Processing math: 11%
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Структура варианта
Часть 1Часть 2Ответы
Осталось:
3 часа 55 минут
Скачать .pdf

Вариант 10

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Коля отправил SMS-сообщения своим 15 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения равна 1 рубль 20 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Коли было 50 рублей. Сколько рублей останется у Коли после отправки всех сообщений?

2
2

На диаграмме показано обеспечение каждого жителя планеты лесными ресурсами. По горизонтали отмечены страны мира, по вертикали — лесные ресурсы на каждого жителя в гектарах. Определите по диаграмме разность между средним обеспечением лесными ресурсами по планете и в США.

3
3

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе укажите S / π.

4
4

В папке у Димы Гущина лежат четыре пронумерованных цифрами 1, 2, 3, 4 файла с документами, а также заявление на отпуск. Доставая заявление на отпуск, Дмитрий Дмитриевич случайно вытащил и файл с документами. Найдите вероятность того, что он достал файл 3.

5
5

Решите уравнение 28x236=1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6
6

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите тупой угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

7
7

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t335t226t+7, где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 8 м/c?

8
8

Длина окружности основания цилиндра равна 2. Площадь боковой поверхности равна 14. Найдите высоту цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения 26sin(47π6)cos32π3.

10
10

В баке, имеющем форму цилиндра, на боковой стенке у дна закреплён кран. После его открытия вода, находящаяся в баке, начинает вытекать, и высота столба воды (м) меняется по закону H(t)=H02gH0kt+g2k2t2где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, Но = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/80 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, g — ускорение свободного падения (g = 10 м/сек2). Найдите, через сколько секунд после открытия крана в баке не станет воды.

11
11

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 8 минут, второй и третий — за 163 минут, первый и третий также за 163 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

12
12

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+7)1111x на отрезке [6,5;4].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение 6cos2(x3π2)32sinx=0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π2;π]

Показать ответ

Решение:

а)6sin2x32sinx=0

6sinx(sinx22)=0

sinx=0 или sinx=22

x=πn,nZ; x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}

б) x\in\left[\frac{-5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right]

\begin{array}{l}n=1;\;x=-\mathrm\pi\\\mathrm n=-2;\;\mathrm x=-2\mathrm\pi\\\mathrm k=-1;\;\mathrm x=-\frac{5\mathrm\pi}4\\\mathrm k=-2;\;\mathrm x=-\frac{7\mathrm\pi}4\end{array}

Ответ: а)x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}, x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}

б)-\mathrm\pi;-2\mathrm\pi;-\frac{5\mathrm\pi}4;-\frac{7\mathrm\pi}4.

14

В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС = 12, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям BB1C1C и А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, BB1 и CC1 — образующие цилиндра

б) Найдите величину угла между плоскостями (B1BC) и (A1BC).

Показать ответ

Решение:

а) Пусть O и O_1 - центры оснований цилиндра, тогда F и F_1 - середины хорд BC и B_1C_1 соответственно (см. рисунок). Покажем, что AFF_1 - искомая плоскость. A_1F - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника A_1BC. FF_{1\;}\parallel\;BB_1, значит, FF_{1\;}\perp\;(ABC) и, в частности, FF_{1\;}\perp\;BC. Итак, FF_{1\;}\perp\;BC и A_1F\;\perp\;BC, тогда (AFF_1)\perp BC, откуда (AFF_1)\perp A_1BC и (AFF_1)\perp BB_1C_1C. Сечением призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью AFF_1 является прямоугольник ADD_1A_1

б) Угол между плоскостями B_1BC и A_1BC - это угол A_1FF_1:

A_1F\;\in\;(A_1BC), FF_1\;\in\;(B_1BC). \bigtriangleup A_1CB\; - равнобедренный, \;A_1F\perp BC, B_1BCC_1 - прямоугольник, FF_1\;\parallel\;BB_1 и FF_1\;\perp\;BC, отсюда \angle A_1FF_1 - линейный угол двугранного угла между плоскостями A_1CB и B_1BC.

Из \bigtriangleup A_1FF_1: \angle A_1F_1F=90^\circ tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}; A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.

Из \bigtriangleup OFC, где \angle OFC=90^\circ, FC=6, найдем FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7. AF=8-2\sqrt7.

tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}

\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})

Ответ: arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})

15

Решите неравенство \log_{0,5}\left(x-3\right)-\log_{0,5}\left(x+3\right)-\log_\frac{x+3}{x-3}2>0.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-3>0\\x+3>0\\\frac{x+3}{x-3}>0\\\frac{x+3}{x-3}\neq1\end{array}\\x\neq3\end{array}\right.; x>3 или x<-3

\log_{0,5}\left(\frac{x-3}{x+3}\right)-\frac1{\log_2\left(\frac{x+3}{x-3}\right)}>0

-\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)+\frac1{\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)}>0

\log_2\frac{x-3}{x+3}=t;\;-t+\frac1t>0

\frac{t^2-1}t<0

\log_2\frac{x-3}{x+3}<-1 или 0<\log_2\frac{x-3}{x+3}<1

\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_2\frac12 или \log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_22

\frac{x-3}{x+3}<\frac12 или 1<\frac{x-3}{x+3}<2

Первое неравенство: \frac{x-9}{2(x+3)}<0

-3<x<9

Двойное неравенство: \left\{\begin{array}{c}\frac{-6}{x+3}>0\\\frac{-x-9}{x+3}<0\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{c}x<-3\\x>-3\;или\;x<-9\end{array}\right.

