Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 5

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На бензоколонке один литр бензина стоит 31 рубль 50 копеек. Водитель залил в бак 40 л бензина и купил бутылку воды за 52 рубля. Сколько рублей сдачи он получит с 2000 рублей?

2
2

На рисунке изображён график осадков в городе N с 4 по 10 февраля 1994 года. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — количество осадков (в мм). Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

3
3

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4
4

На улице неправильно припарковано 48 автомобилей, среди которых автомобиль Маши. Эвакуатор выбрал случайным образом и вывез на штрафстоянку 12 автомобилей. Какова вероятность, что автомобиль Маши не вывезли на штрафстоянку?

5
5

Решите уравнение [math]x=\frac{12-6x}{x-5}[/math]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 144, [math]\sin A=\frac56[/math] . Найдите BH.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—6; 9). Найдите промежутки возрастания f(x). В ответе укажете длину наибольшего из них.

8
8

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все рёбра увеличить в 1,5 раза?

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{104\sin17^\circ\times\cos17^\circ}{\sin34^\circ}[/math]

10
10

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор, объективности Тr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 7.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, информативность публикаций втрое, а оперативность вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид:

[math]y=\frac{3In+2Op+4Tr+Q}A[/math]

Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 2.

11
11

Заказ на 450 деталей один рабочий выполняет на 15 часов быстрее второго. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 15 деталей больше?

12
12

Найдите наименьшее значение функции у = 4(х + 9)2 е 4х+1 на отрезке [-9,5; -0,25].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sqrt3\sin^22x-2\sin4x+\sqrt3\cos^22x=0[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math]

Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}\sqrt3(\sin^22x+\cos^22x)-2\sin4x=0;\\\sqrt3-2\sin4x=0;\\\sin4x=\frac{\sqrt3}2.\end{array}[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}4x=\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\4x=\frac{2\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\;\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac\pi2k,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\mathrm\pi}6+\frac\pi2n,\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

б) Найдем корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math]

При [math]k\geq1[/math] и [math]n\geq1[/math] корни принимают значения больше [math]1,5[/math] даже при грубом округлении [math]\mathrm\pi=3[/math]. Поэтому корни попадут в промежуток при значениях [math]\mathrm k=\mathrm n=0;[/math]

[math]x_1=\frac{\mathrm\pi}{12};\;x_2=\frac{\mathrm\pi}6[/math]

Ответ: а) [math]\frac{\mathrm\pi}6+\frac\pi2n;\;\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac\pi2k;\;n,k\in\mathbb{Z}[/math]б) [math]x_1=\frac{\mathrm\pi}{12};\;x_2=\frac{\mathrm\pi}6[/math]

14

В прямой призме АВСА1В1С1 в основании лежит треугольник АВС со сторонами АВ = АС = 16, ВС = 10. Боковое ребро равно √33.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую А1В и перпендикулярную плоскости СС1В1

б) Найдите косинус угла между А1В и плоскостью боковой грани СС1В1В.

Показать ответ

В треугольнике [math]A_1B_1C_1[/math] проведем высоту [math]A_1H[/math]. Заметим, что [math]BB_1\perp(A_1B_1C_1)[/math], так как высота прямой призмы перпендикулярна плоскости основания. Тогда [math]BB_1\perp A_1H[/math], поскольку прямая [math]A_1H[/math] лежит в плоскости [math](A_1B_1C_1)[/math]. Тогда [math]A_1H\perp(CC_1B)[/math] по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Отсюда по признаку перпендикулярности плоскостей следует, что [math](BHA_1)\perp(CC_1B)[/math], так как плоскость [math](A_1B_1C_1)[/math] содержит прямую, перпендикулярную плоскости [math](CC_1B)[/math]. Значит [math]\bigtriangleup BHA_1[/math] - искомое сечение.

б) Так как [math]A_1H\perp(CC_1B_1)[/math], [math]BH[/math] является проекцией [math]BA_1[/math] на плоскость [math](CC_1B_1)[/math], а значит искомый угол равен углу [math]HBA_1[/math]. [math]A_1H[/math] - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит, [math]A_1H[/math] - медиана, [math]B_1H=\frac12B_1C_1=\frac12BC=5[/math]. [math]BH=\sqrt{BB_1^2+B_1H^2}=\sqrt{33+25}=\sqrt{58}[/math], так как [math]A_1B_1=AB[/math]. В прямоугольном треугольнике [math]AA_1B[/math] по теореме Пифагора [math]A_1B=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{256+33}=17[/math]. [math]\cos\angle HBA_1=\frac{HB}{A_1B}=\frac{\sqrt{58}}{17}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt{58}}{17}[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}25^\frac x2+\frac{20}{5^x}\geq9,\\\log_{x+5}\left(\frac{x+2}5\right)\leq0.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1) [math]5^x+\frac{20}{5^x}-9\geq0.[/math]

[math]\frac{(5^x)^2-9\times5^x+20}{5^x}\geq0,\;5^x=t,\;t>0[/math]

[math]\frac{t^2-9t+20}t\geq0[/math]

[math]\frac{(t-4)(t-5)}t\geq0[/math]

[math]0<t\leq4;\;t\geq5[/math]

[math]0<5^x\leq5^{\log_54};\;5^x\geq5^1[/math]

[math]x\leq\log_54;\;x\geq1[/math]

2) [math]\log_{x+5}(\frac{x+2}5)\leq\log_{x+5}1[/math]

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}x+5>0\\x+5\neq1\\x+2>0\end{array}\right.[/math] [math]x>-2[/math]

На ОДЗ выражение [math]\log_{x+5}(\frac{x+2}5)-\log_{x+5}1[/math] совпадает по знаку с выражением (x+5-1)(x/5+0,4-1).

