Вариант 12
Математика Профильный уровень
Часть 1
Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.
Стоимость проездного билета на месяц 1700 рублей, а стоимость одной поездки — 60 рублей. Студент купил проездной билет и сделал за месяц 33 поездки. На сколько рублей он потратил бы больше, если бы каждый раз покупал билет на одну поездку?
На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с 0:00 часов 18 августа. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику разность между наибольшей и наименьшей температурами 19 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Середины соседних сторон прямоугольника, диагональ которого равна 17, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.
Швейная фабрика к началу учебного года выполняет заказ на школьную форму. Первая бригада выполнила 49% заказа, а вторая — 51%. При этом первая бригада допустила 1% брака, а вторая — 0,9%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине школьная форма окажется с браком.
Найдите корень уравнения log6(7 - х) = log6(2 - х) + 1.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, считая стороны квадратных клеток равными 1
На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x). Найдите точку отрезка [-2; 5], в которой касательная к графику у = f(x) параллельна прямой у = 5х - 7 или совпадает с ней
Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 90. Точка Е — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды ЕАВС
Найдите значение выражения: [math]\sqrt{182^2-70^2}[/math]
Водолазный колокол, содержащий v = 12 молей воздуха при давлении p1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением [math]A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}[/math], где [math]\alpha=5,75[/math] Дж/(моль*К) — постоянная, Т = 400 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 82800 Дж.
Часы со стрелками показывают 7 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Найдите точку минимума функции у = Зх2 - 19х + 3 lnх.
Часть 2.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.
а) Решите уравнение [math]27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30[/math]
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right][/math]
[math]\begin{array}{l}а)27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30\\27^{tg^2x}+\frac{81}{27^{tg^2x}}=30,\\Обозначим\;27^{tg^2x}=t,\;t\geq1\\Уравнение\;примет\;вид\;t+\frac{81}t=30,\\Умножим\;каждый\;член\;на\;t:\;t^2-30t+81=0.\\\left\{\begin{array}{l}t=27\\t=3\end{array}\right.\\Вернемся\;к\;исходной\;переменной.\\\end{array}[/math]
[math]\begin{array}{cc}1)\;27^{tg^2x}=27&2)27^{tg^2x}=3\\tg^{2\;}x=1&3^{3tg^2x}=3\\tg\;x=\pm1&3tg^2x=1\\x=\pm\frac\pi4+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}&tg\;x\;=\pm\frac1{\sqrt3}\\&x=\pm\frac\pi6+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\&\end{array}[/math]
[math]б)\;С\;помощью\;числовой\;окружности\;отберем\;корни\;уравнения,\;принадлежащие\;промежутку\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right].[/math]
Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]
[math]\pm\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]
б) [math]\frac{7\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}6,\;\frac{13\mathrm\pi}6,\;\frac{9\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}4,\;\frac{17\mathrm\pi}6[/math]
На ребре AD единичного куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К, АК : AD = 1 : 2.
а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым C1D и B1D1.
б) Найдите площадь этого сечения.
Сделаем чертеж
Точка [math]L[/math] выбрана так, что [math]KL\parallel B_1D_1[/math], точка [math]M[/math] такова, что [math]LM\parallel C_1D,[/math] и так далее. Тогда сечением является шестиугольник [math]KLMNPQ[/math], причем [math]AK=AL=B_1M=C_1N=C_1P=DQ=\frac12.[/math] По теореме Пифагора находим [math]KL=NP=LM=MN=PQ=KQ=\frac{\sqrt2}2.[/math] [math]\angle MNP=\angle NPQ=\angle PQK=\angle QKL=\angle KLM=\angle LMN[/math]
Шестиугольник [math]KLMNPQ\;[/math] - правильный, поэтому [math]S_{KLMNPQ}\;=6\times\frac{KL^2\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}4[/math]
Ответ: [math]\frac{3\sqrt3}4[/math].
Решите систему неравенств
[math]\left\{\begin{array}{l}\log_\frac13\frac{x-4}{x+4}-\log_\frac{x+4}{x-4}3>0,\\4\times5^{\sqrt[4]x+\sqrt x}\geq25^\sqrt x-25^{\sqrt[4]x+\frac12}\end{array}\right.[/math]
Решение:
ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{c}\frac{x-4}{x+4}>0\\x\geq0\\\frac{x+4}{x-4}\neq1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{c}x\neq\pm4\\x\geq0\\x>4\end{array}\right.[/math]
Решим каждое неравенство отдельно.
