Processing math: 7%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 16

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Плитка шоколада стоит 124 рубля. В понедельник в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две плитки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 680 рублей в понедельник?

2
2

На графике показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут прибор нагреется от 20° С до 50° С.

3
3

В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

4
4

В волейбольной секции 26 человек, среди них два друга — Иван и Николай. На тренировке всех участников случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Николай окажутся в одной группе.

5
5

Найдите корень уравнения

3x7=2

6
6

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 3,5. Найдите сторону ромба.

7
7

На рисунке 87 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x)=23x310x248x+19 — одна из первообразных функции f{x). Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите величину 3S.

8
8

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

9
9

Найдите значение выражения (1 - log714)(1 - log214).

10
10

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

где rпок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), rэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,85, а оценка экспертов равна 0,1.

11
11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.

12
12

Найдите точку минимума функции y=(x+17)ex12

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение (65)cos3x+(56)cos3x=2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4π; 9π/2).

Показать ответ

Решение:

а) (65)cos3x+(65)cos3x=2

Пусть (65)cos3x=a; a+1a=2; a22a+1=0;a=1.

(65)cos3x=1;cos3x=0;

x=\frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3;

б) n=12;\;x=\frac{25\mathrm\pi}6

Ответ:

а) \frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};

б) \frac{25\mathrm\pi}6

14

Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен —1/8, сторона основания равна 12.

а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.

б) Найдите объём этой пирамиды.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим пирамиду MABC, AB=AC=BC=12. Проведем AT\perp MB, тогда CT\perp MB (см. рисунок )

Докажем, это рассмотрев треугольники CTB и ATB. TB - общая сторона, CB=AB, \angle TBA=\angle TBC.

\bigtriangleup CTB=\bigtriangleup ATB по двум сторонам и углу между ними., поэтому CT=AT и \angle CTB=\angle ATB=90^\circ. Значит, CAT - искомое сечение.

\bigtriangleup CAT равнобедренный, пусть CT=AT=x,\;\angle CTA=\alpha (угол между боковыми гранями)

По теореме косинусов AC^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha; 12^2=2x^2(1-\cos\alpha);x=8

Рассмотрим \bigtriangleup ABM. В немAM=MB и \sin\angle MBA=\frac{TA}{AB}=\frac8{12}=\frac23. Найдем высоту треугольника \bigtriangleup ABM, MK\perp AB. AK=KB=6

\frac{MK}{KB}=tg\angle MBA=\frac2{\sqrt5}, MK=\frac2{\sqrt5}\times6=\frac{12}{\sqrt5}

Найдем высоту пирамиды MH из \bigtriangleup CMK, в котором CK=\frac{AC\sqrt3}2 как высота правильного треугольника ABC, H делит CK в отношении CH:HK=2:1.

CK=\frac{12\sqrt3}2=6\sqrt3; HK=\frac13CK=2\sqrt3

MH^2=MK^2-HK^2=\left(\frac{12}{\sqrt5}\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2=\frac{84}5. MH=\sqrt{\frac{84}5}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}.

S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt3}4=36\sqrt3

V_{ABCM}=\frac13S_{ABC}\times MH=\frac13\times36\sqrt3\times\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}=\frac{72\sqrt{35}}5

Ответ: \frac{72\sqrt{35}}5

15

Решите систему неравенств

\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-9\right)\log_{x+8}\left(2-x\right)\leqslant0,\\48\cdot21^x+3\geqslant3^x+144\cdot7^x.\end{array}\right.

Показать ответ

Решим первое неравенство системы методом рационализации.

ОДЗ \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+8>0\\x+8\neq0\end{array}\\2-x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>-8\\x\neq-7\end{array}\\x<2\end{array}\right.x\in(-8;-7)\cup(-7;2)

\begin{array}{l}(x-3)(x+3)(x+8-1)(2-x-1)\leq0\\(x-3)(x+3)(x+7)(1-x)\leq0\end{array}

См. Рисунок

Учитывая ОДЗ, x\in(-8;-7)\cup\lbrack-3;1\rbrack

Решим второе неравенство:

\begin{array}{l}3^x(48\times7^x-1)-3(48\times7^x-1)\geq0\\(3^x-3)(48\times7^x-1)\geq0\\3^x-3=0;\;x=1\\48\times7-1=0;\;x=-\log_748\end{array}

Заметим, что -2\leq-\log_748\leq-1

x\in(-\infty;-\log_748\rbrack\cup\lbrack1;+\infty)

Ответ: \left(-8;\;-7\right)\cup\left[-3;\;-\log_748\right]\cup\left\{1\right\}

16

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.

а) Докажите, что \frac{AM}{MB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}=1.

б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.

