Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 8

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Незнайка летит из Москвы в Нью-Йорк с пересадкой в Париже. Время перелета по маршруту Москва — Париж составляет 4 часа, а по маршруту Париж — Нью-Йорк —7,5 часов. Определите, сколько времени длилась пересадка, если весь путь из Москвы в Нью-Йорк занял 13 часов. Ответ дайте в часах.

2
2

На диаграмме представлена глубина заложения некоторых станций Московского метрополитена. По горизонтали указаны названия станций, по вертикали — глубина заложения (в м).

Определите, сколько из представленных ниже восьми станций находятся на глубине более 8 метров?

3
3

На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см × 1 см изображен параллелограмм. Найдите площадь четырехугольника (в см2), вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

4
4

В большом ящике находится 900 карточек с записанными на них натуральными числами от 1 до 900. Наугад из ящика достают одну карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет написано двузначное число.

5
5

Найдите целый корень уравнения [math]\sqrt[5]{2^x+16}=2[/math]

6
6

KM — средняя линия равнобедренной трапеции ABCD. Нижнее основание DC равно 20 см, верхнее основание в 2 раза меньше нижнего основания. Найдите площадь четырехугольника ABMK (в см2), если площадь трапеции ABCD равна 120 см​2.

7
7

На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x) на отрезке от [−7; 6]. Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции y=f(x), принадлежащих отрезку [−4; 4].

8
8

Площадь поверхности сферы равна 48π см​2​​ . Найдите сторону куба (в см), вписанного в данную сферу.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{log_2log_2log_2256}{log_29}[/math]

10
10

Потенциальная энергия Ep (в Дж) сжатой пружины может быть вычислена по формуле [math]E_p=\frac{k(x_0-x_1)^2}2[/math], где k — коэффициент жесткости пружины (в H/m), x0 и x1 — длина пружины до и после сжатия соответственно (в м). Известно, что при сжатии пружины жесткостью 5 Н/м до 1 м ее потенциальная энергия составила 10 Дж. Определите длину пружины (в м) до сжатия.

11
11

Велогонщику предстоит преодолеть несколько участков пути по 30 км каждый. Известно, что на каждом следующем участке пути скорость гонщика уменьшается на одно и то же значение по сравнению с предыдущими 30 км. Определите, сколько времени (в часах) займет у велосипедиста преодоление шестого участка, если известно, что первый участок он проехал за 1 час 12 минут, а скорость на 4 участке составляла 22 км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=sin^2x+2x+1[/math] на промежутке .

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение [math]\left(25^{\sin x}\right)^{\cos2x}=5^{\sin\left(\pi-x\right)}[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{5\pi}4;\;-\frac\pi4\right][/math].

Показать ответ

А) Преобразуем уравнение:

[math]\left(25^{sinx}\right)^{cos2x}=5^{sin(\pi-x)}[/math]

[math]\left(25^{sinx}\right)^{1-2sin^2x}=5^{sinx}[/math]

[math]5^{2(sinx-2sin^3x)}=5^{sinx}[/math]

снования равны, значит и показатели равны

[math]2(sinx-2sin^3x)=sinx[/math]

[math]sinx(1-4sin^2x)=0[/math]

[math]sinx=0[/math]

[math]x=\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]1-4sin^2x=0[/math]

[math]1-4(1-cos^2x)=0[/math]

[math]cos^2x=\frac34[/math]

[math]cosx=\pm\frac{\sqrt3}2[/math]

[math]x=\pm\frac\pi6+\pi n[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим попадание в отрезок:

Ответ: А) [math]\pm\frac\pi6+\pi n,\;\pi k;\;n,\;k\in Z[/math]

Б) [math]-\pi;\;-\frac{5\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math]

14

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.

А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.

