Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 2

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—11 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В ромбе ABCD бóльший угол равен 120​°. Бóльшая его диагональ равна [math]14\sqrt3[/math] см. Вычислите сторону ромба (в см).

2
2

Найдите сĸалярное произведение веĸторов

Вариант 2
3
3

Объем ĸуба равен 27 Найдите площадь поверхности

4
4

В приюте для бездомных животных "4 с хвостиком" — 84 собаки, из них 63 привиты. Семья Ивановых решила завести друга из приюта. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ими пёс окажется не привитый.

5
5

В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды».

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Углеводороды».

6
6

Решите уравнение: [math]2\sqrt{4x-15}=2x-6[/math]. В ответе укажите наибольший из корней.

7
7

Вычислите значение выражения

[math]-14tg2\alpha[/math],

если sin[math]\alpha=0,6[/math] и [math]\frac\pi2<\alpha<\pi[/math].

8
8

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции [math]f(x)=\frac{sinx}{1-cosx}+36,2[/math] в точке [math]x_0=\frac\pi3[/math].

9
9

Человек массой m1 = 76 кг двигается со скоростью v1 = 4,5 м/с, догоняет тележку массой m2 (кг), которая едет со скоростью v2 = 3,8 м/c, и прыгает на нее. Скорость, с которой будет теперь двигаться тележка, вычисляется по формуле [math]v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}[/math]. Какова масса тележки (кг), если скорость, которую она приобрела после прыжка человека, равна 4,3 (м/c)?

10
10

Бегун из Кении и бегун из Австрии стартуют одновременно из диаметрально противоположных точек беговой дорожки, которая представляет собой трек овальной формы длиной 750 м. Скорость кенийца на 3 км/ч больше скорости австрийца. Через сколько минут кенийский бегун догонит австрийского бегуна в первый раз?

11
11

На рисунĸе изображен графиĸ [math]f\left(x\right)=kx+b[/math].

Найдите x, если [math]f\left(x\right)={}.[/math]

Вариант 2
 

Часть 2.

При выполнении заданий 12—18 требуется записать полное решение и ответ.

12

Найдите точку максимума функции [math]f(x)=3x^3-13,5x^2-36x+10,6[/math]

Показать ответ

Сначала найдем производную функции и точки, в которых она равна 0 или не существует:

f'(x)=(3x2—13,5x2—36x+10,6)'=9x2—27x—36

f'(x)=0, при x1=—1, x2=4

При x<—1 — производная положительная — функция возрастает, при —1<x<4 — производная отрицательная — функция убывает, при x>4 — производная положительная — функция возрастает. Значит x=—1 точка максимума

13

Дано уравнение sin 2x = 3(sin x + cos x - 1).

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [1,5; 6].

Показать ответ

A) Пусть [math]sinx+cosx=t[/math] . Тогда [math]t^2=sin^2x+2sinx\cdot cosx+cos^2x[/math]

[math]t^2-2sinx\cdot cosx=1[/math]

Получаем:

[math]t^2-1=3(t-1)[/math]

[math]t^2-3t+2=0[/math]

Решим уравнение и получим: [math]t_1=1[/math] ,[math]t_2=2[/math]

Выполним обратную подстановку:

[math]sinx+cosx=1[/math]

[math]\sqrt2(\frac{\sqrt2}2sinx+\frac{\sqrt2}2cosx)=1[/math]

[math](cos\frac\pi4sinx+sin\frac\pi4cosx)=\frac1{\sqrt2}[/math]

[math]sin(\frac\pi4+x)=\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]\frac\pi4+x=\left(-1\right)^n\frac\pi4+2\pi n[/math] [math];n\in Z[/math]

[math]2\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую:

Вариант 2

В нужный нам промежуток входит только один корень [math]\frac\pi2[/math]

Ответ:А) [math]2\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) [math]\frac\pi2[/math]

14

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К лежит на ребре ВВ1 так, что КВ:КВ1=1:4. Плоскость α, проходящая через точки К и С1 параллельно прямой BD1, пересекает ребро АА1 в точке Р.

А) Докажите, что АР:А1Р=2:3.

Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка В1, если известно, что АВ=3, ВС=4, ВВ1=5.

