Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 10

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Коля отправил SMS-сообщения своим 15 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения равна 1 рубль 20 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Коли было 50 рублей. Сколько рублей останется у Коли после отправки всех сообщений?

2
2

На диаграмме показано обеспечение каждого жителя планеты лесными ресурсами. По горизонтали отмечены страны мира, по вертикали — лесные ресурсы на каждого жителя в гектарах. Определите по диаграмме разность между средним обеспечением лесными ресурсами по планете и в США.

3
3

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе укажите S / π.

4
4

В папке у Димы Гущина лежат четыре пронумерованных цифрами 1, 2, 3, 4 файла с документами, а также заявление на отпуск. Доставая заявление на отпуск, Дмитрий Дмитриевич случайно вытащил и файл с документами. Найдите вероятность того, что он достал файл 3.

5
5

Решите уравнение [math]\frac{28}{x^2-36}=1[/math]. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6
6

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите тупой угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

7
7

Материальная точка движется прямолинейно по закону [math]x(t)=\frac{t^3}3-\frac{5t^2}2-6t+7[/math], где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 8 м/c?

8
8

Длина окружности основания цилиндра равна 2. Площадь боковой поверхности равна 14. Найдите высоту цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{26}{\sin\left(-{\displaystyle\frac{47\pi}6}\right)\cdot\cos{\displaystyle\frac{32\pi}3}}[/math].

10
10

В баке, имеющем форму цилиндра, на боковой стенке у дна закреплён кран. После его открытия вода, находящаяся в баке, начинает вытекать, и высота столба воды (м) меняется по закону [math]H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac g2k^2t^2[/math]где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, Но = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/80 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, g — ускорение свободного падения (g = 10 м/сек2). Найдите, через сколько секунд после открытия крана в баке не станет воды.

11
11

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 8 минут, второй и третий — за [math]\frac{16}3[/math] минут, первый и третий также за [math]\frac{16}3[/math] минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=\ln(x+7)^{11}-11x[/math] на отрезке [math]\left[-6,5;-4\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]6\cos^2(x-\frac{3\mathrm\pi}2)-3\sqrt2\sin\;x=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

а)[math]6\sin^2x-3\sqrt2\sin x=0[/math]

[math]6\sin x(\sin x-\frac{\sqrt2}2)=0[/math]

[math]\sin x=0[/math] или [math]\sin x=\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]; [math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]x\in\left[\frac{-5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right][/math]

[math]\begin{array}{l}n=1;\;x=-\mathrm\pi\\\mathrm n=-2;\;\mathrm x=-2\mathrm\pi\\\mathrm k=-1;\;\mathrm x=-\frac{5\mathrm\pi}4\\\mathrm k=-2;\;\mathrm x=-\frac{7\mathrm\pi}4\end{array}[/math]

Ответ: а)[math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+k\mathrm\pi,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math], [math]x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

б)[math]-\mathrm\pi;-2\mathrm\pi;-\frac{5\mathrm\pi}4;-\frac{7\mathrm\pi}4.[/math]

14

В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС = 12, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям BB1C1C и А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, BB1 и CC1 — образующие цилиндра

б) Найдите величину угла между плоскостями (B1BC) и (A1BC).

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок). Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_{1\;}\parallel\;BB_1[/math], значит, [math]FF_{1\;}\perp\;(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math]. Итак, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math] и [math]A_1F\;\perp\;BC[/math], тогда [math](AFF_1)\perp BC[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]ADD_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]B_1BC[/math] и [math]A_1BC[/math] - это угол [math]A_1FF_1:[/math]

[math]A_1F\;\in\;(A_1BC)[/math], [math]FF_1\;\in\;(B_1BC)[/math]. [math]\bigtriangleup A_1CB\;[/math] - равнобедренный, [math]\;A_1F\perp BC,[/math] [math]B_1BCC_1[/math] - прямоугольник, [math]FF_1\;\parallel\;BB_1[/math] и [math]FF_1\;\perp\;BC[/math], отсюда [math]\angle A_1FF_1[/math] - линейный угол двугранного угла между плоскостями [math]A_1CB[/math] и [math]B_1BC[/math].