Показать ответ

А) [math]K\in(AEM)\Rightarrow AK\in(AEM)[/math], [math]EL\parallel AK\Rightarrow EL\in(AEM)[/math] (т.к. [math](AA_1B_1)\parallel(EE_1D_1)[/math])

Получим [math]AKMLE[/math] - сечение призмы

Продолжим [math]KM[/math] и[math]AE[/math] до пересечения в т.[math]Z[/math]

[math]Z\in BC[/math], т.к. [math]BC[/math] - проекция [math]KM[/math] на [math](ABC)[/math]

[math]\bigtriangleup ZKB\sim\bigtriangleup ZMC[/math] (по двум углам):

[math]\angle Z[/math] - общий, [math]\angle KBZ=\angle MCZ=90^\circ[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{ZB}{ZC}[/math], [math]ZC=ZB+a[/math], где [math]a=BC[/math] - длины стороны основания [math]KA\perp ZE[/math] (по теореме о трех перпендикулярах) [math]\Rightarrow ZA\perp AB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABZ[/math], [math]\angle BAZ=90^\circ[/math], [math]AB=a[/math], [math]\angle ZBA=180^\circ-\angle ABC=60^\circ[/math] (как смежный с [math]\angle ABC[/math])

[math]\Rightarrow ZB=\frac{AB}{cos(\angle ZBA)}=\frac a{cos60^\circ}=2a[/math]

[math]\Rightarrow\frac{KB}{MC}=\frac{2a}{2a+a}=\frac23;BK=\frac23MC=\frac23\cdot\frac14CC_1=\frac16CC_1=\frac16BB_1[/math]

[math]BK=\frac16(BK+B_1K);\;\frac56BK=\frac16B_1K\Rightarrow\frac{BK}{B_1K}=\frac15[/math]

Б) [math]S_{AKMLE}-?[/math]

[math]S_{AKMLE}=S_{AKLE}+S_{KML}[/math], [math]AKLE[/math] - прямоугольник

[math]S_{AKLE}=AK\cdot AE[/math]

Из [math]\bigtriangleup AFE[/math] по теореме косинусов: [math]AE=\sqrt{9+9+2\cdot9\cdot0.5}=3\sqrt3[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABK[/math] по теореме Пифагора: [math]AK=\sqrt{9+\left(\frac16\cdot8\right)^2}=\frac13\cdot\sqrt{97}[/math]

[math]S_{AKLE}=3\sqrt3\cdot\frac13\sqrt{97}=\sqrt{291}[/math] [math]S_{KML}=\frac12MH\cdot KL=\frac{3\sqrt3}2MH[/math], где [math]MH\perp KL[/math]

Из [math]K[/math] опустим перпендикуляр [math]KT[/math] на [math]CC_1\Rightarrow KT=BC=3;KB=TC=\frac16\cdot8=\frac43[/math]

Из [math]\bigtriangleup KTM[/math] по теореме Пифагора: [math]KM=\sqrt{KT^2+TM^2};TM=\frac14CC_1-TC=\frac14\cdot8-\frac43=\frac23[/math]

[math]KM=\sqrt{9+\frac49}=\frac13\sqrt{85}[/math]

Аналогично [math]ML=\frac13\sqrt{85}[/math][math]\Rightarrow\bigtriangleup KML[/math] - равнобедренный и [math]KH=HL=\frac{3\sqrt3}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup KMH[/math] по теореме Пифагора: [math]MH=\sqrt{KM^2-KH^2}=\sqrt{\frac{85}9-\frac{27}4}=\frac{\sqrt{340-243}}6=\frac{\sqrt{97}}6[/math]

[math]\Rightarrow S_{KML}=\frac{3\sqrt3}{2\cdot}\frac{\cdot\sqrt{97}}6=\frac14\sqrt{291}[/math]

Итого, [math]S_{AKMLE}=\sqrt{291}+\frac14\sqrt{291}=\frac54\sqrt{291}[/math]

Ответ: [math]\frac{5\sqrt{291}}4[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac9{3+\log_3x\cdot\log_3\frac9x}\leq\log_3^2x-\log_3\frac{x^2}{27}[/math].