1) [math]\begin{array}{l}\log_\frac13\frac{x-4}{x+4}-\log_\frac{x+4}{x-4}3>0,\\\log_3\frac{x+4}{x-4}-\frac1{\log_3{\displaystyle\frac{x+4}{x-4}}}>0,\\\frac{\log_3^2\frac{x+4}{x-4}-1}{\log_3\frac{x+4}{x-4}}>0\end{array}[/math]
Обозначим [math]\log_3\frac{x+4}{x-4}=t[/math]
[math]\frac{t^2-1}t>0[/math]
[math]\frac{(t-1)(t+1)}t>0[/math]
[math]\_\_-\_\__\circ\_\_+\_\__\circ\_\_-\_\__\circ\_\_+\_\__\rightarrow[/math]
[math]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1[/math]
[math]t>1\;,\;\;либо\;\;-1<t<0[/math]
Вернёмся к замене:
[math]\log_3\left(\frac{x+4}{x-4}\right)>1[/math]
[math]\frac{x+4}{x-4}>3[/math]
[math]\frac{-2(x-8)}{x-4}>0[/math]
[math]4<x<8[/math]
[math]-1<\log_3\left(\frac{x+4}{x-4}\right)<0[/math]
[math]\frac13<\frac{x+4}{x-4}<1[/math]
[math]\left\{\begin{array}{c}\frac8{x-4}<0\\\frac{2(x+8)}{3(x-4)}>0\end{array}\right.[/math]
[math]\left\{\begin{array}{c}x<4\\x<-8\;или\;x>4\end{array}\right.[/math]
[math]x<-8[/math]
2) [math]4\times5^\sqrt[4]x\times5^\sqrt x\geq(5^\sqrt x)^2-5^{2\sqrt[4]x+1}[/math], обозначим [math]5^\sqrt[4]x=n,\;\;5^\sqrt x=m.[/math]
[math]4mn\geq m^2-5n^2,\;5n^2+4mn-m^2\geq0[/math] [math](5n-m)(n+m)\geq0[/math]. [math]n+m>0[/math], тогда[math]5n-m\geq0[/math] или [math]5\times5^\sqrt[4]x-5^\sqrt x\geq0,\;\frac{1-\sqrt5}2\leq\sqrt[4]x\leq\frac{1+\sqrt5}2[/math]
Так как [math]x\geq0[/math], то [math]0\leq\sqrt[4]x\leq\frac{1+\sqrt5}2[/math]. [math]0\leq x\leq\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}[/math]
3) [math]\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\in(4;8)[/math]
[math]x\in\;(4;\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\rbrack[/math]
Ответ: [math](4;\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\rbrack[/math]
Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.
а) Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте,
б) Найдите боковую сторону трапеции, если радиус описанной вокруг трапеции окружности равен 3√2
Решение:
Из условия задачи следует, что [math]\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}[/math]. Следовательно, треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны. (см. рисунок)
С другой стороны, поскольку [math]ABCD[/math] - трапеция, то [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math]. Это значит, что [math]\angle OBC=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OAD[/math]. Таким образом, треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные. Следовательно [math]\angle OBC=\angle OCB=\angle OAD=\angle ODA=45^\circ[/math] и [math]AC=BD[/math]
[math]S_{ABCD}=\frac12AC\times BD=\frac12AC^2[/math]. Но [math]S_{ABCD}=\frac{BC+AD}2\times h[/math], где [math]h[/math] - высота трапеции. Поскольку [math]\angle CAD=45^\circ[/math], то [math]AC=h\sqrt2[/math]. Это означает, что [math]S_{ABCD}=h^2=\frac{BC+AD}2\times h[/math], отсюда [math]h=\frac{BC+AD}2[/math], что и требовалось доказать.
б) Так как [math]AO=DO[/math] и [math]BO=CO[/math], то треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны. Следовательно, [math]AB=CD[/math]. Таким образом, трапеция [math]ABCD[/math] - равнобедренная, а значит, вокруг нее можно описать окружность.