Из [math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math]: [math]\angle A_1F_1F=90^\circ[/math] [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]; [math]A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.[/math]

Из [math]\bigtriangleup OFC[/math], где [math]\angle OFC=90^\circ[/math], [math]FC=6,[/math] найдем [math]FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7[/math]. [math]AF=8-2\sqrt7.[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}[/math]

[math]\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

Ответ: [math]arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

15

Решите неравенство [math]\log_{0,5}\left(x-3\right)-\log_{0,5}\left(x+3\right)-\log_\frac{x+3}{x-3}2>0[/math].

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-3>0\\x+3>0\\\frac{x+3}{x-3}>0\\\frac{x+3}{x-3}\neq1\end{array}\\x\neq3\end{array}\right.[/math]; x>3 или x<-3

[math]\log_{0,5}\left(\frac{x-3}{x+3}\right)-\frac1{\log_2\left(\frac{x+3}{x-3}\right)}>0[/math]

[math]-\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)+\frac1{\log_2\left(\frac{x-3}{x+3}\right)}>0[/math]

[math]\log_2\frac{x-3}{x+3}=t;\;-t+\frac1t>0[/math]

[math]\frac{t^2-1}t<0[/math]

[math]\log_2\frac{x-3}{x+3}<-1[/math] или [math]0<\log_2\frac{x-3}{x+3}<1[/math]

[math]\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_2\frac12[/math] или [math]\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_22[/math]

[math]\frac{x-3}{x+3}<\frac12[/math] или [math]1<\frac{x-3}{x+3}<2[/math]

Первое неравенство: [math]\frac{x-9}{2(x+3)}<0[/math]

[math]-3<x<9[/math]

Двойное неравенство: [math]\left\{\begin{array}{c}\frac{-6}{x+3}>0\\\frac{-x-9}{x+3}<0\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c}x<-3\\x>-3\;или\;x<-9\end{array}\right.[/math]

Решение двойного неравенства: x<-9

Общее решение: или x<-9, или -3<x<9

Так как на ОДЗ x>3 или x<-3, получаем, что x<-9 или 3<x<9

Ответ: [math]x\in(-\infty;-9)\cup(3;9)[/math]

16

В равнобедренную трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами.

б) Найдите радиус этой окружности, если площадь трапеции равна 52, а параллельные стороны относятся как 3 : 5.

Показать ответ

Решение:

а) Требуется доказать, что [math]EM^2=BC\times AD.[/math]

[math]ABCD[/math] - равнобедренная трапеция, [math]AB=DC[/math]

[math]CK\perp AD;\;CK=EM.[/math]

[math]\bigtriangleup CDK:\;\angle CDK=90^\circ,\;CK^2=CD^2-KD^2.[/math]

Учитывая, что четырехугольник [math]ABCD[/math] - описан, имеем [math]AB+CD=BC+AD,\;2AB=BC+AD,\;[/math][math]AB=\frac{BC+AD}2[/math]

[math]CK^2=\left(\frac{AD+BC}2\right)^2-\left(\frac{AD-BC}2\right)^2;[/math]

[math]CK^2=\left(\frac{AD+BC}2-\frac{AD-BC}2\right)\times\left(\frac{AD+BC}2+\frac{AD-BC}2\right)=BC\times AD.[/math]

[math]CK^2=BC\times AD,\;EM^2=BC\times AD.[/math] Что и требовалось доказать.

