Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Демонстрационный вариант

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

2
2

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см2.

4
4

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

5
5

Найдите корень уравнения [math]3^{x-5}=81[/math].

6
6

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32. Ответ дайте в градусах.

7
7

На рисунке 47 изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, ... x9. Сколько из этих точек лежат на промежутках возрастания функции f(x)?

8
8

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.

9
9

Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.

10
10

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением [math]v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}[/math], где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

11
11

Весной катер идёт против течения реки в [math]1\frac23[/math] раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в [math]1\frac12[/math] раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y=\ln\left(x+4\right)^2+2x+7[/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\cos2x=1-\cos\left(\frac\pi2-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -π).

Показать ответ

а) Преобразуем обе части уравнения:

[math]1-2\sin^2x=1-\sin x;\;2\sin^2x-\sin x=0;\;\sin x(2\sin x-1)=0,[/math] откуда [math]\sin x=0[/math] или [math]\sin x=\frac12[/math]

Из уравнения [math]\sin x=0[/math] находим: [math]x=\mathrm{πn},[/math] где [math]\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

Из уравнения [math]\sin x=\frac12[/math] находим: [math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},[/math] где [math]\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку [math]\lbrack-\frac{5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi).[/math]

Получаем числа:

[math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].

Ответ:

а) [math]\pi n,\;n\in\mathbb{Z};\;\left(-1\right)^k\frac\pi6+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].

14

В основание цилиндра высотой 60 и радиусом основания 15 вписан остроугольный треугольник АВС, в котором ВС = 10, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы АВСА1В1С плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярную плоскостям СВВ1и ВА1С, если АА1, ВВ1и СС1 — образующие цилиндра.

б) Найдите величину угла между плоскостями СВВ1 и ВА1С.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок) . Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_1\parallel BB_1[/math], значит, [math]FF_1\perp(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_1\perp BC[/math]. Так как [math]FF_1\perp BC[/math] и [math]A_1F\perp BC,\;[/math] [math](AFF_1)\perp BC,\;[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC\;[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C\;[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]AFF_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]CA_1B[/math] и [math]CBB_1[/math] - это угол [math]\angle A_1FF_1[/math]

[math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] - прямоугольный, [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]

[math]\bigtriangleup ABC[/math] - равнобедренный (по условию), [math]CF=\frac{BC}2=5[/math]

[math]\bigtriangleup COF[/math] - прямоугольный, [math]OF=\sqrt{CO^2-CF^2}=\sqrt{15^2-5^2}=10\sqrt2[/math]

[math]AF=AO+OF=15+10\sqrt2=5(3+2\sqrt2)[/math][math]AF=A_1F_1[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{5(3+2\sqrt2)}{60}=\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]

Ответ: [math]arctg\;\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]

15

Решите неравенство [math]\left(4-x\right)\left(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1\right)>0[/math].

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math]\begin{array}{l}(4-x)(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1)>0\\(x-4)(\log_{11}x-1)(2\log_{11}-1)<0\end{array}[/math]

на ОДЗ выражение [math]\log_{11}x-1=\log_{11}x-\log_{11}11[/math] совпадает по знаку с выражением [math]x-11[/math], выражение [math]2\log_{11}x-1=2(\log_{11}x-\log_{11}\sqrt{11})[/math] - с выражением [math]x-\sqrt{11}[/math]. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно [math](x-4)(x-\sqrt{11})(x-11)<0[/math]. Решив его методом интервалов, получим [math]x\in(-\infty;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]. Учитывая ОДЗ, [math]x\in(0;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;\sqrt{11}\right)\cup\left(4;\;11\right)[/math].

16

Две окружности с центрами О и О1, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной АС равна 6√3

а) Докажите, что угол АОО1 равен 120° (ОА — радиус, проведённый в точку касания).

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что [math]OA\perp AC[/math] и [math]O_1C\perp AC[/math] по свойству радиусов, проведенных в точку касания (см. рисунок). Опустим [math]OK\perp OC_{1\;}[/math] ([math]K[/math] лежит на [math]O_1C[/math]). Пусть [math]OA[/math] равно [math]R[/math], тогда [math]O_1C=3R,\;OACK[/math] - прямоугольник, [math]KC=OA=R[/math]. Значит, [math]O_1K=2R[/math]. [math]M[/math] - точка касания окружностей, [math]OM=R,\;O_1M=3R[/math]. В прямоугольном треугольнике [math]OO_1K[/math] катет [math]O_1K=2R[/math], гипотенуза [math]OO_1=OM+MO_1=4R,[/math] то есть катет [math]O_1K[/math] равен половине гипотенузы, откуда [math]\angle O_1OK=30^\circ[/math], [math]\angle AOO_1=\angle AOK+\angle O_1OK=120^\circ[/math], что и требовалось доказать.

