Вариант 15

Решение:

Решим первое неравенство.

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>0\\x\neq1\end{array}\\5-x>0\end{array}\right.x\in(0;1)\cup(1;5)[/math]

На ОДЗ неравенство равносильно неравенству:

[math](x^2-4)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]; [math](x-2)(x+2)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]

С учетом ОДЗ, [math]x\in(0;1)\cup\left[2;4\right][/math]

Решим второе неравенство

[math]\begin{array}{l}5^x(6^x-1)+27(1-6^x)\leq0\\(5^x-27)(6^x-1)\leq0\\5^x=27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6^x=1\\x=\log_527\;\;\;\;\;x=0\\x\in\left[0;\;\log_527\right]\end{array}[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;1\right)\cup\left[2;\;\log_527\right][/math]

Решение:

а) Пусть прямая [math]MN[/math] пересекает продолжение стороны [math]AC[/math] за точку [math]C[/math]. (Случай за точку [math]A[/math] абсолютно аналогичен). Проведем через точку [math]C[/math] прямую, параллельную [math]AB[/math]. Прямая пересекает [math]AC[/math] в точке [math]K[/math].

[math]\bigtriangleup AMP\sim\bigtriangleup CKP[/math] по первому признаку. Следовательно [math]\frac{AM}{CK}=\frac{PA}{PC}[/math], [math]CK=\frac{AM\times PC}{PA}[/math]

[math]\bigtriangleup BMN\sim\bigtriangleup CKN[/math]. Следовательно [math]\frac{MB}{CK}=\frac{BN}{NC}[/math], [math]CK=\frac{MB\times NC}{BN}[/math]

Тогда [math]\frac{AM\times PC}{PA}=\frac{MB\times NC}{BN}[/math] и [math]\frac{AM}{MB}\times\frac{BN}{NC}\times\frac{PC}{PA}=1[/math]

б) [math]BC:BN=7:5[/math]. Пусть [math]BC=7x,\;BN=5x[/math], тогда [math]NC=7x-5x=2x[/math] и [math]\frac{BN}{NC}=\frac52[/math]. [math]AC:CP=8:3[/math]. Пусть [math]AC=8y;\;CP=3y[/math], [math]AP=11y[/math]. [math]\frac{CP}{PA}=\frac3{11};\;\frac{AM}{MB}\times\frac52\times\frac3{11}=1[/math], [math]\frac{AM}{MB}=\frac{22}{15}[/math]

Ответ: [math]\frac{22}{15}[/math]

Решение:

Пусть [math]a[/math] рублей - сумма кредита, [math]x[/math] рублей - ежегодный платеж, [math]m\%[/math] - годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается на [math]t=(1+\frac m{100})[/math]

После первой выплаты сумма долга составит [math]a_1=at-x[/math]

После второй выплаты [math]a_2=a_1t-x=(at-x)t-x=at^2-(t+1)x[/math]

Аналогичным образом после третьей выплаты останется [math]a_3=at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x[/math]

По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.

[math]\begin{array}{l}at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x=0\\x=\frac{at^3(t-1)}{t^3-1}\\a=12000000,\;m=20,\;t=1,2\\x=\frac{12000000\times1,2^3\times0,2}{1,2^3-1}\approx5696703\end{array}[/math]

Ответ: 5 696 703

Пусть в данном уравнении 2 корня, [math]x_1<x_2,\;x_2\geq0,5[/math]

Сделаем замену [math]9^{-x}=t,\;t\in(0;+\infty)[/math]

Тогда уравнение примет вид [math]at+a+1+\frac{t^2}3=0[/math]. Пусть это квадратное уравнение имеет два корня [math]t_1>t_2>0[/math]. Тогда условие будет выполняться, если [math]x_2\geq0,5[/math], для переменной [math]t[/math] [math]t_2\leq\frac13[/math]

Перепишем уравнение в виде [math]a(t+1)=-1-\frac{t^2}3;\;[/math][math]a(t+1)=\frac{-3-t^2}3;\;[/math][math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

Исследуем функцию [math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

ОДЗ: [math]t\neq-1[/math], Функция не имеет предела при [math]t->\infty[/math]

[math]a`(t)=-\frac13\times\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\times1}{(t+1)^2}=\frac{(t-1)(t+3)}{-3(t+1)^2}[/math]

[math]a`(t)=0[/math] при [math]t=1,\;t=-3[/math] (см. рисунок )

[math]a(1)=-\frac23;\;a(-3)=2[/math]; [math]a(0)=-1;\;\;a(\frac13)=-\frac79[/math]

построим график [math]y=a(t)[/math]

По рисунку видно, что условие [math]t_1>t_2>0,\;t_2\leq\frac13[/math] выполняется при [math]a\in(-1;-\frac23\rbrack[/math]

Ответ: (-1; -7/9]

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают [math]2c+14t+21l[/math] кг мяса, а посетителей бывает [math]20c+160t+230l=P[/math]

а) По условию [math]2c+14t+21l=70[/math], где [math]\{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}[/math]. 70 делится на 7 и [math]14t+21l[/math] делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если [math]с=7[/math], то [math]14+7(2t+3l)=70[/math], [math]2t+3l=8[/math]. При [math]t\in\mathbb{N}\;l<\frac83[/math] и делится на 2, значит [math]l=2,t=1[/math] и число посетителей равно [math]20\times7+160\times1+230\times2=760[/math]

б) По условию, [math]2c+14t+21l=420[/math]. Может ли [math]20c+160t+230l[/math] быть меньше 4000?

[math]20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200[/math]. Получилось, что [math]20c+160t+230l>4200[/math], значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что [math]2c+14t+21l=111[/math]. Так как количество животных натуральные числа, [math]l[/math] нечетно и [math]21l\leq111-(2+14),\;[/math][math]21l\leq95,\;[/math][math]l\leq4,\;[/math] то есть [math]l=3[/math] или [math]l=1[/math]

1) [math]l=1[/math], тогда [math]2с+14t+21=111;[/math][math]2с+14t=90;[/math][math]с+7t=45;[/math][math]с=45-7t;[/math][math]t\leqslant6\frac27[/math]. Число посетителей:

[math]P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е.при [math]t=6[/math], [math]P=1130+20\times6=1250[/math].

2) [math]l=3[/math], тогда [math]2с+14t+21\times3=111;[/math][math]2с+14t=48;[/math][math]c=24-7t\geqslant1;[/math][math]t\leqslant3\frac27[/math]

[math]P=20c+160t+230\times3=20t+1170[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е. при [math]t=3[/math]. [math]P=20\times3+1170=1230[/math]

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250