Решение двойного неравенства: x<-9

Общее решение: или x<-9, или -3<x<9

Так как на ОДЗ x>3 или x<-3, получаем, что x<-9 или 3<x<9

Ответ: x\in(-\infty;-9)\cup(3;9)

16

В равнобедренную трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами.

б) Найдите радиус этой окружности, если площадь трапеции равна 52, а параллельные стороны относятся как 3 : 5.

Показать ответ

Решение:

а) Требуется доказать, что EM^2=BC\times AD.

ABCD - равнобедренная трапеция, AB=DC

CK\perp AD;\;CK=EM.

\bigtriangleup CDK:\;\angle CDK=90^\circ,\;CK^2=CD^2-KD^2.

Учитывая, что четырехугольник ABCD - описан, имеем AB+CD=BC+AD,\;2AB=BC+AD,\;AB=\frac{BC+AD}2

CK^2=\left(\frac{AD+BC}2\right)^2-\left(\frac{AD-BC}2\right)^2;

CK^2=\left(\frac{AD+BC}2-\frac{AD-BC}2\right)\times\left(\frac{AD+BC}2+\frac{AD-BC}2\right)=BC\times AD.

CK^2=BC\times AD,\;EM^2=BC\times AD. Что и требовалось доказать.

б) \begin{array}{l}S_{TP}=\frac{AD+BC}2\times CK=\frac{AD+BC}2\times EM\\\end{array}

\begin{array}{l}\frac{BC}{AD}=\frac35\\\end{array}. Пусть \begin{array}{l}BC=3x\\\end{array}, тогда \begin{array}{l}AD=5x\\\end{array} \begin{array}{l}BC+AD=8x\\\end{array},\begin{array}{l}EM^2=3x\times15x=15x^2\\\end{array}, \begin{array}{l}EM=x\sqrt{15}\\\end{array}

Поставим в формулу площади трапеции:

\begin{array}{l}52=\frac{8x\times x\sqrt{15}}2\\\end{array}, \begin{array}{l}x^2=\frac{13\sqrt{15}}{15}\\\end{array}.

\begin{array}{l}EM^2=15\times\frac{13\sqrt{15}}{15}=13\sqrt{15}\\\end{array}

\begin{array}{l}EM=\sqrt{13\sqrt{15}}=2OM\\\end{array}

Ответ: \begin{array}{l}OM=\frac{\sqrt{13\sqrt{15}}}2\\\end{array}

17

Гражданин Плюшкин выиграл по лотерейному билету в Британской национальной лотерее, в которой выигрыш не облагается налогом. На 800 тысяч долларов он купил предприятие, а остальные деньги положил в банк под 6% годовых от вложенной суммы.

В конце года выяснилось, что за год было реализовано продукции на 550 тысяч долларов, из них 350 тысяч долларов составили затраты производства (стоимость сырья, ремонт оборудования и т.п.) и 100 тысяч долларов уплачено персоналу. Остальные деньги составила прибыль гражданина Плюшкина. Через сколько лет общая сумма прибыли Плюшкина в первый раз превысит или будет равна начальному капиталу, вложенному в производство, если каждый год масштаб реализации продукции повышается на 10% от начального, затраты производства повышаются на 6% от первоначальных, а зарплата персонала увеличивается на 4% от первоначальной?

Показать ответ

За первый год прибыль составила 550-350-100=100 тысяч долларов. Увеличение прибыли каждый год составляло 550\times0,1-350\times0,06-100\times0,04=30 тысяч долларов. Запишем ряд чисел равных прибылям: 100,130,160,190,220,250....

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 100 и разностью 30. Найдем номер наименьшего члена при котором сумма прогрессии будет не менее 800.

S=\frac{2a_1+d(n-1)}2n

\frac{200+30(n-1)}2n\geq800

3n^2+17n-160\geq0

3(n+\frac{32}3)(n-5)\geq0

n\in(-\infty-\frac{32};3)(5;+\infty)

Ответ: 5 лет.

18

При каких значениях а уравнение \left(\frac{2a+1}2\right)\sin3x+\cos^23x-1=\frac a2 имеет ровно 3 корня, расположенных на отрезке \left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right]?

Показать ответ

Решение:

\frac{2a+1}2\sin3x-\frac a2-\sin^23x=0, пусть \sin3x=t,\;\;-1\leq t\leq1

t_1=\frac12,\;t_1=a.

1) \sin3x=\frac12, 2) \sin3x=a.

При a=1 данное уравнение имеет ровно три корня на отрезке \left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right].

Ответ: а=1

19

Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 6;

б) при n = 13;

в) при n = 2014?

Показать ответ

Решение:

а) Нельзя. С помощью первых шести натуральных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. \begin{array}{ccccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\8&2&13&12&11&10&9&1&7&6&5&4&3\end{array}

в) Можно. Под каждым из чисел 102,103,.....,2013,2014 запишем числа 2014,2013,...,103,102 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 102го, равна 2116=46^2. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100,101 запишем числа 101,100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 101й равна 121=11^2. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна 36=6^2. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна 16=4^2

а) нельзя б) можно в) можно
0 из 0
Ваш ответ Ответ и решение Первичный балл

Здесь появится результат первой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы и посмотреть решения.

2 398 817
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?