Показать ответ

Решение:

Вариант 2

А) 1. Проведем [math]KM\vert\vert BD_1[/math], [math]M\in(BB_1D_1)[/math] , [math]M\in(A_1B_1C_1)[/math]

Проведем [math]CM\cap A_1D_1=T[/math]

[math](BB_1C)\vert\vert(ADD_1)\Rightarrow T\in AA_1[/math] [math]TP\vert\vert KC_1[/math]

Имеем, что [math](PTK)[/math]-плоскость, [math]PTC_1K[/math]-сечение параллелепипеда плоскостью [math]\alpha[/math]

2. [math]\bigtriangleup B_1MK[/math] и [math]\bigtriangleup B_1D_1B[/math] - подобны ([math]\angle B_1[/math]-j,общий, [math]KM\vert\vert BD_1\Rightarrow\angle B_1MK=\angle B_1D_1B[/math])[math]\Rightarrow[/math] [math]\frac{D_1M}{MB_1}=\frac{BK}{KB_1}=\frac14[/math]

[math]\bigtriangleup C_1MB_1\sim\bigtriangleup TMD_1[/math] (все углы попарно равны)[math]\Rightarrow[/math][math]\frac{D_1T}{B_1C_1}=\frac{D_1M}{MB_1}=\frac14[/math]

[math]\frac{A_1T}{B_1C_1}=\frac34[/math]

[math]\bigtriangleup PA_1T\sim\bigtriangleup KB_1C_1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\frac{A_1P}{B_1K}=\frac{A_1T}{B_1C_1}=\frac34[/math]

Получим, что [math]A_1P=\frac35BB_1[/math]. Тогда [math]AP=\frac25BB_1[/math]

[math]\frac{AP}{AP_1}=\frac23[/math], чтд

Б) [math](TB_1K)[/math] делит пирамиду [math]B_1TC_1KP[/math]на две пирамиды. Найдем их объем:

[math]V_{B_1TC_1K}=\frac13\cdot S_{B_1C_1K}\cdot С_1D_1=\frac13\cdot\frac12\cdot4\cdot4\cdot3=8[/math]

[math]V_{B_1TPK}=\frac13\cdot S_{B_1PK}\cdot A_1T=\frac13\cdot\frac12\cdot4\cdot3\cdot3=6[/math]

[math]V_{B_1TPKC_1}=8+6=14[/math]

Ответ: 14

15

Решите неравенство [math]\log_x^2\left(3x-1\right)-\log_x\left(3x-1\right)\geq0[/math].

Показать ответ

ОДЗ: [math]x>0[/math], [math]x\neq1[/math], [math]3x-1>0[/math]

Преобразуем левую часть неравенства:

[math]log_x(3x-1)(log_x(3x-1)-1)\geq0[/math]

[math]\frac{ln(3x-1)}{lnx}(\frac{ln(3x-1)-lnx}{lnx})\geq0[/math]

[math]\frac{ln(3x-1)}{ln^2x}(\frac{ln(3x-1)-lnx}1)\geq0[/math]

Нули числителя: [math]ln(3x-1)=0[/math]

[math]3x-1=1[/math]

[math]x=\frac23[/math]

[math]ln(3x-1)=lnx[/math]

[math]3x-1=x[/math]

[math]2x=1[/math]

[math]x=\frac12[/math]

Нули знаменателя:

[math]lnx=0[/math]

[math]x=1[/math] - корень кратности 2

Нанесем корни на числовую прямую, учитываю ОДЗ:

Вариант 2

Получаем следующие промежутки: [math](\frac13;\;\frac12\rbrack\cup\lbrack\frac23;\;1)\cup\left(1;\;+\infty\right)[/math]

Ответ: [math](\frac13;\;\frac12\rbrack\cup\lbrack\frac23;\;1)\cup\left(1;\;+\infty\right)[/math]

16

Из сосуда, наполненного чистым глицерином, отлили 1 л, после этого в сосуд добавили 1 л воды. Затем отлили 1 л смеси и вновь долили 1 л воды. То же самое проделали в третий раз, в результате чего воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина. Найдите объем сосуда. В каком отношении находились объемы глицерина и воды после второго доливания воды в сосуд?

