Вариант 16

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

Плитка шоколада стоит 124 рубля. В понедельник в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две плитки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 680 рублей в понедельник?

На графике показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут прибор нагреется от 20° С до 50° С.

В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

В волейбольной секции 26 человек, среди них два друга — Иван и Николай. На тренировке всех участников случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Николай окажутся в одной группе.

Найдите корень уравнения

$\sqrt[3]{x-7}=-2$

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 3,5. Найдите сторону ромба.

На рисунке 87 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция $F\left(x\right)=-\frac23x^3-10x^2-48x+19$ — одна из первообразных функции f{x). Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите величину 3S.

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

Найдите значение выражения (1 - log₇14)(1 - log₂14).

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

где r_пок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), r_экс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,85, а оценка экспертов равна 0,1.

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.

Найдите точку минимума функции $y=(x+17)e^{x-12}$

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

а) Решите уравнение $\left(\frac65\right)^{\cos3x}+\left(\frac56\right)^{\cos3x}=2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4π; 9π/2).

Показать ответ

Решение:

а) $\left(\frac65\right)^{\cos3x}+\left(\frac65\right)^{-\cos3x}=2$

Пусть $\left(\frac65\right)^{\cos3x}=a;$ $a+\frac1a=2;$ $a^2-2a+1=0;$ $a=1.$

$\left(\frac65\right)^{\cos3x}=1;$ $\cos3x=0;$

$x=\frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3;$

б) $n=12;\;x=\frac{25\mathrm\pi}6$

Ответ:

а) $\frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};$

б) $\frac{25\mathrm\pi}6$

Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен —1/8, сторона основания равна 12.

а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.

б) Найдите объём этой пирамиды.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим пирамиду $MABC$ , $AB=AC=BC=12$ . Проведем $AT\perp MB$ , тогда $CT\perp MB$ (см. рисунок )

Докажем, это рассмотрев треугольники $CTB$ и $ATB$ . $TB$ - общая сторона, $CB=AB$ , $\angle TBA=\angle TBC$ .

$\bigtriangleup CTB=\bigtriangleup ATB$ по двум сторонам и углу между ними., поэтому $CT=AT$ и $\angle CTB=\angle ATB=90^\circ$ . Значит, $CAT$ - искомое сечение.

$\bigtriangleup CAT$ равнобедренный, пусть $CT=AT=x,\;\angle CTA=\alpha$ (угол между боковыми гранями)

По теореме косинусов $AC^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha$ ; $12^2=2x^2(1-\cos\alpha);$ $x=8$

Рассмотрим $\bigtriangleup ABM$ . В нем $AM=MB$ и $\sin\angle MBA=\frac{TA}{AB}=\frac8{12}=\frac23$ . Найдем высоту треугольника $\bigtriangleup ABM$ , $MK\perp AB$ . $AK=KB=6$

$\frac{MK}{KB}=tg\angle MBA=\frac2{\sqrt5}$ , $MK=\frac2{\sqrt5}\times6=\frac{12}{\sqrt5}$

Найдем высоту пирамиды $MH$ из $\bigtriangleup CMK$ , в котором $CK=\frac{AC\sqrt3}2$ как высота правильного треугольника $ABC$ , $H$ делит $CK$ в отношении $CH:HK=2:1.$

$CK=\frac{12\sqrt3}2=6\sqrt3;$ $HK=\frac13CK=2\sqrt3$

$MH^2=MK^2-HK^2=\left(\frac{12}{\sqrt5}\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2=\frac{84}5$ . $MH=\sqrt{\frac{84}5}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}.$

$S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt3}4=36\sqrt3$

$V_{ABCM}=\frac13S_{ABC}\times MH=\frac13\times36\sqrt3\times\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}=\frac{72\sqrt{35}}5$

Ответ: $\frac{72\sqrt{35}}5$

Решите систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-9\right)\log_{x+8}\left(2-x\right)\leqslant0,\\48\cdot21^x+3\geqslant3^x+144\cdot7^x.\end{array}\right.$

Показать ответ

Решим первое неравенство системы методом рационализации.

ОДЗ $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+8>0\\x+8\neq0\end{array}\\2-x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>-8\\x\neq-7\end{array}\\x<2\end{array}\right.x\in(-8;-7)\cup(-7;2)$

$\begin{array}{l}(x-3)(x+3)(x+8-1)(2-x-1)\leq0\\(x-3)(x+3)(x+7)(1-x)\leq0\end{array}$

См. Рисунок

Учитывая ОДЗ, $x\in(-8;-7)\cup\lbrack-3;1\rbrack$

Решим второе неравенство:

$\begin{array}{l}3^x(48\times7^x-1)-3(48\times7^x-1)\geq0\\(3^x-3)(48\times7^x-1)\geq0\\3^x-3=0;\;x=1\\48\times7-1=0;\;x=-\log_748\end{array}$

Заметим, что $-2\leq-\log_748\leq-1$

$x\in(-\infty;-\log_748\rbrack\cup\lbrack1;+\infty)$

Ответ: $\left(-8;\;-7\right)\cup\left[-3;\;-\log_748\right]\cup\left\{1\right\}$

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.

а) Докажите, что $\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}=1.$

б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.