Показать ответ

Решение:

Проведем из точек A и C перпендикуляры к прямой BR, тогда CK\parallel AL (см. рисунок )

\bigtriangleup ARL\sim\bigtriangleup CRK, значит \frac{AL}{CK}=\frac{AR}{RC}

\frac{S_{AOB}}{S_{COB}}=\frac{0,5OB\times AL}{0,5OB\times CK}=\frac{AR}{RC}; \frac{S_{COB}}{S_{AOB}}=\frac{RC}{AR}

Аналогично доказывается, что \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{AM}{MB} и \frac{S_{BOA}}{S_{COA}}=\frac{BP}{PC}. Перемножим пропорции:

\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}\times\frac{S_{BOA}}{S_{COA}}\times\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{CR}{RA}\times\frac{AM}{MB}\times\frac{BP}{PC}=1

б) AC=13;CR=6,5;AR=13-6,5=6,5; \frac{CR}{AR}=1; \frac{BM}{BP}=\frac32;BM=1,5BP;; 1\times\frac{AM}{1,5BP}\times\frac{BP}{PC}=1; AM=1,5PC

AB=BM+AM=1,5BP+1,5PC=1,5(BP+PC)=1,5BC=15

Ответ: 15

17

Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Показать ответ

Решение:

Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в \frac{720}{40}=18 раз. Пусть k посредников увеличивали цену в 2 раза, m в 3 раза. Тогда 18=2^k\times3^m, 2 и 3 - взаимно простые числа. Но 18=2^1\times3^2, поэтому k=1,\;m=2. Общее число посредников равняется k+m=1+2=3.

Ответ: 3

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \frac a{25^x}-a=2-\frac{25^{-2x}}5 имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену 25^{-x}=t,\;t>0. Нам нужно, чтобы уравнение at-a=2-\frac{t^2}5 имело 2 корня, при этом t_1=25^{-x_1}\leq25^{-\frac12}=\frac15 00

a(t-1)=\frac{10-t^2}5,\;t=1 - не является корнем

Рассмотрим функцию y=a(t)=\frac{10-t^2}{5(t-1)} y`(t)=\frac{t^2-2t+10}{-5(t-1)^2}

y`(t)<0 при всех допустимых значениях t, значит y(t) убывает на (-\infty;1)\cup(1;+\infty). y(0)=-2;\; y(\frac15)=-2,49;\;

Построим график (см. рисунок). По рисунку видно, что при a\in(-2;-2,49\rbrack\; уравнение имеет 2 корня, один из которых 00.

Ответ: \lbrack-2,49;-2)

19

В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Показать ответ

Решение:

Обозначим за a число акул, за с - число скатов, за m - число мурен в океанариуме. Тогда им ежедневно дают 2,5a+0,2m+1,5c кг рыбы и у них бывает в день 260a+21m+150c посетителей.

а) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=6,5 \{a,m,c\}\subset\mathbb{N}

25a+2m+15c=65;\; 2m=5(13-5a-3c).\; m.\; делится на 5 и, так как a\geq1,c\geq1, 13-5a-3c\leq5, 2m\leq25;\;m\leq12. Значит, m=5 или m=10.

m=5, тогда 25a+2\times5+15c=65;\;5a+3c=11;\; a=1,c=2

Число посещений равно 260\times1+21\times5+150\times2=665.

m=10,\; тогда 25a+2\times10+15c=65;\;5a+3c=9;\;, a=1;\;3c=4,\;c\not\in\mathbb{N}

б) Пусть 2,5a+0,2m+1,5c=18,4 или 25a+2m+15c=184. Число посетителей в день

P=260a+21m+150c=\frac{21}2(\frac{260\times2a}{21}+2m+\frac{150\times2c}{21})==\frac{21}2(\frac{520a}{21}+2m+\frac{100c}7)<\frac{21}2(25a+2m+15c)=\frac{21}2\times184=1932

Получили, что P<1932,\; значит не могло быть больше 2000 посещений.

в) По условию 2,5a+0,2m+1,5c=7, то есть 25a=70-2m-15c; 25a\leq53, то есть a=1 или a=2

1) a=1;\; 25+2m+15c=70;\; 2m+15c=45;\;15c=45-2m\geq15;\;m\leq15;\;

Число посетителей:

P=260a+21m+150c=710+m наибольшее при наибольшем m. P=710+15=725

2) a=2; 25\times2+2m+15c=70;\; 2m+15c=20;\;15c=20-2m\geq15;\; m\leq2,5

P=260a+21m+150c=260\times2+21m+10(20-2m)=720+m

P наибольшее при значении m наибольшем, то есть m=2, P=720+2=722

Наибольшее число посещений 725

Ответ: а) 665 б) не может в) 725

0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 820
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?