По теореме синусов для треугольника [math]ACD[/math]
[math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;CD=R\sqrt2=6[/math]
Ответ: [math]6[/math]
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
Пусть [math]k=1+\frac r{100}[/math], тогда долг на 1 число каждого месяца равен:
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
[math]\begin{array}{l}k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)=\\=(k-1)(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)+1=2,6(k-1)+1\end{array}[/math]
По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,
[math]2,6(k-1)+1<1,2;\;2,6\times\frac r{100}+1<1,2;\;r<7\frac9{13}[/math]
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х3 + (2a - 4)х2 + (За - 12)х - 2а2 + 6а > 0 выполняется для всех х ≥ 2.
Решение:
Приведем исходное неравенство к виду:
[math]2a^2-a(2x^2+3x+6)-(x^3-4x-12)<0[/math]
Это неравенство является квадратным относительно а. Найдем корни уравнения [math]2a^2-a(2x^2+3x+6)-(x^3-4x-12)=0[/math]
[math]a_1=x^2+2x;\;a_2=-\frac12x+3[/math]
Неравенство примет вид: [math](a-x^2-2x)(\;a+\frac12x-3)<0[/math]
В координатной плоскости [math]Oxa[/math] проведем параболу [math]a=x^2+2x[/math] и прямую [math]a=-\frac12x+3[/math] и расставим знаки в получившихся областях, которые принимает выражение [math](a-x^2-2x)(a+\frac12x-3)[/math]
Линии [math]a=x^2+2x\;и\;a=-\frac12x+3[/math] проведены пунктиром, чтобы показать, что эти линии не принадлежат решению неравенства. Также проведем прямую [math]x=2[/math]. Тогда видно, что множество [math]x\in\lbrack2;+\infty)[/math] полностью содержится в решении неравенства, при [math]a\in(a_1;a_2)[/math]. При [math]a=a_1[/math] и при [math]a=a_2[/math] точка [math]x=2[/math] не принадлежит решению, поэтому точки [math]a_1,a_2[/math] не включаем в ответ.
Найдем значения [math]a_1,a_2.[/math] [math]a_1[/math] - точка пересечения прямой [math]x=2[/math] и прямой [math]a=-\frac12x+3[/math], [math]a_1=-\frac12\times2+3=2[/math]. [math]a_2[/math] - точка пересечения прямой [math]x=2[/math] и параболы [math]a=x^2+2x[/math], [math]a_2=2^2+2\times2=8[/math]
Ответ: [math]a\in(2;8)[/math]
а) Могут ли 5 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?
б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 5. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами?
в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми, числами, большими 7. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.
Решение:
а) Да, могут. Например, числа 5,11,17,23,29.
б) Заметим, что если d не делится на 5, то из чисел a,a+d,a+2d, a+3d, a+4d хотя бы одно делится на 5. Для простых чисел делимость на 5 означает равенство 5.
Если a+4d делится на 5, то a=1, но 1 не является простым числом.
Если a+3d делится на 5, то a=2 и d=1, но тогда a+2d=4 не является простым
Если a+2d=5 то а=3 и d=1, но тогда a+d=4 - не является простым.
Если a+d=5, то a=2 или a=3. При a=2 имеем d=3 и a+2d=8 - не простое. При a=3 имеем d=2 и a+3d=9 не простое.
Итак, чтобы 5 последовательных членов арифметической прогрессии со знаменателем, не кратным 5, были простыми числами, необходимо, чтобы первый из них был равен 5. В этом случае при любом значении d четвертый член a+5d=5+5d>5 делится на 5, то есть не является простым числом. таким образом, 5 членов - это наибольшее возможное количество (пример в пункте а).
Известно, что числа a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d простые. Очевидно, что d - четно. В противном случае хотя бы 3 из указанных различных чисел были бы четны, значит не простыми. Аналогично d кратно 3.
Из предыдущего пункта следует, что d:5. Так как данные числа больше 7, то ни одно из них не должно делиться на 7. Приведем пример для d=30. Ни одно из чисел a,a+30,a+60, a+90, a+120, a+150 не должно быть кратно 7, значит, a не должно давать остаток 2 при делении на 7.
Пример выполнения условий: d=30: 107, 137, 167, 197, 227, 257.
Ответ: а) Да, например, 5, 11, 17, 23, 29 б) 5 в) 30
| № | Ваш ответ | Ответ и решение | Первичный балл |
|---|---|---|---|
|
Здесь появится результат первой части. Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения. |
|||