Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 3

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Пётр Агафонович хочет положить на счёт своего мобильного устройства не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приёмное устройство данного терминала?

2
2

В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 105 эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который ещё не вступил в реакцию (в килограммах). Определите по графику, сколько килограммов реагента вступило в реакцию за первые четыре минуты.

3
3

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 72, средняя линия равна 14. Найдите боковую сторону трапеции.

4
4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7°, равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7° или выше.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\log_\frac17(5-x)=-2[/math]

6
6

В тупоугольном треугольнике KLM KL = LM = 18, КН — высота, LH = 9. Найдите cos ∠KLM.

7
7

Прямая у = 24х + 5 является касательной к графику функции у = 32х2 + bх + 7. Найдите значение b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

8
8

Сосуд в виде правильной треугольной пирамиды высотой 25√3 см до верха заполнен водой. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму куба со стороной, равной стороне основания данной треугольной пирамиды. Ответ выразите в сантиметрах.

9
9

Найдите 45а - 19b + 40, если [math]\frac{3a-5b+7}{8a-4b+7}=6[/math].

10
10

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле [math]A\left(\omega\right)=\frac{A_0\omega_p^2}{\vert\omega_p^2-\omega^2\vert}[/math], где [math]\omega[/math] — частота вынуждающей силы (в с-1), А0 — постоянный параметр, [math]\omega_p[/math] = 350 c-1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту [math]\omega[/math] (в с-1), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину А0 не более чем на [math]\frac{A_0}{24}[/math]. Ответ выразите в с-1.

11
11

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 15 кругов по кольцевой трассе с протяженностью круга 9,6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 12 мин. Чему равнялась скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час 12 мин? Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите точку максимума функции у = (х — 6)2(х + 9) + 3.

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin3x=2\cos\left(\frac{\mathrm\pi}2-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0].

Показать ответ

Решение:

[math]\sin3x=3\sin x-4\sin^3x[/math]

[math]\begin{array}{l}3\sin x-4\sin^3x=2\sin x\\4\sin^3x-\sin x=0\\\sin x(4\sin^2x-1)=0\\\sin x=0;\;x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{sinx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Ответ: а) [math]\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{7\mathrm\pi}6,\;-\mathrm\pi,\;-\frac{5\mathrm\pi}6,\;-\frac{\mathrm\pi}6,\;0[/math]

14

Около шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше площади другого.

а) Докажите, что боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции, высоты которых равны среднему арифметическому сторон оснований.

б) Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим усеченную четырехугольную пирамиду [math]ABCDA_1B_1C_1D_1[/math], Описанную около шара (см. рисунок) Пусть [math]A_1B_1C_1D_1[/math] - квадрат со стороной а, [math]ABCD[/math] - квадрат со стороной b. По условию [math]S_{ABCD}=9S_{A_1B_1C_1D_1}[/math] , [math]b^2=9a^2[/math] следовательно [math]b=3a[/math].

Пусть [math]M[/math] - середина [math]AB[/math], [math]N[/math] - середина [math]CD[/math]. Проведем прямую [math]MN[/math] сечение, перпендикулярное плоскости основания. Пусть [math]KP[/math] - отрезок, по которому плоскость сечения пересекается с верхним основанием, [math]KP\parallel MN[/math], [math]K[/math] - середина [math]A_1B_1[/math], [math]P[/math] - середина [math]C_1D_1[/math]. Трапеция [math]KPMN[/math] описана около круга, образованного сечением шара рассматриваемой плоскостью. Тогда [math]KP+MN=MK+PN=4a[/math], [math]MK=PN=2a[/math]. C другой стороны, [math]PN[/math] - высота трапеции [math]DD_1C_1C[/math] и [math]PN=2a=\frac{3a+a}2=\frac{CD+C_1D_1}2[/math], что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим трапецию [math]MKPN[/math] (см. рисунок)

[math]MN\perp CD[/math], [math]PN\perp CD[/math], поэтому [math]\angle PNM[/math] - линейный угол искомого двугранного угла

[math]HN=\frac{MN-KP}2=\frac{3a-a}2=a[/math]

[math]\cos\angle PNH=\frac{HN}{PN}=\frac a{2a}=\frac12[/math]

[math]\angle PNH=\frac{\mathrm\pi}3[/math]

Ответ: [math]\frac{\mathrm\pi}3[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52,\\2\log_\frac12(x-2)-\log_\frac12(x^2-x-2)\geq1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1)[math]4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52[/math]

[math]2^{2(x-1)}=4^{x-1}=\frac{4^x}4;[/math][math]8^{\frac23(x-2)}=4^{x-2}=\frac{4^x}{16};[/math]

[math]4^x-\frac{4^x}4+\frac{4^x}{16}>52,\frac{13}{16}4^x>52,\;x>3,\;x\in\left(3;+\infty\right)[/math]

2) ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\x^2-x-2>0\end{array}\right.x>2\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_\frac12\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\geq1\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)}{(x+1)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-5)}{2(x+1)}\leq0\\\end{array}[/math].

[math]\begin{array}{l}x\in(-1;5\;\rbrack\\\end{array}[/math], с учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x\in(2;5\;\rbrack\\\end{array}[/math]

3) [math]\begin{array}{l}(2;5\;\rbrack\cap(3,+\infty)=\;(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x\in(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

16

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.