Показать ответ

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math]\frac9{3+log_3x(2-log_3x)}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac9{3-\left(log_3x\right)^2+2log_3x}\leq\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3[/math]

[math]\frac{-9-(\left(log_3x\right)^2-2log_3x+3)(\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-9-(\left(\left(log_3x\right)^2+2log_3x\right)^2-9)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{-\left(log_3x\right)^4+4\left(log_3x\right)^3-4\left(log_3x\right)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\leq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(\left(log_3x\right)^2-4log_3x+4)}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

[math]\frac{\left(log_3x\right)^2(log_3x-2)^2}{\left(log_3x\right)^2+2log_3x-3}\geq0[/math]

Нули числителя: [math]log_3x=0[/math]

[math]x=1[/math] - корень кратности 2

[math]\left(log_3x-2\right)=0[/math]

[math]log_3x=2[/math]

[math]x=9[/math] - корень кратности 2

Нули знаменателя: [math]log_3x=-1[/math] [math]x=\frac13[/math]

[math]log_3x=3[/math] [math]x=27[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и, учитывая ОДЗ, определим знаки и промежутки:

Ответ: [math]\left(0;\;\frac13\right)\cup\left\{1;\;9\right\}\cup\left(27;\;+\infty\right)[/math]

16

На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки Е и Р, причем АЕ:ЕР:РС=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно.

А) Докажите, что КМ || АС.

Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь пятиугольника ВКЕРМ равна 30.

Показать ответ

А) [math]\bigtriangleup AKE\sim\bigtriangleup DCE[/math] (по двум углам): [math]\angle KEA=\angle DEC[/math] - вертикальные, [math]\angle KАЕ=\angle DСЕ[/math] - накрест лежащие при [math]AB\parallel CD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{AK}{CD}=\frac{AE}{EC}=\frac13[/math], [math]\frac{AK}{AB}=\frac13[/math]

[math]\frac{BA-BK}{AB}=\frac13\Rightarrow\frac{BK}{AB}=\frac23[/math]

[math]\bigtriangleup CMP\sim\bigtriangleup ADP[/math] ( по двум углам): [math]\angle MPC=\angle DPA[/math] - вертикальные, [math]\angle MCP=\angle DAP[/math] - накрест лежащие при [math]BC\parallel AD[/math]

[math]\Rightarrow\frac{MC}{AD}=\frac{CP}{AP}=\frac13[/math], [math]\frac{MC}{BC}=\frac13[/math] [math]\Rightarrow\frac{BM}{BC}=\frac23[/math]

[math]\frac{BK}{AB}=\frac23[/math], [math]\frac{BM}{BC}=\frac23[/math], [math]\angle B[/math] - общий[math]\Rightarrow\bigtriangleup KBM\sim\bigtriangleup ABC[/math] (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)[math]\Rightarrow\angle BMK=\angle BCA[/math], [math]\angle BKM=\angle BAC\Rightarrow KM\parallel AC[/math], ч.т.д.

Б) [math]S_{ABCD}=2(S_{AKEPM}+S_{AEK}+S_{CPM})[/math]

Из точки D опустим перпендикуляр DH на AC

[math]S_{\bigtriangleup ACD}=\frac12S_{ABCD=}\frac12AC\cdot DH[/math], [math]S_{\bigtriangleup ECD}=\frac12EC\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup APD}=\frac12AP\cdot DH=\frac34S_{\bigtriangleup ACD}=\frac38S_{ABCD}[/math]

[math]\Rightarrow[/math] (смотрите п.А) [math]S_{\bigtriangleup AKE}=\frac19S_{\bigtriangleup ECD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math], [math]S_{\bigtriangleup CMP}=\frac19S_{\bigtriangleup APD}=\frac3{72}S_{ABCD}[/math]

Тогда [math]S_{ABCD}=2S_{BKEPM}+\frac6{72}S_{ABCD}+\frac6{72}S_{ABCD}\Rightarrow S_{ABCD}=72[/math]

Ответ: 72

17

1 марта 2016 года Валерий положил в банк 100 тыс. руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Через два года он планирует снять со своего счета n тыс. руб. (n - целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету оказалось не менее 130 тыс. руб. Какую наибольшую сумму n может снять со своего счёта Валерий 1 марта 2018 года?

