Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 16

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Плитка шоколада стоит 124 рубля. В понедельник в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две плитки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 680 рублей в понедельник?

2
2

На графике показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут прибор нагреется от 20° С до 50° С.

3
3

В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

4
4

В волейбольной секции 26 человек, среди них два друга — Иван и Николай. На тренировке всех участников случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Николай окажутся в одной группе.

5
5

Найдите корень уравнения

[math]\sqrt[3]{x-7}=-2[/math]

6
6

Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 3,5. Найдите сторону ромба.

7
7

На рисунке 87 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция [math]F\left(x\right)=-\frac23x^3-10x^2-48x+19[/math] — одна из первообразных функции f{x). Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите величину 3S.

8
8

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

9
9

Найдите значение выражения (1 - log714)(1 - log214).

10
10

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

где rпок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), rэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,85, а оценка экспертов равна 0,1.

11
11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.

12
12

Найдите точку минимума функции [math]y=(x+17)e^{x-12}[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\left(\frac65\right)^{\cos3x}+\left(\frac56\right)^{\cos3x}=2[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4π; 9π/2).

Показать ответ

Решение:

а) [math]\left(\frac65\right)^{\cos3x}+\left(\frac65\right)^{-\cos3x}=2[/math]

Пусть [math]\left(\frac65\right)^{\cos3x}=a;[/math] [math]a+\frac1a=2;[/math] [math]a^2-2a+1=0;[/math][math]a=1.[/math]

[math]\left(\frac65\right)^{\cos3x}=1;[/math][math]\cos3x=0;[/math]

[math]x=\frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3;[/math]

б) [math]n=12;\;x=\frac{25\mathrm\pi}6[/math]

Ответ:

а) [math]\frac{\mathrm\pi}6+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{25\mathrm\pi}6[/math]

14

Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен —1/8, сторона основания равна 12.

а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.

б) Найдите объём этой пирамиды.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим пирамиду [math]MABC[/math], [math]AB=AC=BC=12[/math]. Проведем [math]AT\perp MB[/math], тогда [math]CT\perp MB[/math] (см. рисунок )

Докажем, это рассмотрев треугольники [math]CTB[/math] и [math]ATB[/math]. [math]TB[/math] - общая сторона, [math]CB=AB[/math], [math]\angle TBA=\angle TBC[/math].

[math]\bigtriangleup CTB=\bigtriangleup ATB[/math] по двум сторонам и углу между ними., поэтому [math]CT=AT[/math] и [math]\angle CTB=\angle ATB=90^\circ[/math]. Значит, [math]CAT[/math] - искомое сечение.

[math]\bigtriangleup CAT[/math] равнобедренный, пусть [math]CT=AT=x,\;\angle CTA=\alpha[/math] (угол между боковыми гранями)

По теореме косинусов [math]AC^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha[/math]; [math]12^2=2x^2(1-\cos\alpha);[/math][math]x=8[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABM[/math]. В нем[math]AM=MB[/math] и [math]\sin\angle MBA=\frac{TA}{AB}=\frac8{12}=\frac23[/math]. Найдем высоту треугольника [math]\bigtriangleup ABM[/math], [math]MK\perp AB[/math]. [math]AK=KB=6[/math]

[math]\frac{MK}{KB}=tg\angle MBA=\frac2{\sqrt5}[/math], [math]MK=\frac2{\sqrt5}\times6=\frac{12}{\sqrt5}[/math]

Найдем высоту пирамиды [math]MH[/math] из [math]\bigtriangleup CMK[/math], в котором [math]CK=\frac{AC\sqrt3}2[/math] как высота правильного треугольника [math]ABC[/math], [math]H[/math] делит [math]CK[/math] в отношении [math]CH:HK=2:1.[/math]

[math]CK=\frac{12\sqrt3}2=6\sqrt3;[/math] [math]HK=\frac13CK=2\sqrt3[/math]

[math]MH^2=MK^2-HK^2=\left(\frac{12}{\sqrt5}\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2=\frac{84}5[/math]. [math]MH=\sqrt{\frac{84}5}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}.[/math]

[math]S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt3}4=36\sqrt3[/math]

[math]V_{ABCM}=\frac13S_{ABC}\times MH=\frac13\times36\sqrt3\times\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt5}=\frac{72\sqrt{35}}5[/math]

Ответ: [math]\frac{72\sqrt{35}}5[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-9\right)\log_{x+8}\left(2-x\right)\leqslant0,\\48\cdot21^x+3\geqslant3^x+144\cdot7^x.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решим первое неравенство системы методом рационализации.