б) [math]\begin{array}{l}S_{TP}=\frac{AD+BC}2\times CK=\frac{AD+BC}2\times EM\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{BC}{AD}=\frac35\\\end{array}[/math]. Пусть [math]\begin{array}{l}BC=3x\\\end{array}[/math], тогда [math]\begin{array}{l}AD=5x\\\end{array}[/math] [math]\begin{array}{l}BC+AD=8x\\\end{array}[/math],[math]\begin{array}{l}EM^2=3x\times15x=15x^2\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}EM=x\sqrt{15}\\\end{array}[/math]

Поставим в формулу площади трапеции:

[math]\begin{array}{l}52=\frac{8x\times x\sqrt{15}}2\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}x^2=\frac{13\sqrt{15}}{15}\\\end{array}[/math].

[math]\begin{array}{l}EM^2=15\times\frac{13\sqrt{15}}{15}=13\sqrt{15}\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}EM=\sqrt{13\sqrt{15}}=2OM\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}OM=\frac{\sqrt{13\sqrt{15}}}2\\\end{array}[/math]

17

Гражданин Плюшкин выиграл по лотерейному билету в Британской национальной лотерее, в которой выигрыш не облагается налогом. На 800 тысяч долларов он купил предприятие, а остальные деньги положил в банк под 6% годовых от вложенной суммы.

В конце года выяснилось, что за год было реализовано продукции на 550 тысяч долларов, из них 350 тысяч долларов составили затраты производства (стоимость сырья, ремонт оборудования и т.п.) и 100 тысяч долларов уплачено персоналу. Остальные деньги составила прибыль гражданина Плюшкина. Через сколько лет общая сумма прибыли Плюшкина в первый раз превысит или будет равна начальному капиталу, вложенному в производство, если каждый год масштаб реализации продукции повышается на 10% от начального, затраты производства повышаются на 6% от первоначальных, а зарплата персонала увеличивается на 4% от первоначальной?

Показать ответ

За первый год прибыль составила 550-350-100=100 тысяч долларов. Увеличение прибыли каждый год составляло [math]550\times0,1-350\times0,06-100\times0,04=30[/math] тысяч долларов. Запишем ряд чисел равных прибылям: 100,130,160,190,220,250....

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 100 и разностью 30. Найдем номер наименьшего члена при котором сумма прогрессии будет не менее 800.

[math]S=\frac{2a_1+d(n-1)}2n[/math]

[math]\frac{200+30(n-1)}2n\geq800[/math]

[math]3n^2+17n-160\geq0[/math]

[math]3(n+\frac{32}3)(n-5)\geq0[/math]

[math]n\in(-\infty-\frac{32};3)(5;+\infty)[/math]

Ответ: 5 лет.

18

При каких значениях а уравнение [math]\left(\frac{2a+1}2\right)\sin3x+\cos^23x-1=\frac a2[/math] имеет ровно 3 корня, расположенных на отрезке [math]\left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right][/math]?

Показать ответ

Решение:

[math]\frac{2a+1}2\sin3x-\frac a2-\sin^23x=0,[/math] пусть [math]\sin3x=t,\;\;-1\leq t\leq1[/math]

[math]t_1=\frac12,\;t_1=a.[/math]

1) [math]\sin3x=\frac12,[/math] 2) [math]\sin3x=a.[/math]

При [math]a=1[/math] данное уравнение имеет ровно три корня на отрезке [math]\left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right].[/math]

Ответ: а=1

19

Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 6;

б) при n = 13;

в) при n = 2014?

Показать ответ

Решение:

а) Нельзя. С помощью первых шести натуральных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. [math]\begin{array}{ccccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\8&2&13&12&11&10&9&1&7&6&5&4&3\end{array}[/math]

в) Можно. Под каждым из чисел 102,103,.....,2013,2014 запишем числа 2014,2013,...,103,102 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 102го, равна [math]2116=46^2[/math]. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100,101 запишем числа 101,100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 101й равна [math]121=11^2[/math]. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна [math]36=6^2[/math]. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна [math]16=4^2[/math]

а) нельзя б) можно в) можно
0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 880 246
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?