а) Докажите, что АС параллельно MN.

б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и АВСО, где О — точка пересечения BD и MN.

Показать ответ

Решение:

Из условия следует, что [math]S_{AND}=S_{MCD}=\frac12S_{ABCD}[/math] (см. рисунок)

Но тогда для треугольников [math]AND[/math] и [math]MCD[/math] с общим углом [math]D[/math] имеем [math]\frac12AD\times ND\times\sin\angle D=\frac12MD\times CD\times\sin\angle D[/math] или [math]\frac{AD}{MD}=\frac{CD}{ND}[/math] . Следовательно, треугольники [math]MND[/math] и [math]ACD[/math] подобны по второму признаку подобия, из чего следует, что [math]AC\parallel MN[/math].

б) Так как [math]AC\parallel MN[/math], то точки [math]O[/math] и [math]N[/math] равноудалены от прямой [math]AC[/math], а значит, высоты треугольников [math]AOC[/math] и [math]ANC[/math] равны, поэтому их площади также равны. Следовательно, [math]S_{ANCB}=S_{ABC}+S_{AOC}=S_{ABCO}[/math], но [math]S_{ANCB}[/math] по площади составляет половину от [math]S_{ABCD}[/math], поэтому и [math]S_{ABCO}[/math] составляет половину от [math]S_{ABCD}[/math] по площади.

Ответ: 2:1

17

Незнайка несколько лет назад вложил деньги в акции некоторого предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям сначала 9 1/11% в год, потом 37,5% в год и наконец 6 2/3% в год и сразу же вкладывал деньги в те же акции. Известно, что одинаковые процентные ставки были равное число лет, а в конце первоначальная сумма его вклада увеличилась на 156%. Определите срок хранения вклада.

Показать ответ

Решение:

Увеличение вклада на [math]9\frac1{11}\%[/math] увеличивает его в [math](100+9\frac1{11})\div100[/math] раз, или в [math]\frac{12}{11}[/math] раза. Аналогично увеличение на [math]37,5\%[/math] увеличивает вклад в [math]\frac{550}{400}[/math] раза, увеличение на [math]6\frac23\%[/math] - в [math]\frac{16}{15}[/math] раза. Если каждая процентная ставка была [math]k[/math] лет, то вклад увеличился в [math]\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k[/math] раз, что по условию равно [math]\frac{100+156}{100}[/math] или [math]\frac{64}{25}[/math] раза.

[math]\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k=\frac{64}{25},\;\left(\frac85\right)^k=\frac{64}{25};\;k=2[/math]

Всего вклад хранился [math]3\times2=6\;лет[/math]

Ответ: 6 лет.

18

При каких значениях р > 0 уравнение [math]3\sqrt{2x+p}=1+3x[/math] имеет два различных корня?

Показать ответ

Решение:

Обозначим [math]y=\sqrt{2x+p}\geq0,\;[/math] тогда [math]x=\frac{y^2-p}2[/math] и уравнение примет вид [math]3y^2-6y+2=3p[/math]

Построим графики [math]z=3y^2-6y+2,\;y\geq0[/math] и [math]z=3p[/math] (см. рисунок)

Находим абсциссу вершины параболы: [math]y_0=\frac6{2\times3}=1[/math]; Ордината вершины параболы [math]z_0=z(1)=-1[/math]. Очевидно, что искомые [math]p[/math] должны удовлетворять условию [math]-1<3p\leq2[/math], отсюда [math]-\frac13<p\leq\frac23[/math], А с учетом условия задачи [math]0<p\leq\frac23[/math]

Ответ: [math]0<p\leq\frac23[/math]

19

Решите в целых числах уравнение 19х2 + 28у2 = 729.

Показать ответ

Решение:

Так как [math](18x^2+27y^2)+(x^2+y^2)=729[/math], то [math]x^2+y^2[/math] делится на 3, поэтому [math]x:3[/math] и [math]y:3[/math].

Действительно, пусть [math]x^2+y^2=3m\;(m\in\mathbb{N})[/math]. Предположим, что [math]x[/math] не делится на 3. Тогда либо [math]x=3t+1[/math], либо [math]x=3t+2\;(t\in\mathbb{Z})[/math]. В любом случае [math]x^2=3k+1\;(k\in\mathbb{Z})[/math]. Отсюда получаем: [math]3m=x^2+y^2=3k+1+y^2[/math]

Поэтому [math]1+y^2[/math] делится на 3. Но согласно вышесказанному, [math]y^2=3s+1(s\in\mathbb{Z})[/math]. Получаем, что [math]3m=3(k+s)+2[/math], что невозможно.

Пусть [math]x=3u,\;y=3v\;(u,v\in\mathbb{Z})[/math], тогда [math]19u^2+28v^2=81[/math]. Повторяя рассуждения, получим, что [math]u=3a,\;v=3b\;(a,b\in\mathbb{Z})[/math] и [math]19a^2+28b^2=9[/math]. Это уравнение не имеет решения в целых числах, так как [math]19a^2+28b^2[/math] либо равно нулю, либо не меньше [math]19[/math].

Ответ: решений нет

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 882 275
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?