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+8>0\\x+8\neq0\end{array}\\2-x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>-8\\x\neq-7\end{array}\\x<2\end{array}\right.x\in(-8;-7)\cup(-7;2)[/math]

[math]\begin{array}{l}(x-3)(x+3)(x+8-1)(2-x-1)\leq0\\(x-3)(x+3)(x+7)(1-x)\leq0\end{array}[/math]

См. Рисунок

Учитывая ОДЗ, [math]x\in(-8;-7)\cup\lbrack-3;1\rbrack[/math]

Решим второе неравенство:

[math]\begin{array}{l}3^x(48\times7^x-1)-3(48\times7^x-1)\geq0\\(3^x-3)(48\times7^x-1)\geq0\\3^x-3=0;\;x=1\\48\times7-1=0;\;x=-\log_748\end{array}[/math]

Заметим, что [math]-2\leq-\log_748\leq-1[/math]

[math]x\in(-\infty;-\log_748\rbrack\cup\lbrack1;+\infty)[/math]

Ответ: [math]\left(-8;\;-7\right)\cup\left[-3;\;-\log_748\right]\cup\left\{1\right\}[/math]

16

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат точки М, Р и R соответственно, причём отрезки BR, СМ и АР пересекаются в точке О.

а) Докажите, что [math]\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}=1.[/math]

б) Найдите длину стороны АВ, если ВС = 10, АС = 13, ВМ : ВР = 3 : 2, CR = 9.

Показать ответ

Решение:

Проведем из точек [math]A[/math] и [math]C[/math] перпендикуляры к прямой [math]BR[/math], тогда [math]CK\parallel AL[/math] (см. рисунок )

[math]\bigtriangleup ARL\sim\bigtriangleup CRK[/math], значит [math]\frac{AL}{CK}=\frac{AR}{RC}[/math]

[math]\frac{S_{AOB}}{S_{COB}}=\frac{0,5OB\times AL}{0,5OB\times CK}=\frac{AR}{RC}[/math]; [math]\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}=\frac{RC}{AR}[/math]

Аналогично доказывается, что [math]\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{AM}{MB}[/math] и [math]\frac{S_{BOA}}{S_{COA}}=\frac{BP}{PC}[/math]. Перемножим пропорции:

[math]\frac{S_{COB}}{S_{AOB}}\times\frac{S_{BOA}}{S_{COA}}\times\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}=\frac{CR}{RA}\times\frac{AM}{MB}\times\frac{BP}{PC}=1[/math]

б) [math]AC=13;[/math][math]CR=6,5;[/math][math]AR=13-6,5=6,5;[/math] [math]\frac{CR}{AR}=1;[/math] [math]\frac{BM}{BP}=\frac32;[/math][math]BM=1,5BP;[/math]; [math]1\times\frac{AM}{1,5BP}\times\frac{BP}{PC}=1;[/math] [math]AM=1,5PC[/math]

[math]AB=BM+AM=1,5BP+1,5PC=1,5(BP+PC)=1,5BC=15[/math]

Ответ: 15

17

Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Показать ответ

Решение:

Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в [math]\frac{720}{40}=18[/math] раз. Пусть [math]k[/math] посредников увеличивали цену в 2 раза, [math]m[/math] в 3 раза. Тогда [math]18=2^k\times3^m[/math], 2 и 3 - взаимно простые числа. Но [math]18=2^1\times3^2[/math], поэтому [math]k=1,\;m=2[/math]. Общее число посредников равняется [math]k+m=1+2=3[/math].