Показать ответ

Решение:

Посчитаем итоговую сумму за 2016 год: 100*1,1=110 (тыс руб)

За два года (2016-2017): 110*1,1=121 (тыс руб)

Пусть Валерий снимет n тыс рублей 1 марта 2018 года. Тогда сумма вклада составит за третий год хранения: (121-n)*1,1

За четвертый год хранения: 1,1*((121-n)*1.1)

По условию:[math]1.21\ast(121-n)\leq130[/math]

Решим неравенство: [math]n\leq13.5619\Rightarrow n=13[/math]

Ответ: 13

18

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

4sin2x - 4a sin x + a3 - a2 = 0

имеет ровно один корень на промежутке [math]\left[-\frac\pi2;\;2\pi\right][/math].

Показать ответ

т.к. sinx - функция периодическая с периодом [math]2\pi[/math], то на промежутке [math]\left[-\frac\pi2;\;2\pi\right][/math] уравнение будет иметь один или два корня.

Имеем три случая: 1) в ходе преобразования получим полный квадрат, имеем два одинаковых корня; 2 и 3) в ходе нахождения корней квадратного уравнения относительно sinx получим [math]\left|sinx\right|>1[/math], а второй 1

1 сл: [math]4(sin^2x-asinx+\frac{a^3-a^2}4)=0[/math]

Тогда [math]a=2b;\frac{a^3-a^2}4=b^2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2[/math]

Для двух остальных случаев найдем решение квадратного уравнения:

[math]D=16a^2-16(a^3-a^2)=32a^2-16a^3[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{4a\pm\sqrt{32a^2-16a^3}}8=\frac{a(1\pm\sqrt{2-a})}2[/math]

2 сл: [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math]a=\pm2[/math], при том [math]a=2[/math] не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

3 сл: [math]\left|\frac{a(1-\sqrt{2-a})}2\right|>1;\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2=1[/math]

Решим уравнение и получим [math] a=1;a=2 [/math], при том оба корня не удовлетворяет условию [math]\left|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}2\right|>1[/math]

Ответ: -2; 2

19

А) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?

Б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?

В) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.

Показать ответ

Пусть x, y, z-три натуральных числа

А) По условию имеется, что [math]x^2-y^2=z^3[/math]

Преобразуем: [math](x-y)(x+y)=z^3[/math]. Можно сделать вывод, что слева мы имеем два множителя, произведение которых дает куб другого числа. Это значит что существует вариант для рассмотрения:[math]z[/math]- первый множитель [math]z^2[/math] - второй множитель

В ходе подбора мы можем предположить, что [math]z=4[/math], тогда первый множитель равен 4, а второй 16, то есть несложно догадаться, что [math]x=10[/math], [math]y=6[/math]. Таких вариантов может быть много

Б) По условию дано, что [math]x^3-y^3=z^2[/math]

Преобразуем: [math](x-y)(x^2+xy+y^2)=z^2[/math]

Это значит есть несколько вариантов: первый множитель равен 1, второй - [math]z^2[/math] , первый множитель равен второму и они равны [math]z[/math], третий: [math]z[/math]- это квадрат некоторого числа,значит первый множитель- это некоторое число, а второй множитель- куд этого некоторого числа

В ходе несложной проверки первых двух случаев путем решения систем уравнений выясняется что единственно возможный вариант-третий. Методом подбора приходим к решению [math]7\cdot7^3=49^2[/math], т .е 143-73=492

В) [math]x^3-y^3=z[/math]

[math](x-y)(x^2+xy+y^2)=z[/math]

Чтобы получить простое число, необходимо, чтобы [math]x-y=1\Rightarrow x=y+1[/math]. Т.к. x , y - простые, то единственный вариант: [math]x=3[/math] [math]y=2[/math]

[math]3^3-2^3=19[/math]

Ответ: А) да, например, 102-62=43; Б) да, например, 143-73=492; В) 19 (19=33-23)

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 883 271
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?