Показать ответ

Решение:

Проведем из точек $A$ и $C$ перпендикуляры к прямой $BR$ , тогда $CK\parallel AL$ (см. рисунок )

$\bigtriangleup ARL\sim\bigtriangleup CRK$ , значит $\frac{AL}{CK}=\frac{AR}{RC}$

$\frac{S_{AOB}}{S_{COB}}=\frac{0,5OB\times AL}{0,5OB\times CK}=\frac{AR}{RC}$ ; $\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}=\frac{RC}{AR}$

Аналогично доказывается, что $\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{AM}{MB}$ и $\frac{S_{BOA}}{S_{COA}}=\frac{BP}{PC}$ . Перемножим пропорции:

$\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}\times\frac{S_{BOA}}{S_{COA}}\times\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{CR}{RA}\times\frac{AM}{MB}\times\frac{BP}{PC}=1$

б) $AC=13;$ $CR=6,5;$ $AR=13-6,5=6,5;$ $\frac{CR}{AR}=1;$ $\frac{BM}{BP}=\frac32;$ $BM=1,5BP;$ ; $1\times\frac{AM}{1,5BP}\times\frac{BP}{PC}=1;$ $AM=1,5PC$

$AB=BM+AM=1,5BP+1,5PC=1,5(BP+PC)=1,5BC=15$

Ответ: 15

Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Показать ответ

Решение:

Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в $\frac{720}{40}=18$ раз. Пусть $k$ посредников увеличивали цену в 2 раза, $m$ в 3 раза. Тогда $18=2^k\times3^m$ , 2 и 3 - взаимно простые числа. Но $18=2^1\times3^2$ , поэтому $k=1,\;m=2$ . Общее число посредников равняется $k+m=1+2=3$ .

Ответ: 3

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $\frac a{25^x}-a=2-\frac{25^{-2x}}5$ имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену $25^{-x}=t,\;t>0$ . Нам нужно, чтобы уравнение $at-a=2-\frac{t^2}5$ имело 2 корня, при этом $t_1=25^{-x_1}\leq25^{-\frac12}=\frac15$ $00$

$a(t-1)=\frac{10-t^2}5,\;t=1$ - не является корнем

Рассмотрим функцию $y=a(t)=\frac{10-t^2}{5(t-1)}$ $y`(t)=\frac{t^2-2t+10}{-5(t-1)^2}$

$y`(t)<0$ при всех допустимых значениях t, значит $y(t)$ убывает на $(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ . $y(0)=-2;\;$ $y(\frac15)=-2,49;\;$

Построим график (см. рисунок). По рисунку видно, что при $a\in(-2;-2,49\rbrack\;$ уравнение имеет 2 корня, один из которых $00$ .

Ответ: $\lbrack-2,49;-2)$

В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Показать ответ

Решение:

Обозначим за a число акул, за с - число скатов, за m - число мурен в океанариуме. Тогда им ежедневно дают $2,5a+0,2m+1,5c$ кг рыбы и у них бывает в день $260a+21m+150c$ посетителей.

а) По условию $2,5a+0,2m+1,5c=6,5$ $\{a,m,c\}\subset\mathbb{N}$

$25a+2m+15c=65;\;$ $2m=5(13-5a-3c).\;$ $m.\;$ делится на 5 и, так как $a\geq1,c\geq1$ , $13-5a-3c\leq5$ , $2m\leq25;\;m\leq12$ . Значит, m=5 или m=10.

$m=5$ , тогда $25a+2\times5+15c=65;\;$ $5a+3c=11;\;$ $a=1,c=2$

Число посещений равно $260\times1+21\times5+150\times2=665.$

$m=10,\;$ тогда $25a+2\times10+15c=65;\;$ $5a+3c=9;\;$ , $a=1;\;3c=4,\;c\not\in\mathbb{N}$

б) Пусть $2,5a+0,2m+1,5c=18,4$ или $25a+2m+15c=184$ . Число посетителей в день

$P=260a+21m+150c=\frac{21}2(\frac{260\times2a}{21}+2m+\frac{150\times2c}{21})=$ $=\frac{21}2(\frac{520a}{21}+2m+\frac{100c}7)<\frac{21}2(25a+2m+15c)=\frac{21}2\times184=1932$

Получили, что $P<1932,\;$ значит не могло быть больше 2000 посещений.

в) По условию $2,5a+0,2m+1,5c=7$ , то есть $25a=70-2m-15c$ ; $25a\leq53$ , то есть $a=1$ или $a=2$

1) $a=1;\;$ $25+2m+15c=70;\;$ $2m+15c=45;\;$ $15c=45-2m\geq15;\;$ $m\leq15;\;$

Число посетителей:

$P=260a+21m+150c=710+m$ наибольшее при наибольшем $m$ . $P=710+15=725$

2) $a=2$ ; $25\times2+2m+15c=70;\;$ $2m+15c=20;\;$ $15c=20-2m\geq15;\;$ $m\leq2,5$

$P=260a+21m+150c=260\times2+21m+10(20-2m)=720+m$

$P$ наибольшее при значении $m$ наибольшем, то есть $m=2,$ $P=720+2=722$

Наибольшее число посещений 725

Ответ: а) 665 б) не может в) 725

0 из 0

№	Ваш ответ	Ответ и решение	Первичный балл
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.