Ответ: 3

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]\frac a{25^x}-a=2-\frac{25^{-2x}}5[/math] имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену [math]25^{-x}=t,\;t>0[/math]. Нам нужно, чтобы уравнение [math]at-a=2-\frac{t^2}5[/math] имело 2 корня, при этом [math]t_1=25^{-x_1}\leq25^{-\frac12}=\frac15[/math] [math]00[/math]

[math]a(t-1)=\frac{10-t^2}5,\;t=1[/math] - не является корнем

Рассмотрим функцию [math]y=a(t)=\frac{10-t^2}{5(t-1)}[/math] [math]y`(t)=\frac{t^2-2t+10}{-5(t-1)^2}[/math]

[math]y`(t)<0[/math] при всех допустимых значениях t, значит [math]y(t)[/math] убывает на [math](-\infty;1)\cup(1;+\infty)[/math]. [math]y(0)=-2;\;[/math] [math]y(\frac15)=-2,49;\;[/math]

Построим график (см. рисунок). По рисунку видно, что при [math]a\in(-2;-2,49\rbrack\;[/math] уравнение имеет 2 корня, один из которых [math]00[/math].

Ответ: [math]\lbrack-2,49;-2)[/math]

19

В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Показать ответ

Решение:

Обозначим за a число акул, за с - число скатов, за m - число мурен в океанариуме. Тогда им ежедневно дают [math]2,5a+0,2m+1,5c[/math] кг рыбы и у них бывает в день [math]260a+21m+150c[/math] посетителей.

а) По условию [math]2,5a+0,2m+1,5c=6,5[/math] [math]\{a,m,c\}\subset\mathbb{N}[/math]

[math]25a+2m+15c=65;\;[/math] [math]2m=5(13-5a-3c).\;[/math] [math]m.\;[/math] делится на 5 и, так как [math]a\geq1,c\geq1[/math], [math]13-5a-3c\leq5[/math], [math]2m\leq25;\;m\leq12[/math]. Значит, m=5 или m=10.

[math]m=5[/math], тогда [math]25a+2\times5+15c=65;\;[/math][math]5a+3c=11;\;[/math] [math]a=1,c=2[/math]

Число посещений равно [math]260\times1+21\times5+150\times2=665.[/math]

[math]m=10,\;[/math] тогда [math]25a+2\times10+15c=65;\;[/math][math]5a+3c=9;\;[/math], [math]a=1;\;3c=4,\;c\not\in\mathbb{N}[/math]

б) Пусть [math]2,5a+0,2m+1,5c=18,4[/math] или [math]25a+2m+15c=184[/math]. Число посетителей в день

[math]P=260a+21m+150c=\frac{21}2(\frac{260\times2a}{21}+2m+\frac{150\times2c}{21})=[/math][math]=\frac{21}2(\frac{520a}{21}+2m+\frac{100c}7)<\frac{21}2(25a+2m+15c)=\frac{21}2\times184=1932[/math]

Получили, что [math]P<1932,\;[/math] значит не могло быть больше 2000 посещений.

в) По условию [math]2,5a+0,2m+1,5c=7[/math], то есть [math]25a=70-2m-15c[/math]; [math]25a\leq53[/math], то есть [math]a=1[/math] или [math]a=2[/math]

1) [math]a=1;\;[/math] [math]25+2m+15c=70;\;[/math] [math]2m+15c=45;\;[/math][math]15c=45-2m\geq15;\;[/math][math]m\leq15;\;[/math]

Число посетителей:

[math]P=260a+21m+150c=710+m[/math] наибольшее при наибольшем [math]m[/math]. [math]P=710+15=725[/math]

2) [math]a=2[/math]; [math]25\times2+2m+15c=70;\;[/math] [math]2m+15c=20;\;[/math][math]15c=20-2m\geq15;\;[/math] [math]m\leq2,5[/math]

[math]P=260a+21m+150c=260\times2+21m+10(20-2m)=720+m[/math]

[math]P[/math] наибольшее при значении [math]m[/math] наибольшем, то есть [math]m=2,[/math] [math]P=720+2=722[/math]

Наибольшее число посещений 725

Ответ: а) 665 б) не может в) 725

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 884 414
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?