\frac3y}{1-\frac9{y^2}}[/math]

[math]\frac8y=\frac{6y}{y^2-9}[/math]

[math]8(y^2-9)=6y^2[/math]

[math]8y^2-6y^2=8\cdot9[/math]

[math]y=6[/math]

[math]AM=6[/math]

[math]AM=\sqrt{OM\cdot ME}[/math]

[math]6=\sqrt{3x}[/math]

[math]ME=x=12[/math]

Ответ:12

18

Для каждого значения параметра а найдите точку максимума функции f(x) = x3(3x - 8a) + 6(a2 - 1)x2.

Показать ответ

Решение: преобразуем функцию

[math]f(x)=x^2(3x^2-8ax+6(a^2-1))[/math] ветви вверх

Возьмем производную:

[math]f'(x)=12x^3-24ax^2+12(a^2-1)x[/math]

[math]f'(x)=0[/math]

x=0

[math]x^2-2ax+(a^2-1)=0[/math]

[math]D=a^2-(a^2-1)=1[/math][math]x_1=a+1[/math],[math]x_2=a-1[/math]

1 сл: Вариант 3

a-1 0.т.е. при [math]-1<a<1[/math] x=0-экстремум

2 сл: Вариант 3

a-1<0 и a+1<0.т.е. при а < -1 xmax = a+1

3 сл: Вариант 3

a-1>0 и a+1>0.т.е при [math]a>1[/math] xmax = a-1

4 сл: [math]a=\pm1[/math]. тогда имеем корень х=0- корень кратности 2, корень х=2 или х=-2. Значит, имеем функцию, не имеющую максимум функции

Ответ: при а < -1 xmax = a+1, при [math]a>1[/math] xmax = a-1, при [math]-1<a<1[/math] xmax = 0.

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 379 396
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?