Демонстрационный вариант

а) Запишем исходное уравнение в виде:

[math]\sin x+\sqrt3\cos x+1-2\sin^2x=\sqrt3\cos x+1;{}\\\sin x-2\sin^2x=0;{}\\\sin x\cdot(2\sin^2x-1)=0[/math]

Значит, [math]\sin x=0[/math], откуда [math]x=\pi k,\;k\ni Z[/math], или [math]\sin x=\frac12[/math], откуда [math]x=\frac\pi6+2\pi n,\;n\in Z[/math] или [math]x=\frac{5\pi}6+2\pi m,\;m\in Z[/math].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [math]\left[-3\pi;-\frac{3\pi}2\right][/math]

Получим числа: [math]-3\pi;-2\pi;-\frac{11\pi}6[/math]

Ответ: a) [math]\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi6+2\pi n,\;n\in Z;[/math]

[math]\frac{5\pi}6+2\pi m,\;m\in Z;[/math]

b) [math]-3\pi;\;-2\pi;\;-\frac{11\pi}6.[/math]

а) Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны, поскольку катет AD общий, a AB = AC. Значит, BD = CD. б) Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD - равнобедренный и прямоугольный, поэтому [math]BD=CD=\frac{BC}{\sqrt2}=5[/math]. Аналогично, AD=5. Найдём стороны треугольника MNB: [math]MB=NB=\sqrt{ND^2\;+\;DB^2}=\sqrt{29}.{}\\MN=\sqrt{MD^2\;+\;DN^2}=2\sqrt2[/math] Площадь равнобедренного треугольника MNB равна [math]{}\frac12\cdot MN\cdot\sqrt{MB^2\;-\;\frac{MN}2^2}=3\sqrt6[/math] Ответ: б) [math]3\sqrt6[/math]

Правая часть неравенства определена при [math]x-\frac{35}8[/math]

Поскольку при любых значениях x выражение [math]8x^2+7[/math] принимает положительные значения, при [math]x-\frac{35}8[/math] неравенство принимает вид:

[math]\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\frac{8x+35}{x+5};\;\frac{8x^3+40x^2+7x+35}{(x+5)(x^2+x+1)}\geq\frac{8x^3+43x^2+43x+35}{(x+5)(x^2+x+1)};{}\\\frac{3x^2+36x}{(x+5)(x^2+x+1)}\leq0;\;\frac{3x(x+12)}{(x+5)(x^2+x+1)}\leq0[/math]

откуда [math]x\leq-12;\;-5<x\leq0[/math]. Учитывая ограничения [math]x-\frac{35}8[/math], получаем: [math]x\leq-12;\;-\frac{35}8<x\leq0[/math],

Ответ: [math](-\infty;-12\rbrack\;;\;(-\frac{35}8;0\rbrack[/math],

По условию долг (в тыс. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

800; 680; 560; 440; 320; 200; 160; 120; 80; 40; 0.

Пусть [math]k=1+\frac r{100}[/math]. Тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по 100 состоянию на январь такова:

800k; 680k; 560k; 440k; 320k; 200k; 160k; 120k; 80k; 40k.

Следовательно, платежи (в тыс. рублей) должны быть следующими:

800k - 680; 680k - 560; 560k - 440; 440k - 320; 320k - 200;

200k - 160; 160k - 120; 120k - 80; 80k - 40; 40k.

Значит, сумма всех платежей (в тыс. рублей) будет составлять:

5(560k - 440) +5(120k - 80) = 3400k - 2600.

Получаем: 3400k - 2600 =1480, откуда k = 1,2 и r = 20.

Ответ: 20.

a) Обозначим центры окружностей [math]O_1\;и\;O_2[/math] соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке К, пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведённых из одной точки, АM = KM и КМ = ВМ. Треугольник АКВ, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD [math]\perp[/math] AB. Аналогично получаем, что BC [math]\perp[/math] AB. Следовательно, прямые AD и ВС параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая - радиус 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, [math]\frac{AD}{BC}=4[/math]. Пусть [math]S_{BKS}=S[/math], тогда [math]S_{AKD}=16S[/math]

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, [math]\frac{S_{AKD}}{S_{AKB}}=\frac{DK}{KB}=\frac{AD}{BC}[/math], т.е. [math]S_{AKB}=4S[/math]. Аналогично [math]S_{CKD}=4S[/math]. Площадь трапеции ABCD равна 25S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр [math]O_2H[/math], равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника [math]O_2HO_1[/math] :

[math]O_2H=\sqrt{O_1{O^2}_2-O_1H^2}=4[/math]

Тогда [math]S_{ABCD}=\frac{AD+BC}2\cdot AB=20[/math]

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и [math]S_{AKB}=4S=3.[/math]

Ответ: 3,2.