В треугольнике [math]OO_1K[/math] по теореме Пифагора [math]OK=\sqrt{(4R)^2-(2R)^2}=2\sqrt3R.[/math] [math]AC=OK=2\sqrt3R=6\sqrt3,\;[/math] следовательно, [math]R=3.[/math]. Длина окружности с центром [math]O[/math] равна [math]2\mathrm{πR}=6\mathrm\pi[/math]. Длина окружности с центром [math]{\mathrm O}_1[/math] равна [math]2\mathrm\pi(3\mathrm R)=18\mathrm\pi[/math]. [math]\angle A_1OA=360^\circ-\angle AOO_1-\angle A_1OO_1=120^\circ[/math] (см. рисунок). Значит длина внешней дуги меньшей окружности равна[math]6\mathrm\pi\frac{120^\circ}{360^\circ}=2\mathrm\pi[/math]. Ясно, что [math]\angle{\mathrm{OO}}_1\mathrm C=60^\circ,[/math][math]\angle{\mathrm{CO}}_1{\mathrm C}_1=120^\circ,[/math], значит длина внешней дуги большей окружности равна [math]\frac{240^\circ}{360^\circ}\times18\mathrm\pi=12\mathrm\pi[/math]

искомый периметр равен [math]{\mathrm A}_1{\mathrm C}_1+2\mathrm\pi+\mathrm{AC}+12\mathrm\pi=12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]

Ответ: [math]12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]

17

Предприниматель взял в аренду на 3 года помещения на условиях ежегодной платы (в конце года) С рублей. Имея некоторый первоначальный капитал, он удвоил его в течение года и оплатил аренду. Такая схема деятельности осуществлялась все три года. В результате в конце третьего года деятельности, после оплаты аренды предприниматель имел капитал в три раза превышающий первоначальный. Определите величину первоначального капитала, если аренда С составляла 12000 рублей.

Показать ответ

Пусть [math]x[/math] рублей первоначальный капитал предпринимателя, тогда [math]2x-С[/math] рублей - капитал после первого года

[math]2(2x-С)-C=4x-3c[/math] рублей - капитал после второго года.

[math]2(4x-3С)-C=8x-7c[/math] рублей - капитал после третьего года.

По условию к концу третьего года после оплаты аренды капитал предпринимателя в три раза превысил первоначальный, следовательно [math]8x-7c=3x[/math]

[math]x=1,4\times12000=16800[/math]

Ответ: 16800 рублей

18

Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения [math]2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)-4a=0[/math] принадлежит отрезку [-4; 0].

Показать ответ

Рассмотрим функцию [math]f(x)=2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)[/math]. Она определена при [math]x\leq\frac94[/math] и убывает на всей области определения. Значит, уравнение [math]f(x)-4a=0[/math] может иметь только единственное решение (при соответствующих значениях параметра [math]a[/math]). Это решение принадлежит отрезку [math]\lbrack-4;0\rbrack[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(-4)-4a\geq0;\;f(0)-4a\leq0[/math]. Получаем систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}10+14-4a\geq0\\6+7-4a\leq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4a-24\leq0\\4a-13\geq0\end{array}\right.[/math]

Откуда [math]\frac{13}4\leq a\leq6[/math]

Ответ: [math]\left[\frac{13}4;6\right][/math]

19

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует шестизначных палиндромов, каждая цифра в которых встречается не больше двух раз?

б) Существует ли пара натуральных чисел (а;b), таких, что никакая натуральная степень числа а не является палиндромом, а любая степень числа b является?

в) Сколько существует упорядоченных пар (х; у), где х,у — двузначные палиндромы, х≠y, x + у — палиндром, причём нечётный?

Показать ответ

Решение:

a) Шестизначный палиндром имеет вид [math]\overline{xyzzyx}[/math]. Цифру [math]x[/math] можно выбрать 9 способами (x[math](x\neq0)[/math]), после этого [math]y[/math] - тоже 9 способами [math](y\neq x)[/math], затем [math]z[/math] - 8 способами. Всего [math]9\times9\times8=648[/math] таких палиндромов.

б) Да, приведем примеры: [math]a=10,\;b=1.[/math] [math]a^n=10^n[/math] - не является палиндромом, [math]b^n=1[/math] - палиндром.

в) Все двузначные палиндромы, очевидно, имеют вид [math]11a[/math], [math]1\leq a\leq9[/math]. Пусть первый палиндром равен [math]11\alpha[/math] , второй [math]11\beta[/math], тогда их сумма - [math]11(\alpha+\beta)<200[/math] . Среди трехзначных чисел, меньших 200, все палиндромы имеют вид [math]1y1[/math], где [math]y[/math] - цифра. На 11 из них делится только 121. Значит суммой двузначных палиндромов, являющейся палиндромом, может быть одно из чисел 33,55,.....,121, то есть одно из чисел [math]11t.\;3\leq t\leq11,\;t[/math] - нечетно. Для каждого [math]t[/math] найдем количество его представлений в виде суммы [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta,\;(\alpha\neq\beta).\\\end{array}[/math]

Если [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta\\\end{array}[/math], то [math]\begin{array}{l}\alpha=1,...,t-1\\\end{array}[/math], при этом [math]\begin{array}{l}\alpha\neq\beta\\\end{array}[/math], так как [math]t\;[/math] нечетно. То есть для каждого [math]t\;-(t-1)[/math] способов. Тогда искомое число вариантов равно [math]2+4+6+8+10=30[/math].

Однако при таком подсчете для [math]t=11[/math] мы посчитали два лишних представления [math](121=110+11=11+110)[/math], так как число [math]110[/math] не является палиндромом. Значит, всего 30-2=28 вариантов.

Ответ: а) 648; б) да; в) 28.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 889 636
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?