Получим [math](x+4)(x-3)\leq0[/math]

[math]-4\leq x\leq3[/math] с учетом ОДЗ получаем: [math]-2<x\leq3[/math]

3) Решим систему [math]\left\{\begin{array}{l}x\leq\log_54,\;x\geq1\\-2<x\leq3\end{array}\right.\;\;\left\{\begin{array}{l}-2<x\leq\log_54\\1\leq x\leq3\end{array}\right.[/math]

Ответ: [math]\;(-2;\log_54\rbrack,\lbrack1;3\rbrack.[/math]

16

Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, если основания трапеции равны 6 и 8.

Показать ответ

Решение:

а) В трапеции [math]ABCD[/math] треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны, поскольку [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math] соответственно (см. рисунок)

Значит, [math]\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}[/math]. Умножая почленно это равенство на равенство [math]AO\times CO=BO\times DO[/math] из условия задачи, получим [math]AO^2=DO^2[/math]. Отсюда [math]AO=DO[/math], [math]BO=CO[/math] и треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны по первому признаку. Следовательно [math]AB=CD[/math]

б) Т.к. Трапеция [math]ABCD[/math] равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. обозначим ее радиус через [math]R[/math].

Треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные. Значит [math]\angle OAD=45^\circ[/math] и [math]CO=\frac{BC}{\sqrt2}[/math], [math]DO=\frac{AD}{\sqrt2}[/math]. По теореме синусов для треугольника ACD имеем: [math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;R=\frac{CD}{\sqrt2}[/math]

[math]CD^2=CO^2+DO^2=\frac12(AD^2+BC^2)=50[/math]

Отсюда [math]CD=5\sqrt2[/math] и R=5

Ответ: 5

17

Заводы в США и России за февраль выпустили более 39 танков. Число танков, выпущенных в России, уменьшенное на 3, более чем в 4 раза превышает число танков, выпущенных в США. Утроенное число танков, выпущенных в России, превышает удвоенное число танков, выпущенных за февраль в США, но не более, чем на 85. Сколько танков выпустили за февраль на заводе в России?

Показать ответ

Решение:

Пусть за февраль на заводе в России выпустили [math]x[/math] танков, а в США - [math]y[/math] танков. По условию можно составить систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+y>39\\x-3>4y\end{array}\\3x-2y\leq85\end{array}\right.[/math]

При этом [math]x[/math] и [math]y[/math] - натуральные числа. Выразим одну из переменных во всех трех неравенствах:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>39-y\\x>4y+3\end{array}\\x\leq\frac{85+2y}3\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}39-y<x\leq\frac{85+2y}3\\4y+3<x\leq\frac{85+2y}3\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}117-3y<85+2y\\12y+9<85+2y\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}y>6,4\\y<7,6\end{array}\right.[/math]

[math]y=7[/math] - единственное целое решение. Подставим его в начальную систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+7>39\\x-3>28\end{array}\\3x-14\leq85\end{array}\right.[/math]

Так как [math]x[/math] - целое, то [math]x=33[/math]. В России на заводе за февраль выпустили 33 танка.

Ответ: 33

18

Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения [math]6\sqrt{x-1}+5\log_3(2x-1)+11a=0[/math] принадлежит отрезку [2 ; 5]

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим функцию [math]f(x)=6\sqrt{x-1}+5\log_3(2x-1).[/math] Она определена при [math]x\geq1[/math] и возрастает на всей области определения. Значит уравнение [math]f(x)+11a=0[/math] может иметь единственное решение (при соответствующих значениях параметра a). Это решение принадлежит отрезку [math]\left[2;5\right][/math] тогда и только тогда, когда:

[math]\left\{\begin{array}{l}6+5+11a\leq0\\12+10+11a\geq0\end{array}\right.[/math], откуда:

[math]-2\leq a\leq-1[/math]

Ответ: [math]\left[-2;-1\right][/math]

19

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Показать ответ

Решение:

а) Нет. Справедлив обобщенный признак делимости на 3, а именно: "Натуральное число дает при делении на 3 тот же остаток, что и сумма его цифр." Тогда сумма трех чисел с одинаковой суммой цифр будет обязательно делиться на 3, поскольку все эти числа будут давать один и тот же остаток при делении на 3. Но 2015 на 3 нацело не делится.

б) Да. Например, 288=240+33+15

в) Пусть шесть различных натуральных чисел имеют одинаковую сумму цифр. Тогда все они дают один и тот же остаток при делании на 9 и разность любых двух из них будет кратна 9 (и не может равняться 0). Это значит, что эти числа будут членами некоторой арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math] (не обязательно последовательными)

наименьшее значение сумма данных чисел будет принимать в том случае, если у каждого из чисел будет минимально возможная разрядность (5 предпочтительнее с этой точки зрения, например, чем 14, а 14, в свою очередь, предпочтительнее, например, чем 302). Тогда наименьшею сумму будут давать те числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math], начиная с однозначного (равного соответствующему остатку при делении на 9).

Сумма цифр равна 1:1+10 +100+1000+10000+100000=111111.

Сумма цифр равна 2: 2+11+20+101+110+200=444

Сумма цифр равна 3: 3+12+21+30+102+111=279

Сумма цифр равна 4: 4+13+22+31+40+103=213

Сумма цифр равна 5: 5+14+23+32+41+50=165

Сумма цифр равна 6: 6+15+24+33+42+51=171

Дальше сумма будет только возрастать, т.к. [math]r[/math] - наименьшее из данных чисел, то сумма всех шести будет не меньше

[math]r+(r+9)+(r+18)+(r+27)+(r+36)+(r+45)=6r+135>165[/math] при [math]r\geq6[/math]

Итак, наименьшим числом, которое можно представить в виде шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр является 165

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 882 379
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель
Уже зарегистрированы?