Показать ответ

Пусть [math]x[/math]л - количество глицерина в сосуде изначально. После первого переливания получим глицерина [math](x-1)[/math]л. т.е доля глицерина в сосуде равна [math]\frac{x-1}x[/math]. После второго переливания доля глицерина в сосуде составила [math]\frac{\frac{x-1}x}{\frac{x-1}1}=\left(\frac{x-1}x\right)^2[/math]

Аналогично после третьего переливания: [math]\frac{\frac{x-1}x}{\left(\frac{x-1}1\right)^2}=\left(\frac{x-1}x\right)^3[/math]

По условию задачи воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина,т.е глицерина в сосуде составило 1 долю, а вода – 7 долей, т.е глицерина в сосуде 1/8

Получаем следующее уравнение:

[math]\left(\frac{x-1}x\right)^3=\frac18[/math]

[math]\frac{x-1}x=\frac12[/math]

[math]x=2[/math]

Таким образом, объем сосуда( первоначальное количество глицерина в сосуде)-2л

Количество глицерина в частях после второго переливания: [math]\left(\frac{2-1}2\right)^2=\frac14[/math], а воды- [math]1-\frac14=\frac34[/math]

Ответ: 2 л; 1:3

17

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

А) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

Б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ=17, ВС=7, АС= [math]\sqrt{177}[/math].

Показать ответ

Решение:

Вариант 2

А)Найдем радиус вписанной окружности через следующую формулу: [math]S=pr[/math], где [math]p=\\frac P2[/math]

Отсюда [math]r=\\frac{2S}P[/math]

Радиус вписанной окружности в треугольник ABM: [math]r_{ABM}=\\frac{2S_{ABM}}{AB+BM+AM}[/math]

Радиус вписанной окружности в треугольник ABC: [math]r_{ABC}=\\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}[/math]

Пусть [math]r_{ABM}=\\frac12r_{ABC}[/math]. Тогда

[math]\\frac{2S_{ABM}}{AB+BM+AM}=\\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}[/math]

[math]S_{ABC}=2S_{ABM}[/math] , т.к. BM-медиана

Следовательно, знаменатели равны, т.е [math]BM+AM=BC+2AM[/math][math]BC+AM=BM[/math]

Б) Исходя из свойства о том,что прямые, выходящие из одной точки и касающиеся окружности, образуют два равных по величине отрезка, получим следующие выражения [math]MP=p_{ABM}-AB=\\frac{BM+AM}2-8.5=\\frac{BM+MC}2-8.5[/math]

[math]MК=p_{СBM}-BC=\\frac{BM+CM}2-3.5[/math]

Получим, что [math]PK=MK-MP=-3.5+8=5[/math]

Ответ: А) нет; Б) 5

18

Найдите все а, при каждом из которых уравнение [math]\log_{x-1}\left(4^{x-1}-3\cdot2^x-a\right)=0[/math] имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству |x - 2|≤ 1.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ:

x-1>0 → x>1

x-1≠1 → x≠2

4x-1-3⋅2x-a>0

Введем замену 2x=t , тогда

1/4t2-3⋅t-a>0

Нули: t1=6-2√(9+а) , t2=6+2√(9+а)

t<6-2√(9+а) или t>6+2√(9+а)

1/4t2-3⋅t-a - парабола, ветви которой направленны вверх, так что неравенство 1/4t2-3⋅t-a>0 будет верным и при 9+а<0. Значит, согласно данному условию, a - любое.

x>1 → t>2

x≠2 → t≠4

Преобразуем неравенство: |x - 2|≤ 1

[math]-1\leq x-2\leq1[/math]

[math]1\leq x\leq3[/math]

[math]2\leq t\leq8[/math]

Итого: t≠4, 2<t⩽8

Преобразуем: [math]\log_{x-1}\left(4^{x-1}-3\cdot2^x-a\right)=0[/math]

[math]\frac14t^2-3t-a=1[/math]

График функции [math]\frac14t^2-3t-a-1=y(t)[/math] имеет экстремум в точке t=6 и нули в точках t1=6-2√(10+а) , t2=6+2√(10+а).

1) При t1=t2=6 - уравнение имеет одно решение в точке касания графика и оси ОХ: а=-10

2) При 2<t⩽8

Корни t1=6-2√(10+а)>2 расположены слева от экстремума t=6, при этом корни, расположенные справа от экстремума, должны выходить из промежутка t2=6+2√(10+а)⩾8. Так будет обеспечено наличие одного корня, удовлетворяющего неравенству |x - 2|≤ 1

6-2√(10+а) > 2

а < -6

6+2√(10+а) ⩾ 8

a ⩾ -9

При a=9 имеем два корня t2=8 и t1=4, последний не удовлетворяет ОДЗ, поэтому a=9 удовлетворяет условию о наличии одного корня.

Вариант 2

Вариант 2

Ответ: [math]a=-10,\;-9\leq a<-6[/math]

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 379 396
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?