Если [math]x\geq0[/math], то уравнение [math]\left(\left|x\right|-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=9[/math] задаёт окружность [math]\omega_1[/math] с центром в точке [math]C_1[/math](5; 4) радиусом 3, а если [math]x<0[/math], то оно задаёт окружность [math]\omega_2[/math] с центром в точке [math]C_2[/math](-5, 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях а уравнение [math]\left(x+2\right)^2+y^2=a^2[/math] задаёт окружность [math]\omega[/math] с центром в точке С(-2; 0) радиусом а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения а, при каждом из которых окружность [math]\omega[/math] имеет единственную общую точку с объединением окружностей [math]\omega_1\;и\;\omega_2[/math].

Из точки С проведём луч [math]CC_1[/math] и обозначим через [math]A_1[/math] и [math]B_1[/math] точки его пересечения с окружностью [math]\omega_1[/math], где [math]A_1[/math] лежит между С и [math]C_1[/math]. Так как

[math]CC_1=\sqrt{(5+2)^2\;+4^2}=65^2,\;то\;CA_1=\sqrt{65}\;-{},\;CB_1\;=\sqrt{65}+{}.[/math]

При [math]аСВ_1[/math], окружности [math]\omega\;и\;\omega_1[/math] не пересекаются.

При [math]СА_1<а<СВ_1[/math] окружности [math]\omega\;и\;\omega_1[/math] имеют две общие точки.

При [math]а=СА_1\;или\;а=СВ_1[/math], окружности [math]\omega\;и\;\omega_1[/math] касаются.

Из точки С проведём луч [math]CC_2[/math] и обозначим через [math]А_2\;и\;В_2[/math] точки его пересечения с окружностью [math]\omega_2[/math], где [math]A_2[/math] лежит между [math]С\;и\;С_2[/math]. Так как

[math]CC_2=\sqrt{(-5+2)^2+4^2}={},\;то\;CA_2=5-3={},\;CB_2=5+3={}.[/math]

При [math]аСВ_2[/math], окружности [math]\omega\;и\;\omega_2[/math], не пересекаются.

При [math]СА_2<а<\;СВ_2[/math] окружности [math]\omega\;и\;\omega_2[/math], имеют две общие точки.

При [math]а\;=СА_2\;или\;а=СВ_2[/math] окружности [math]\omega\;и\;\omega_2[/math], касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность [math]\omega[/math] касается ровно одной из двух окружностей [math]\omega_1\;и\;\omega_2[/math] и не пересекается с другой. Так как [math]СА_2<СА_1<СВ_2<СВ_1[/math] , то условию задачи удовлетворяют только числа [math]а=2\;и\;а=\sqrt{65}+3[/math].

Ответ: [math]2\;;\;\sqrt{65}+3[/math]

а) Из пары (100;1) за один ход получается пара (101; 99), за два хода получается пара (200; 2), за три хода получается пара (202;198), а за четыре хода получается пара (400; 4).

б) Заметим, что за один ход из пары (a;b) получается пара (а+b;а-b), а за два хода получается пара (2a; 2b). Следовательно, из пары (100;1) можно получить только пары [math]\left(2^k\cdot100;\;2^k\right)\;и\;\left(2^k\cdot101;\;2^k\cdot99\right)[/math], где k - неотрицательное целое число. Число 806 не равно [math]2^k\cdot100\;и\;2^k\cdot101[/math], а значит, пару (806; 788) невозможно получить за несколько ходов из пары (100;1).

b) Заметим, что пару (c;d) за один ход можно получить только из пары [math]\left(\frac{c+d}2;\frac{c-d}2\right)[/math] при условии, что числа с и d одной чётности.

Таким образом, пара (806; 788) получается из пары (797;9), которая получается из пары (403; 394). Пару (403; 394) невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число а в паре (a;b), из которой занесколько ходов можно получить пару (806; 788), равно 403.

Ответ: а) да; б) нет; в) 403.